БАЗОВІ ЗАДАЧІ, ЯКІ МОЖНА ПРОПОНУВАТИ УЧНЯМ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ ЧОТИРИКУТНИКІВ

Про матеріал

Ефективним є метод навчання учнів розв’язуванню геометричних задач, який ґрунтується на використанні деяких висновків, отриманих при розв’язуванні базових задач. Під базовими розуміємо задачі на доведення залежностей (співвідношень), які ефективно використовуються при розв’язуванні багатьох інших геометричних задач. Зрозуміло, що немає і не може бути повного переліку базових задач, які повинен знати учень. В кожному конкретному випадку об’єм алгоритмічних відомостей, що надається вчителем, може бути більшим чи меншим. Але якийсь мінімум цих відомостей учні повинні отримати, щоб мати змогу просуватись в розв’язанні складніших задач . Для кращого запам’ятовування алгоритмічних відомостей можна пропонувати учням записувати їх в окремий зошит, що дасть змогу необхідності легко знайти і згадати забуті формулу або алгоритм.

Перегляд файлу

БАЗОВІ ЗАДАЧІ, ЯКІ МОЖНА ПРОПОНУВАТИ УЧНЯМ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ ЧОТИРИКУТНИКІВ, А ТАКОЖ ПРИКЛАДИ ЗАДАЧ, ЩО РОЗВ’ЯЗУЮТЬСЯ З ЇХ ЗАСТОСУВАННЯМ.

Відмітимо деякі властивості чотирикутників, які часто застосовуються при розв’язуванні задач:

Сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює
Якщо з’єднати послідовно середини всіх сторін довільного чотирикутника ,то отримаємо паралелограм.

Доведення цих властивостей очевидне .

Базова задача 1. Довести, що площа будь-якого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей, помноженому на синус кута між ними:

де S – площа чотирикутника, d₁ і d₂ – довжини його діагоналей, - величина кута між діагоналями чотирикутника.

Доведення:

Нехай в чотирикутника ABCD діагоналі АС і ВС дорівнюють d₁ і d₂ відповідно, a . Знайдемо площі кожного трикутника, на які діагоналі розділили даний чотирикутник:

Аналогічно

, .

Додамо ліві і праві частини даних рівностей:

Задача 1.1 На сторонах квадрата ABCD дано точки М, N і К, де М – середина AB, N належить стороні ВС, причому 2BN=NC, К належить стороні DA, причому 2DK=КА. Знайти синус кута між МС і NK.

Розв’язання:

Нехай і

Обчислимо площі трикутників

Тоді

(*)

Неважко обчислити діагоналі МС і NK чотирикутника MNCK:

, .

Знайдемо за формулою базової задачі 1:

(**)

Прирівняємо праві частини рівностей (*) і (**)

Задача 1.2 В коло вписано чотирикутник з кутами 120°, 90°, 60°, 90°. Площа чотирикутника дорівнює

см². Знайти радіус кола, якщо діагоналі чотирикутника взаємно перпендикулярні.

Розв’язання:

Нехай ABCD даний чотирикутник вписаний в коло, , , , .

. За висновком базової задачі 1

(*)

Нескладно довести, що і –рівнобедрені, отже , .

Позначимо , тоді ,

, . Підставимо довжини діагоналей у рівність (*):

т. б. . Значить .

Базова задача 2. Довести, що якщо в чотирикутник вписано (або можна вписати) коло, то суми довжин його протилежних сторін рівні.

Доведення: Розглянемо чотирикутник ABCD, в який вписано коло. Нехай К, L, М, N – точки дотику чотирикутника і кола.

Тоді

(відрізки дотичних, проведених з відповідних точок).

Звідси:

т. б. .

Задача 2.1 Навколо кола описана рівнобічна трапеція з бічною стороною l, одна з основ якої дорівнює а. Знайти площу трапеції.

Розв’зання:

Нехай ABCD – дана трапеція, у якої AD=a, AB=l. Із властивості описаного навколо кола чотирикутника знаходимо, що

Побудуємо,

З : .

Звідси: .

Задача 2.2. Пряма, перпендикулярна до двох сторін паралелограма, ділить його на дві трапеції, в кожну з яких можна вписати коло. Знайти гострий кут паралелограма, якщо довжини його сторін дорівнюють a i b (a < b).

Розв’язання:

Нехай у паралелограма ABCD AB=a, AD=b і пряма EF перпендикулярна до AD і BC. Згідно умови в кожну з отриманих прямокутних трапецій можна вписати коло.

Нескладно довести, що .

Нехай і .

Тоді і .

За властивістю базової задачі 2 маємо

, .

Базова задача 3. В трапеції ABCD основи AD і ВС відповідно дорівнюють а і b. Через точку Е, що належить стороні АВ, причому , проведено пряму, паралельну основам трапеції, яка перетинає сторону CD в

точці F. Довести, що .

Доведення: Через вершину трапеції С проведемо пряму, паралельну стороні АВ, яка перетинає прямі EF і AD в точках Р і Q відповідно. Зрозуміло, що

і .

, а значить ,

т.б. , звідки .

Задача 3.1 Пряма, паралельна основам трапеції, проходить через точку перетину її діагоналей. Знайти довжину відрізка цієї прямої, розташованого між бічними сторонами трапеції, якщо основи трапеції дорівнюють

4 см і 12 см.

Розв’язання:

В трапеції ABCD AD=12 см і ВС=4см. Через точку О – точку перетину діагоналей проведемо пряму, паралельну основам трапеції, яка перетинає сторони АВ і CD в точках Е і F відповідно.

;

У такому ж відношенні точка Е ділить АВ т. б.

