Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння

Алгебра, 8 клас. Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння

квадратний тричленлінійний двочленкоефіцієнти квадратного тричленазведений квадратний тричленквадратне рівняннязведене квадратне рівняннякоефіцієнти квадратного рівняння. КЛЮЧОВІ ТЕРМІНИ

Цікаво знати!Квадратні рівняння вміли розв’язували ще в Стародавньому Вавилоні в ІІ тисячолітті до н.е.

ЗАПАМ’ЯТАЙОзначення. Рівняння виду 𝒂𝑥2+𝒃𝑥+𝒄=0, де x - змінна, a, b, с – числа (a≠0), називають квадратним 𝒂𝑥2+𝒃𝑥+𝒄=0 Квадратний тричлен. Старший коефіцієнт, a≠0 Другий коефіцієнт. Вільний член

КЛЮЧОВИЙ МОМЕНТКожний коефіцієнт розглядається з тим знаком, який стоїть перед ним. Наприклад, 𝟐𝒙𝟐−𝒙−𝟑 – квадратний тричлен; 𝟐𝒙𝟐−𝒙−𝟑=𝟎 – квадратне рівняння. Запишемо це рівняння у вигляді 𝒂𝑥2+𝒃𝑥+𝒄=0  𝟐𝒙𝟐+−𝟏𝒙+(−𝟑)=𝟎  Звідси a=2 – старший (або перший) коефіцієнт, b=-1 – другий коефіцієнт, с=-3 – вільний член.abc!

Корені квадратного тричлена 𝒂𝑥2+𝒃𝑥+𝒄 є коренями відповідного квадратного рівняння 𝒂𝑥2+𝒃𝑥+𝒄=0 Квадратні рівняння мають не більш ніж два корені. ЗАПАМ’ЯТАЙОзначення. Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення цього тричлена дорівнює нулю.

ЗАПАМ’ЯТАЙОзначення. Квадратне рівняння, старший коефіцієнт якого дорівнює 1, називають зведеним.𝑥2+𝒃𝑥+𝒄=0 Означення. Квадратне рівняння, у якому хоча б один з коефіцієнтів b або с дорівнює нулю то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням.𝑥2+𝒄=0𝑥2+𝒃𝑥=0 

Квадратне рівняння𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝟎𝒂≠𝟎 Зведене квадратне рівняння𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝟎 Неповні квадратні рівняння𝒂𝒙𝟐+𝒄=𝟎 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙=𝟎 𝒂𝒙𝟐=𝟎 якщо −𝑐𝑎>0, то𝑥=−−𝑐𝑎 або 𝑥=−𝑐𝑎 ;якщо −𝑐𝑎<0, то коренів немає x=0, x=−𝑏𝑎 x=0

Приклад 1. Визнач коефіцієнти квадратного рівняння:−𝟑𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟏=𝟎; Розв’язання:{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Зміст діїРезультат діїЗапиши рівняння −𝟑𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟏=𝟎 у вигляді 𝒂𝑥2+𝒃𝑥+𝒄=0 (−𝟑)𝒙𝟐+(𝟐)𝒙+(𝟏)=𝟎 Маємо: a=-3, b=2, c=1{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Зміст діїРезультат дії

Приклад 2. Визнач коефіцієнти квадратного рівняння:𝟏𝟐𝒙𝟐−𝟒𝒙=𝟎; Розв’язання:{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Зміст діїРезультат діїЗапиши рівняння 𝟏𝟐𝒙𝟐−𝟒𝒙=𝟎у вигляді 𝒂𝑥2+𝒃𝑥+𝒄=0 (𝟏𝟐)𝒙𝟐+(−𝟒)𝒙+(𝟎)=𝟎 Маємо: a= 12, b=-4, c=0{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Зміст діїРезультат дії

Приклад 3. Визнач коефіцієнти квадратного рівняння:𝟐𝟓𝒙𝟐−𝟏=𝟎; Розв’язання:{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Зміст діїРезультат діїЗапиши рівняння 𝟐𝟓𝒙𝟐−𝟏=𝟎у вигляді 𝒂𝑥2+𝒃𝑥+𝒄=0 (𝟐𝟓)𝒙𝟐+(𝟎)𝒙+(−𝟏)=𝟎 Маємо: a= 25, b=0, c=-1{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Зміст діїРезультат дії

