Навчально - методичний посібник "Принцип Діріхле в олімпіадних задачах".

Про матеріал
Посібник присвячений олімпіадним завданням , які розв'язуються за допомогою принципу Діріхле. В збірці розв’язуються різноманітні задачі, що були представлені на ІІ, III етапі учнівських олімпіад з математики і в яких треба застосувати принцип Діріхле. Розв’язування таких задач дозволяє активно розвивати логічне мислення дитини. Призначене для вчителів математики, керівників гуртків, факультативів та учнів, які прагнуть розширити і поглибити свої знання при підготовці до учнівських олімпіад.
Перегляд файлу

Відділу освіти

Добропільської міської ради

                                        Методичний кабінет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м. Добропілля

2020

 


Відділ освіти Добропільської міської ради

Методичний кабінет

Навчально-виховний комплекс

загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів-ліцей

м. Добропілля Донецької області

 

 

 

 

Принцип Діріхле в

олімпіадних задачах

                       

Навчально-методичний посібник

(для вчителів та учнів загальноосвітніх навчальних закладів)

 

 

         Підготувала

Лосєва Г.І. – учитель математики навчально-виховного комплексу загальноосвітньої школи I - III ступенів-ліцею м. Добропілля, спеціаліст вищої категорії, учитель – методист

 

 

 

 

 

 

 

Добропілля

        2020ищої

 

Рекомендовано до видання

Рішенням педагогічної ради Навчально-виховного комплексу загальноосвітньої школи  I-III ступенів – ліцею м. Добропілля Донецької області (протокол №2 від  18.02.2020р.)

 

Укладач:

Лосєва Г.І. – учитель математики навчально-виховного комплексу загальноосвітньої школи I - III ступенів-ліцею м. Добропілля, спеціаліст вищої категорії, учитель – методист

  

 

Рецензенти:

 Василенко Т.А.,  методист методичного відділу освіти Добропільської міської ради;

 Юрченко О. В., заступник директора з навчально-виховної роботи навчально-виховного комплексу загальноосвітньої школи I - III ступенів-ліцею м. Добропілля, учитель математики, спеціаліст вищої категорії.

 

 

Принцип Діріхле в  олімпіадних задачах. Навчально-методичний посібник /Укладач: Лосєва Г.І.,–  м. Добропілля, 2020. - 46с.

      

Посібник присвячений  олімпіадним завданням , які  розв'язуються за допомогою принципу Діріхле. Успішне вивчення  матеріалів збірки, дозволяє зрозуміти принцип Діріхле  та засвоїти  його застосування  при розв’язуванні задач, які для абсолютної більшості учнів традиційно є завданнями підвищеної складності, хоча на перший погляд дуже прості у розв’язанні. В збірці  розв’язуються  різноманітні задачі, що були представлені  на ІІ, III   етапі    учнівських  олімпіад  з математики і в яких треба застосовати  принцип  Діріхле. Розв’язування таких задач дозволяє активно розвивати логічне мислення дитини.

Призначене для вчителів математики, керівників гуртків, факультативів та учнів, які прагнуть розширити і поглибити свої знання при підготовці до учнівських олімпіад.

Призначене для вчителів математики, керівників гуртків, факультативів та учнів, які прагнуть розширити і поглибити свої знання при підготовці до учнівських олімпіад.

 

 

 

 

Зміст.

 

Передмова…………………………………………………6

§1. Суть принципу Діріхле.………………………………7

§2. Методи розв'язування задач на застосування

      принципу Діріхле.

     1. Приклади розв'язання типових задач…...……......12

     2. Принцип Діріхле в геометричних задачах ……...20

     3. Задачі на розфарбовування……………………......25

     4. Задачі на подільність… .......................…………....30

     5. Принцип Діріхле в задачах класичної

         ймовірності................................................................33

§3.Завдання для самостійного розв'язання…………......37

Висновки………………………………………………….41

Список використаної літератури……………….……….42

 

 

 

 

 

 


       Передмова.

Не все на світі просто, але є

Якась закономірність саме в тому,

Що істина раптово постає

Крізь ліс ускладнень, в самому простому.

                                  В. Коротич

   Математика - цариця наук - один із головних шкільних предметів. Уміння розв'язувати задачі, особливо олімпіадні, завжди було одним із показників математичної обдарованості учня. Що ж таке олімпіадні задачі? Існує таке трактування: олімпіадні задачі - це завдання, при розв’язанні яких використовуються спеціальні методи. Вони, як правило, не розглядаються в школі на уроці. Розв'язання таких задач сприяє розвитку не тільки інтелектуальних здібностей учнів, а також розвиває їх творчі здібності й пізнавальний інтерес.

  Дуже часто в завданнях математичних олімпіад можна зустріти задачі, розв’язуючи які, треба використати прийом, який називають принципом Діріхле. У шкільному курсі математики цей прийом відсутній. Тому навчити йому варто при підготовці до олімпіад школярів від 5 до 10 класу. Бо вже починаючи з 5 класу учні вільно схоплюють ідею розв’язування завдань із використанням  принципу Діріхле.

   Йоганн Петер Густав Лежен Діріхле (1805-1859) - один із провідних німецьких математиків, який працював над дослідженням різних способів розв'язання задач. Діріхле належать великі відкриття в різноманітних галузях математики, а також у механіці й математичній фізиці. Він вивів безліч формул і принципів розв'язування задач. Один із них так і називається - принцип Діріхле.

 

 

§1. Суть принципу Діріхле.