, тоді, використовуючи твердження базової задачі 3, маємо:

Задача 3.2 Два кола радіусами і дотикаються зовнішнім дотиком. Знайти відстань від точки дотику кіл до їх спільних дотичних.

Розв’язання:

Нехай радіуси кіл з центрами О і О₁, які дотикаються в точці С , дорівнюють 1 см і 3 см відповідно. Проведемо радіуси ОА і О₁В в точки дотику кіл до їх спільної зовнішньої дотичної.

ОАВО₁ – прямокутна трапеція. З точки С опустимо перпендикуляр СЕ на АВ. СЕ – шукана відстань.

Оскільки СЕ паралельний основам трапеції ОАВО₁, то згідно формули базової задачі 3, маємо:

Зрозуміло, що така ж буде і відстань від точки С до другої спільної зовнішньої дотичної.

Базова задача 4. Довести, що у рівнобічній трапеції, перпендикуляр, проведений з вершини меншої основи до більшої, ділить її на частини, більша з яких дорівнює по довжині середній лінії трапеції.

Доведення: Нехай ABCD – рівнобічна трапеція () і AB=CD. Побудуємо .

, тоді

Задача 4.1 Навколо трапеції ABCD описане коло, діаметром якого є основа AD, що дорівнює а. Діагональ трапеції АС дорівнює l. Знайти площу трапеції.

Розв’язання:

Так як навколо трапеції описане коло, то вона рівнобічна. Згідно умови, AD – діаметр описаного кола, тому – прямокутний. Проведемо . Згідно твердження, доведеного в базовій задачі 4, довжина АЕ дорівнює довжині середньої лінії.

З ,

Задача 4.2 Знайти площу рівнобічної трапеції, якщо її більша основа, діагональ і бічна сторона дорівнюють 4; 3 і 2 відповідно.

Розв’язання:

У рівнобічній трапеції ABCD більша основа , діагональ і бічна сторона . Побудуємо . За формулою Герона обчислимо площу .

З іншого боку _,

Або _,.

З .

Використовуючи твердження базової задачі 4, отримаємо:

Базова задача 5. Довести, що якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то довжина висоти трапеції дорівнює довжині середньої лінії, а площа дорівнює квадрату її висоти.

Доведення:

Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, діагоналі якої АС і BD взаємно перпендикулярні. Через точку перетину діагоналей О проведемо висоту трапеції EF. З того, що трапеція рівнобічна, випливає, що ΔAOD і ΔВОС – рівнобедрені. Але оскільки вони ще й прямокутні, то

Додамо ці рівності:

значить .

Задача 5.1 Площа рівнобічної трапеції, діагоналі якої взаємно перпендикулярні, дорівнює S. Знайти периметр цієї трапеції, якщо її бічна сторона утворює з більшою основою кут α.

Розв’язання:

Нехай ABCD – рівнобічна трапеція. Побудуємо . Оскільки діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні, то

З : .

Отже:

Задача 5.2 У рівнобічної трапеції середня лінія дорівнює m, а діагоналі взаємно перпендикулярні . Обчислити площу трапеції.

Розв’язання:

Нехай ABCD – рівнобічна трапеція (). Середня лінія якої дорівнює m, . За висновком базової задачі 5 висота даної трапеції дорівнює m, а площа m².

Базова задача 6. Довести, що якщо в рівнобічну трапецію можна вписати коло, то висота трапеції є середнє геометричне її основ.

Доведення: Нехай ABCD - рівнобічна трапеція, в яку вписано коло . Побудуємо . Нехай , , . За властивістю, доведеною в базовій задачі 2, . Як уже відзначалось .

З :

отже .

Задача 6.1 Навколо кола радіусом 5 см описана рівнобічна трапеція . Відстань між точками дотику бічних сторін дорівнює 8 см . Знайти площу трапеції.

Розв’язання:

Навколо кола з центром О описана рівнобічна трапеція ABCD (), яка дотикається кола в точках Е, N, F, М. За умовою , .

Оскільки точки Е і F рівновіддалені від основи AD трапеції, то .

Нехай і ,

тоді , .

Використовуючи висновок базової задачі 6, маємо:

, т. б. або .

Використавши результат базової задачі 3, отримаємо:

;

, або , .

Задача 6.2 В рівнобічну трапецію вписано коло радіусом R. Одна з основ трапеції у два рази менше її висоти. Знайти площу трапеції.

Розв’язання:

Нехай ABCD дана рівнобічна трапеція (), MN – висота трапеції, , .

Так як , то .

За висновком базової задачі 6:

Базова задача 7. Довести, що сума квадратів довжин діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів довжин його сторін.

Доведення:

Нехай у паралелограма ABCD ,

тоді .

З за теоремою косинусів

3 аналогічно

Додамо ці рівності:

Задача 7.1 В трикутник вписано паралелограм зі сторонами 3 см і 5 см і діагоналлю 6 см. Знайти сторони трикутника, якщо відомо, що діагоналі паралелограма відповідно паралельні двом сторонам трикутника, а менша з його сторін лежить на третій стороні трикутника.

Розв’язання:

В паралелограмі DEFH, який вписано в трикутник ABC, , , . Нехай відповідно до умови , . Тоді очевидно, що і

Знайдемо DF за допомогою результату базової задачі 7

Тоді

Задача 7.2 Перпендикуляр, проведений з вершини паралелограма до його діагоналі, ділить цю діагональ на відрізки довжиною 6 см і 15 см. Різниця довжин сторін паралелограма дорівнює 7 см. Знайти довжини сторін паралелограма і його діагоналі.