Приклад 4. Склади квадратне рівняння, у якому старший коефіцієнт (-3), другий коефіцієнт 15, вільний член (-2,3). Розв’язання:{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Зміст діїРезультат діїПідстав у рівняння 𝒂𝑥2+𝒃𝑥+𝒄=0 задані значення коефіцієнтів.a= −3, b= 15, c= -2,3 Маємо: −𝟑𝒙𝟐+𝟏𝟓𝒙+(−𝟐,𝟑)=𝟎 Розкрий дужки в отриманому рівнянні.−𝟑𝒙𝟐+𝟏𝟓𝒙−𝟐,𝟑=𝟎 Зверни увагу: можна помножити обидві частини рівняння на (-10) та отримати квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами: 𝟑𝟎𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟐𝟑=𝟎 {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Зміст діїРезультат діїРозкрий дужки в отриманому рівнянні.

ПРИГАДАЙДо квадратних рівнянь можна застосувати всі правила рівносильних перетворень рівнянь:доданки можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінюючи їх знак на протилежний;до обох частин рівняння можна додавати те саме число (від обох частин рівняння можна віднімати те саме число):обидві частини рівняння можна множити або ділити на те саме число, відмінне від нуля. Завдання.1. Визнач коефіцієнти поданого квадратного рівняння:2𝑥2+3𝑥−5=0;−5𝑥2−11𝑥+4=0;3𝑥2−19=0;18𝑥2+6𝑥=0.2. Склади квадратне рівняння, у якому:старший коефіцієнт 8, другий коефіцієнт (-6), вільний член 11;старший коефіцієнт 2, другий коефіцієнт 15, вільний член -1;старший коефіцієнт 5, другий коефіцієнт 14, вільний член (-1,6);старший коефіцієнт (-6), другий коефіцієнт (-2,4), вільний член 17. 

Приклад 5. Зведи рівняння −2𝑥(𝑥+1)−2𝑥−32=4𝑥2−1 до вигляду 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0. Визнач його коефіцієнти. У відповідь запиши відношення вільного члена до старшого коефіцієнта Розв’язання:{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Зміст діїРезультат діїРозкрий дужки у лівій частині рівняння.−2𝑥2−2𝑥−4𝑥2−12𝑥+9=4𝑥2−1;−2𝑥2−2𝑥−4𝑥2+12𝑥−9=4𝑥2−1 Перенеси всі доданки в ліву частину рівняння.−2𝑥2−2𝑥−4𝑥2+12𝑥−9−4𝑥2+1=0 Зведи подібні доданки в лівій частині рівняння й запиши отримане рівняння у вигляді 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0.−10𝑥2+10𝑥-8=0 Поділи обидві частини рівняння на (-2).−10𝑥2+10𝑥-8=0 Ӏ : (-2);5𝑥2−5𝑥+4=0 Визнач коефіцієнти отриманого квадратного рівняння.𝑎=5,  𝑏=−5,  𝑐=4 Знайди відношення вільного члена до старшого коефіцієнта𝑐𝑎=45=0,8{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Зміст діїРезультат діїРозкрий дужки у лівій частині рівняння. Перенеси всі доданки в ліву частину рівняння. Поділи обидві частини рівняння на (-2). Визнач коефіцієнти отриманого квадратного рівняння. Знайди відношення вільного члена до старшого коефіцієнта. Відповідь: 𝑎=5,  𝑏=−5,  𝑐=4;    0,8 

Зведи задане рівняння до вигляду 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,  визнач його коефіцієнти й запиши у відповідь:cуму старшого коефіцієнта та вільного члена:       8𝑥𝑥−2+3=6−2𝑥2;відношення вільного члена до старшого коефіцієнта: −6𝑥𝑥−4−3𝑥−42=8−5𝑥2;відношення вільного члена до старшого коефіцієнта: (4𝑥+3)2−5𝑥−2𝑥+3=2𝑥2+(𝑥−5)(𝑥+5) «Для того щоб удосконалити розум, треба більше розмірковувати, ніж заучувати»Рене Декатр