конспект уроку з алгебри у 10 класi Розв'язування тригонометричних рiвнянь

Тема:     основні способи розв’язування тригонометричних

                рівнянь.

Мета уроку:  ознайомити учнів із загальною схемою розв’язу-

                        вання тригонометричних рівнянь різних типів.

                         Формувати уміння розв’язувати тригонометричні

                        рівняння зведенням до квадратного рівняння.

                         Навчити учнів розв’язувати однорідні тригономе-

                        тричні рівняння першого і другого степенів  за

                       допомогою ділення правої і лівої частини рівняння

                         на cos x      

 

Учні повинні: мати уяву про різні способи розв’язування 

                          тригонометричних рівнянь, вміти зводити

                          тригонометричне рівняння до алгебраїчного,

                          уміти розв’язувати однорідні тригонометричні

                         рівняння першого та другого степенів способом

                        ділення лівої і і правої частини рівняння на cos x                      

                       Структура уроку:

1. Організаційний момент.
2. Опитування учнів.
3. Перевірка домашнього завдання
4. Вивчення нового матеріалу.
5. Закріплення нового матеріалу
6. Підсумок уроку.
7. Домашнє завдання.

 

 

Хід уроку:

 

1. Організаційний момент.

Тема сьогоднішнього уроку  «Основні способи розв’язування тригонометричних рівнянь» і на цьому уроці ми з вами познайомимось із деякими видами рівнянь, способами їх розв’язування. Навчимося розв’язувати більш складніші рівняння. У  проведення уроку нам допоможе презентація, на якій розміщено і завдання, і правильні відповіді, і елементи пояснення нового матеріалу. Для кращого засвоєння нового матеріалу  проведемо опитування, яке і буде невеличким повторенням матеріалу необхідного на сьогоднішньому уроці.

 

 

2. Опитування учнів.

 

Ви отримали бланки на яких будемо відмічати отримані бали за кожен етап уроку.

 

1	ОПИТУВАННЯ УЧНІВ	БАЛИ
	Математичний диктант
	Вкажи правильну відповідь
	Виправ помилки у розв’язку
	Продовж послідовність розв’язування
2	ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ	БАЛИ
3	ПОЯСНЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ	БАЛИ
4	ЗАКРІПЛЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ	БАЛИ
5	ПІДСУМОК УРОКУ	БАЛИ

 

 

Розпочинаємо нашу роботу з математичного диктанту.

ДИКТАНТ

1. arcsin 1                 _________________

 

2. arccos 0               _________________

 

 

3. arctg 1            __________________

 

4. arccg -1             __________________

 

5. arcsin   1                __________________    

                 2  

6.  arcctg  1                __________________

                         

А тепер міняємось нашими завданнями для перевірки оди з одним .  Правильні відповіді розміщені на презентації. Якщо відповідь правильна то навпроти неї ставимо значок +, якщо ні, то - . Кожна правильна відповідь оцінюється у 0,5 бала.  За правильно виконаний математичний диктант ви отримуєте в

 3 бали.  Загальну кількість балів заносимо у  бланк.

Учні перевіряють роботи один одного, оцінюють їх .

Кожен фіксує свій результат у бланку відповідей.

 

Вкажи правильну відповідь:

 

        На вашому робочому місці знаходяться карточки, які є правильними відповідями до запитань, які вам будуть запропоновані. Отож уважно на монітори, читаємо запитання, вибираємо правильну відповідь і піднімаємо вгору карточку.

 

                                 ЗАПИТАННЯ:

1. Вкажіть розв’язок рівняння    SIN X = a  ;

2. Вкажіть розв’язок рівняння    SIN X = 0  ;

3. Вкажіть як розкладається  sin 2x ;

4. Вкажіть розв’язок рівняння    SIN X = -1  ;

5.  Вкажіть розв’язок рівняння  COSX = 0;

6.  Вкажіть розв’язок рівняння   tg X =-1

 

 

Підведемо підсумок нашої роботи. За кожну правильну відповідь ви отримуєте по 0,5 бала. Підрахуйте свої бали і занесіть загальний бал у бланк відповідей.

 

                          Виправ помилки у розв’язку:

Ви отримали рівняння, які вже розв’язані. Але чи правильно? Ваше завдання перевірити розв’язок і якщо є помилка то знайти її.

Учні шукають помилки у розв’язках, якщо знаходять обґрунтовують її, спираючись на теоретичний матеріал.

Роблять відповідні записи на карточках

 

 

                                     Карточка 1

 

COS  X = 1  ;  X = + П  +  2П k ,  k є   Z ;

    2               6

 

                                     Карточка 2

                 ___

SIN X = V  3     ;  X = П  + П k , k є Z ;

                  2                 3

 

                                     Карточка 3

 

tg X   = П  ; Х = 1+ П k , k є Z ;

              4

                                     Карточка 4

 

COS  X =- 1  ;  X = + (- П ) +  2П k ,  k є   Z ;

     2                    3

 

                                Карточка 5

 

COS  X =П  ;  X = + (1 ) +  2П k ,  k є   Z ;

   3                  2

 

                                Карточка 6

 

COS  X = 2  ;  X = + ARCCOS  2   +  2П k ,  k є   Z ;

                   

                                Карточка 7

SIN X = 1 ;  X = П  + П k , k є Z ;

               2            4

 

                                Карточка 8.

