Арифметична прогресія, її властивості. Формула n – го члена.

 

 

 

 

 

 

Алгебра

9 клас

 

 

Вчитель математики

ОНЗ "Трепівська ЗШ І-ІІІ ст."

Гриценко А.О.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Трепівка, 2018

Тема уроку: Арифметична прогресія, її властивості. Формула n – го      члена.

 

Мета уроку: Ввести поняття арифметичної прогресії, розглянути її   властивості; вивести формулу n – го члена та навчити учнів застосовувати її до розв’язування задач.

                            Розвивати в учнів вміння працювати в групах, самостійно опрацьовувати навчальний матеріал та пояснювати його однокласникам.

                            Виховувати в учнів культуру математичного мовлення.  

 

Тип уроку:   Урок засвоєння нових знань.

 

Хід уроку:

1. Організаційна частина.

 

2. Актуалізація опорних знань:
   1.         Перевірка домашнього завдання:
   2.         Фронтальне опитування:
      • як позначаються послідовності і їх члени?
      • яка послідовність називається скінченною?
      • яка послідовність називається нескінченною?
      • способи задавання послідовностей.
   3.         Усні вправи:

         Визначити способи задавання послідовностей:

         а ) ( b_n ): 0,1; 7; 0,2; 8; 0,3; 9.

         б )  ( b_n ): дільники числа 24.

 

n	1	2	3	4
an	5	8	11	14

         в )

 

 

 

          г ) a_n  = 5n;      a_n = 2 n + 1.

          д ) a_n+1 = a_n ∙ 3, а₁ = 4.

        Для завдання а ): - скільки членів має послідовність?

• назвати третій член послідовності?
• який номер має член, що дорівнює 0,3?
• який член є наступним за числом 8?
• який член є попереднім до числа 7?

 

 III. Мотивація учбової діяльності.

 

 IV. Засвоєння нових знань:

 

 

Означення арифметичної прогресії

    Арифметичною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається одне й те ж число.

     Це число називається різницею арифметичної прогресії і позначається d (d – початкова буква латинського слова differentia – різниця )

    Тоді арифметичну прогресію можна задати рекурентною формулою:

                                                 а_n+1 = a_n + d, звідки d = a_n+1 - a_n

Приклад 1:   1; 4; 10; 13; 16; 19; 22; …

                    У цій послідовності кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається число 3, тобто d = 3.

Приклад 2:   -2; -4; -6; -8; -10;…

                   У цій послідовності кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається число -2, тобто d = -2.

    Наведіть свій приклад арифметичної прогресії

 

Формула n – го члена арифметичної прогресії

Нехай перший член арифметичної прогресії а₁, d – різниця. Тоді за означенням арифметичної прогресії :

                      а₂ = а₁ + d;

                      а₃ = а₂ + d = ( а₁ + d ) + d = а₁ + 2d;

                      а₄ = а₃ + d = ( а₁ + 2d ) + d = а₁ + 3d;

                      а₅ = а₄ + d = ( а₁ + 3d ) + d = а₁ + 4d.

Помічаємо, що у цих формулах коефіцієнт при d на 1 менший від порядкового номера члена прогресії. Отже можна записати:

 

а_n = а₁ + ( n -1 ) d  - формула n – го члена арифметичної прогресії.

 

Застосування формули n – го члена для знаходження довільного її члена

Приклад: Знайти дев′ятий член арифметичної прогресії ( а_n ): 5; 4,2; 3,4; …

Розв’язання:

Маємо: а₁ = 5. Знайдемо різницю прогресії: d  = 4,2 – 5 = - 0,8. Тоді

  а₉ = а₁ +8d,   а₉ = 5 + ( - 0,8 ) ∙ 8 = - 1,4.

Завдання: Знайти вісімнадцятий член арифметичної прогресії: 1; 1,3; 1,6;…

 

Застосування формули n – го члена для знаходження її першого члена

Приклад: Знайти перший член арифметичної прогресії ( а_n ), у якій d = - 2, а₈ = 93.

Розв’язання:

Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії для n = 8:

 

а₈ = а₁ + 7d і підставимо відомі значення:  93 = а₁ + 7 ∙ ( – 2 ),

                                                                        93 = а₁ – 14,

                                                                         а₁ = 93 + 14,

                                                                         а₁ = 107.

Завдання: Знайти перший член арифметичної прогресії, якщо її різниця дорівнює 0,5,  а дев’ятий член 3.

 

Застосування формули n – го члена для знаходження різниці арифметичної прогресії

Приклад: Знайти різницю арифметичної прогресії ( а_n ), у якій а₁ = 10, а₅ = 22.

Розв’язання:

Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії для n = 5:

а₅ = а₁ + d( n – 1 ) і підставимо відомі значення:  22 = 10 + d ∙ 4,

                                                                                   4d = 22 – 10,

                                                                                   4d = 12,

                                                                                     d = 3.

Завдання: Знайти різницю арифметичної прогресії ( а_n ), у якій а₁ = 28, а₁₅ = - 21.

 

Застосування формули n – го члена для знаходження номера її члена

Приклад: Чи є число 181 членом арифметичної прогресії, у якій а₁ = 3, d = 5?

Розв’язання:

Число 181 буде членом прогресії, якщо існує таке натуральне число n  - порядковий номер члена прогресії,  що а_n = 181.

Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії: а_n = а₁ + ( n -1 ) d 

   181 = 3 + ( n – 1 ) ∙ 5,

   181 = 3 + 5n – 5,

   181 = 5n – 2,

    5n = 181 + 2,

    5n = 183,

      n = 36,6.

Число 36,6 не є натуральним, тому число 181 не є членом арифметичної прогресії.

 

V. Первинне осмислення та сприйняття отриманих знань.

 

а1	d	Арифметична прогресія
1	2
0	-2
5	0
1,1	-0,5

 

VI. Використання знань в стандартних умовах.

Розв’язування вправ.

 

VII. Підсумок уроку.

 

VIII. Домашнє завдання.