Кут між прямими та між прямою і площиною у просторі

Про матеріал

формування в учнів поняття кута між двома прямими, між прямою і площиною у просторі, навчитися застосовувати ці поняття при розв’язуванні задач; розвивати увагу, розумову діяльність та пам'ять; сприяти розвитку в учнів просторової уяви, вміння знаходити даний кут на зображенні чи моделі.

Перегляд файлу

Предмет: Геометрія Вчитель: Околіта М. В.

Клас 10

Тема: Кут між прямими та між прямою і площиною у просторі

Мета: формування в учнів поняття кута між двома прямими, між прямою і площиною у просторі, навчитися застосовувати ці поняття при розв’язуванні задач; розвивати увагу, розумову діяльність та пам'ять; сприяти розвитку в учнів просторової уяви, вміння знаходити даний кут на зображенні чи моделі.

Тип уроку: засвоєння знань і умінь.

Хід уроку

І. Організаційний етап.

- привітання;

- перевірка присутніх учнів і їх готовність до уроку;

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Домашнє завдання перевіряю таким чином, проводжу бліц-опитування «Чи правильне твердження?»

Якщо дві прямі лежать в одній площині, то вони не мимобіжні	+
Якщо дві прямі не перетинаються, то вони паралельні	-
Дві прямі завжди лежать в одній площині	-
Якщо пряма в просторі перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає і другу	-
Паралельні прямі можуть лежати в двох площинах, що перетинаються	+
Через точку, що не належить даній прямій, можна провести єдину пряму, яка не перетинає даної прямої	-
Якщо точки А, В, С і Д не лежать в одній площині, то прямі АВ і СД мимобіжні	+
Дві прямі, мимобіжні до третьої прямої, мимобіжні між собою	-
Якщо точки А, В, С і Д лежать в одній площині, то прямі АС і ВД перетинаються	-
Якщо пряма паралельна одній із двох мимобіжних прямих, то вона може перетинати другу	+

ІІІ. Організація вивчення нового матеріалу.

Давайте пригадаємо з вами випадки взаємного розміщення прямих на площині. (до кожного випадку, учні повинні зробити малюнок на дощці)

Прямі а і b перетинаються;
Прямі а і b паралельні;
Прямі а і b мимобіжні (це в просторі)

А тепер пригадаємо випадки розміщення прямої і площини.

Пряма а і площина α паралельні.
Пряма а і площина α перетинаються.
Пряма а лежить в площині α.

Постає проблема – як знайти кут в кожному з цих випадків?

Мотивація навчання.

Визначити кут між мимобіжними прямими та прямою і площиною в просторі ми ще не можемо, через відсутність знань і означень.

Тому спробуємо спочатку дати відповідь на таке запитання: «У професії тракториста, де можна зустріти поняття кута і які саме кути пов’язані з трактором ви можете назвати? »

Кут поперечного нахилу шворня.

Кут повороту коліс, кут розвалу коліс, кут сходження коліс

Кути повороту рульового колеса

Кут атаки дискової борони

Кут повороту колінчастого валу

Гранично допустимий кут підйому

Гранично допустимий кут поперечного крену трактора

Чи можете ви сказати, як визначаються такі кути?

На сьогоднішньому уроці ми познайомимося якраз із такими поняттями, як кут між прямими, між прямою і площиною, а вже на наступному спробуємо визначити кут між площиною.

Засвоєння нового матеріалу.

При введенні кута між прямими чітко відокремлюємо три випадки:

прямі а і b перетинаються. За аксіомою С3 прямі а і b визначають площину α. Дві прямі площини, що перетинаються, утворюють суміжні і вертикальні кути. Пригадуємо що це за кути і вводимо означення кута між прямими, що перетинаються. Кутова міра меншого з кутів називається кутом між прямими. Якщо прямі перпендикулярні, то кут між ними дорівнює 90º.

Прямі а і b паралельні. За означенням паралельних прямих у просторі, вони теж лежать в одній площині α. Вважають, що кут між паралельними прямими дорівнює нулю.

Прямі а і b мимобіжні. Ставиться запитання, як учні уявляють собі кут між мимобіжними прямими і демонструють це на моделі. Вводимо означення кута між мимобіжними прямими. Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються і паралельні да ним мимобіжним прямим. Доводимо, що цей кут не залежить від вибору прямих, що перетинаються. Пропоную учням на моделі каркасного паралелепіпеда показати мимобіжні прямі і кут між ними. Розглянемо поняття кута між прямою і площиною. Пропоную учням показати на моделі кут, який є на їхню думку кутом між прямою і площиною, які перетинаються.

Скільки прямих можна провести через точку А у площині α? – безліч

Чи однакові кути, утворені цими прямими з прямою а? – ні

Пропоную учням провести через точки прямої а перпендикуляри до площини . Основи цих перпендикулярів лежатимуть на прямій МВ. Бо вже один такий перпендикуляр і пряма а визначають площину β, яка перетинається з площиною α по прямій МВ. Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її проекцією на площину. Зауважимо, що кут між паралельними прямою і площиною дорівнює нулю, а між перпендикулярними - 90º. Кут між прямою і площиною, як і кут між двома прямими не геометрична фігура, а величина, кутова міра.

ІV. Практичне закріплення нового матеріалу.

Розв’язування усних вправ за готовими малюнками.

- АВ – похила, ВС – перпендикуляр до площини α.

- Вказати кут між прямою АВ і площиною α.

- Площина α проходить через сторону АД ΔАВД. Вказати кути нахилу сторін АВ і ВД до площини α.

Колективне розв’язування задачі.

Точка А віддалена від площини на відстань h. Знайдіть довжини похилих, проведених з цієї точки під такими кутами до площини: 1) 30º; 2) 45º; 3) 60º.

V. Підведення підсумків уроку.

На уроці засвоїли поняття кута між двома прямими, між прямою і площиною, навчилися знаходити ці кути на моделях і малюнках.

VI. Домашнє завдання.

§5, п 33, стор 177-184

Вправа 34.5, 34.8.