 

tg X   = 1 ; Х = ARCTG  1 + П k , k є Z ;

 

 

 

 

Продовж послідовність розв’язування

І для загального підсумку опитування і повторення матеріалу розв’яжемо разом рівняння. Кожен робить лише один крок  послідовності розв’язку.

 

                                                    __

                  2SIN( 2X -  П  ) – V2     =  0  ;

                                      3

                                                       ___

1-учень       2SIN ( 2X – П  ) = V 2         ;

                                         3         ___

2-учень      SIN ( 2X – П  )  = V 2            ;

                                      3           2

                                          К                              _____

3-учень     2X – П   = (-1) ARCSIN  V 2     + kП ,    k є Z  ;

                            3              к                  2      

4- учень      2X – П   = (-1) П   +   kП ,        k є Z  ;

                            3         к      4 

5-учень         2X   = (-1) П  +  П +   kП ,        k є Z  ;

                                        4        3

6-учень         X   = (-1) П  +  П +   kП ,        k є Z  ;

                                       8       6         2

 

Перевіримо хід виконання розв’язку.

На екранi демонструється розв’язок даного рівняння. Кожен із учнів перевіряє свій крок. Якщо хід правильний заносить у бланк відповідей 1 бал.

 

Перевірка домашнього завдання

На моніторі учні звіряють відповіді до рівнянь, які розв’язували вдома, якщо відповіді правильні, то заносять у бланк відповідей ще по 2 бали

 

3. Пояснення нового матеріалу.

Ми вже вміємо розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння. Але щоб дістати такі рівняння, дуже часто треба виконувати цілу низку тотожних перетворень. Тому рівняння поділили на декілька типів кожен з яких має свій спосіб розв’язування. Сьогодні ми познайомимось з деякими типами тригонометричних рівнянь і способами їх розв’язування.

Перший тип це –

Рівняння, що зводяться до алгебраiчних ( квадратних «простою» заміною)

                            2

1. Рівняння asin x + bcos x+ c = 0 ;

                              ₂

                      acos x + bsin x + c = 0

зводяться до квадратних  відносно нової змінної  t , де

t = sin x   або t = cos x

 

Отже рівняння бажано звести до однієї функції і одного аргументу.

Наприклад

                                            2

                  2cos x - 5sin x + 2 =0  ;

Врахувавши, що

                                                2                             2                

                      cos x = 1 – sin x , матимемо:

                                                           2                          

                      2(1-sin x ) + 5sin x – 4 =0;

                                                               2                     

2. – 2sin x + 5 sin x – 4 =0;
3.  

                                                      ₂             

                       -2sin x +5sin x – 2 = 0;

                                                      ₂

                        2sin x - 5sin x + 2 = 0;

Зробимо заміну

                        Sin x = y  . Одержимо рівняння

                                                          ₂

                             2y – 5y + 2 = 0 

Коренями якого є

                              y1 = 1  ,   y2= 2 .

                                           2

Повертаючись до заміни, матимемо:

                                              k

1)   SIN X = 1  ;        X=(-1) П  + Пk , k є Z  ;    

                           2                       6

   2)  SIN X = 2 – рівняння коренів не має.

 

                          k

Відповідь:  (-1) П + Пk ;  k є  Z;

                           6

Для закріплення вивчення даного способу розв’язуємо рівняння:

             __                       __

tg x – V 3   ctg x + 1 = V 3   ;

розв’язання:

            ___                           __

tg x – V 3   .  1       + 1 =  V 3

                      tgx

    2                   __              __

tg x + tg x – V 3   tg x  - V 3  = 0;

 

    2                 __               __

tg x + (1 -  V 3  ) tg x  - V 3  = 0;

 

здійснимо заміну:

                            2               2

tg x  = t , тоді   tg x  =  t

                                                    __

за теоремою Вієтта   t1 + t2  = -V 3    + 1 ,

                                                   ___

                                    t1  t2  = -V 3    ,

                          __

звідси     t1 = -V 3   ;    t2 =  1 .

повертаючись до заміни матимемо:

                __

tg x =  -V 3                                або                                  tg x =  1  

                    __

x = arctg (-V 3 ) + kП , k є Z ;                x = arctg 1+ kП , k є Z ;               

 

X = - П + kП , k є Z ;                               x = П+ kП , k є Z ;               

          3                                                            4

 

Для знайдених коренів sin x  не  = 0 і cos x не = 0,

Отже вони є коренями вихідного рівняння

Відповідь:  

  X = - П + kП , k є Z ;                               x = П+ kП , k є Z ;               

            3                                                            4

 

Однорідні тригонометричні рівняння

 

Однорідні тригонометричні рівняння першого степеня відносно синуса і косинуса

    Так називають рівняння виду

                          a sin x + bcos x = 0

де а і b – деякі числа, з яких хоча б одне відмінне від нуля.

 

Якщо одне з чисел  дорівнює нулю то рівняння зводиться до найпростішого тригонометричного рівняння

                                        sin x  = 0

                            cos x = 0

Якщо ж обидва числа відмінні від нуля , то для розв’язання рівняння обидві його частини ділять на  cos x і одержують рівносильне йому рівняння

 

                        atg x + b = 0

обґрунтуємо, що поділивши обидві частини рівняння на cos x , отримаємо рівносильне йому рівняння. Ми тим самим виключили з розгляду значення х, для яких cos x =0. Однак ці значення не є коренями рівняння. Справді , якщо

 cos x = 0,       x=П + kП  k є  Z звідки sin x =1   sin x = -1.

                             2

Для таких значень  ч рівняння перетворюється у рівність

                              a (+1) + b 0 = 0  яка є неправильною

Наприклад

 

2sin x  - cos x = 0

Поділимо обидві частини рівняння на cos x , матимемо:

 

2tg x – 1 = 0

2tg x = 1 

tg x =1

          2

X = arctg 1  + Пk , k є Z;

                2 

Відповідь:  arctg 1  + Пk , k є Z

                             2

      Для закріплення вивчення даного способу  розв’язуємо  рівняння:

                 __

sin x - V 3 cos x  = 0 ;

                 __

sin x   -  V 3  cos x  =     0       

cos x          cos x           cos x

             __

tg x – V 3   = 0;

             __

tg x = V 3 ;

 

                 __

x= arctg V 3  + Пk , k є Z;

 

x= П + Пk , k є Z;

     3

Однорідні тригонометричні рівняння другого степеня відносно синуса і косинуса

так називають рівняння виду:

       2                                                                           2

 asin x  + bsin x  cos x  +  c cos x = 0 ,

 де  a,b,c  - деякі числа, з яких хоча б одне відмінне від нуля.

 

Якщо а = 0  або с = 0  то рівняння можна розв’язати  способом розкладання  на множники.

Якщо ж а не = 0 і с не = 0 , то поділивши обидві частини рівняння

            2

на   cos x ,  одержимо рівносильне йому рівняння

 

 

                                                           2

                          atg x  + btg x + c = 0

Наприклад

 

Розв’язати рівняння

                                   2                                                       2

                2sin x – 3sin x  cos x + cos x = 0

                                                                      2

Поділимо обидві частини рівняння на cos x  ,

                                   2                                                                    2

                2sin x    -   3sin x  cos x   +   cos x     =     0

                                     2                                            2                                  2                             2                                           

                cos x                  cos x           cos x          cos x

 

одержимо рівняння

                       2      

             2tg x – 3 tg x  + 1 = 0.

Здійснимо заміну  

                                  tg x = y.   Маємо

                                2

                           2 y – 3y +1 = 0 ;

                  y1 = 1   ;      y2 = 1.

                          2

Повернувшись до заміни отримаємо:

1)  tg x =1               x = arctg 1  + Пk , k є Z;                

               2                              2

 2)  tg x = 1             x = arctg 1 + Пk , k є Z;

                                 X = П + Пk , k є Z;

                                         4   

Відповідь     arctg 1  + Пk , k є Z;                  

                               2

 

                      П + Пk , k є Z;

                       4  

 Для закріплення вивчення даного способу розв’язуємо рівняння:

          2                                          2

4cos x – sin 2x – 4 sin x = 1

 

          2                                                        2

4cos x – 2sin x cos x– 4 sin x = 1

 

          2                                                        2                  2                2

4cos x – 2sin x cos x– 4 sin x = sin x + cos x

          2                                                        2                  2                2

4cos x – 2sin x cos x– 4 sin x -  sin x -  cos x= 0

 

          2                                                       2                               

3cos x – 2sin x cos x– 5sin x    =    0

            2                         2                        2                       2                                                                 

 cos x          cos x          cos x            cos x

 

                                       2

3 – 2 tg x – 5tg x  = 0

 

       2

-5tg x -2tg x +3 = 0

 

      2

5tg x +2tg x - 3 = 0

                             2             2

tg x = y             tg x = y

     2

5y + 2y – 3 =0

 

D = 64

y1  =  3   ,         y2 = -1   

         5

Вернувшись до заміни матимемо:

 tg x =  3  ,            x = arctg 3   + Пk , k є Z;                              

             5                              5

tg x = -1 ,              x = -П+ Пk , k є Z;                              

                                      4

 

4. Підсумок уроку.

 

Назвіть способи розв’язування тригонометричних рівнянь, з якими ви познайомились.

 

Перечисліть тригонометричні формули , які були використані на уроці при розв’язування тригонометричних рівнянь.

 

 

5. Домашнє завдання.

 Розв’язати рівняння

           2

2 sin x  + sin x = 0

         2           __

2cos x  - V 3  cos x = 0

                                         2

cos 2x – sin x cos x  = sin x

     2                                                       2

2sin x + 3sin x cos x + cos x = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНСПЕКТ  УРОКУ

з алгебри

у 10 класі

на тему:

«Основні способи розв’язування

тригонометричних рівнянь»

 

 

 

                                               Вчитель математики

                                    Теофіпільської ЗОШ І-ІІІст.

                                        Зубик В.З.