 У даній роботі розглядається принцип Діріхле, який дозволяє знаходити правильне рішення в нестандартній ситуації при розв’язуванні олімпіадних задач.

C:\Users\Галина\Desktop\ДИРИХЛЕ\85016315.jpg Після придбання пари калош наш інопланетний друг вирішив помістити в них всі свої ноги. Очевидно, що принаймні в одній калоші виявиться не менш двох ніг. Просто? Проте це міркування навіть має свою назву в математиці: принцип Діріхле. Слідуючи йому, ми з вами будемо шукати  ноги і калоші в розв'язуваних задачах.

      Розмову про олімпіадних задачах краще починати з розв'язання таких цікавих завдань. Для учнів 5-6 класів дуже важливий цей «цікавий» підхід. Ще приклад такого завдання:

                Ні у кого з тисячі піратів

Не набереться тисячі дукатів.

Але навіть найменший пірат 

Має все ж хоч один дукат. 

Чи так можна сказати про тих піратів,

Що серед них - безвусих і вусатих, 

Кудлатих, безбородих, бородатих – 

      Є двоє однаково багатих?

Якщо у кожного з піратів різна кількість дукатів і є пірат у якого 1 і немає того, у якого 1000 дукатів. Відповідно 999 піратів може мати різну кількість дукатів, тисячний буде мати з кимось однакову кількість дукатів. Тобто є двоє однаково багатих!   

    Можливо також розглянути забавний переклад одного жартівливого англійського вірша С. Я. Маршаком:

Их было десять чудаков,

Тех путников усталых,

Что в дверь решили постучать

Таверны «Славный малый».

— Пусти, хозяин, ночевать,

Не будешь ты в убытке,

Нам только ночку переспать,

Промокли мы до нитки.

Хозяин тем гостям был рад,

Да вот беда некстати:

Лишь девять комнат у него,

И девять лишь кроватей.

— Восьми гостям я предложу

Постели честь по чести,

А двум придется ночь проспать

В одной кровати вместе.

Лишь он сказал, и сразу крик,

От гнева красны лица:

Никто из всех десятерых

Не хочет потесниться.

Как охладить страстей тех пыл,

Умерить те волненья?

Но старый плут хозяин был

И разрешил сомненья.

Двух первых путников пока,

Чтоб не судили строго,

Просил пройти он в номер «А»

И подождать немного.

Спал третий в «Б», четвертый в «В»,

В «Г» спал всю ночь наш пятый,

В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег

С шестого по девятый.

Потом, вернувшись снова в «А»,

Где ждали его двое,

Он ключ от «И» вручить был рад

Десятому герою.

Хоть много лет прошло с тех пор,

Неясно никому,

Как смог хозяин разместить

Гостей по одному.

Иль арифметика стара,

Иль чудо перед нами,

Понять, что, как и почему,

Вы постарайтесь сами.

Уважний учень відразу помітить, що першого і другого мандрівників в тексті спочатку помістили в кімнату «А», а потім одного з них мимоволі перекинули в десяту кімнату, тобто одну і ту ж людину підрахували два рази.

  Набагато простіше завдання може бути пояснено за допомогою принципу Діріхле. У жартівливій формі принцип Діріхле часто формулюють так: «П’ять кроликів не можна посадити у чотири клітки так, щоб кожний з них сидів в окремій клітці».

  У своїй доповіді «Про професію математика» академік А.М. Колмогоров підкреслив, що навіть довести, що у хвойному лісі з восьмисот тисяч ялинок, на кожній з яких не більше 500000 голок, принаймні на двох ялинках число хвоїнок однакове, викликає труднощі у багатьох учнів випускних класів. Подібні задачі можна умовно назвати задачами на принцип Діріхле. Під цим принципом розуміють таке твердження в найпопулярнішим формулюванні: «Якщо в 100 (або n) клітинах сидить не менше 101 (або n + 1) зайців, то хоча б в одній клітці знаходиться більше одного зайця». 

Використовуючи принцип Діріхле при розв'язанні логічних завдань, необхідно зрозуміти, що в завданні є «ящиками», а що предметами, які «розкладають» в ці «ящики».

 

Існує кілька строгих формулювань даного принципу.

1.Якщо в клітках сидять зайців, причому то хоча б в одній клітці сидять, принаймні, два зайці.

    Доводиться даний принцип Діріхле методом доказу від супротивного:

Нехай не знайдеться така клітина, в якій сидить два зайці, тоді кількість зайців повинні бути менше або дорівнює кількість клітин , що приводить нас до протиріччя.

2. Нехай в клітинах сидять зайців, причому . Тоді знайдеться хоча б одна порожня клітка.

Доказ:

Нехай немає жодної порожньої клітки. Тоді кількість зайців повинно збігатися з кількістю кліток (якщо в кожній клітині хоча б по одному зайцю), або бути більше, що суперечить умові.

3. Припустимо, зайці розсаджені в клітинах. Тоді, якщо то хоча б в одній клітці міститься не менше зайців, а так само хоча б в одній іншій клітці міститься не більше зайців.  

     Не треба боятися дробового числа зайців. Якщо виходить, що в скриньці не менше зайців, тоді їх більш чим два.

C:\Users\Антон\Desktop\Pigeons-in-holes.jpg

C:\Users\Антон\Desktop\TooManyPigeons.jpg

Якщо 9 клітин містять

7 голубів, тоді за принципом Діріхле хоча б одна клітина буде порожньою.

Якщо 9 клітин містять 10 голубів, тоді за принципом Діріхле хоча б в одній клітці знаходиться більш ніж один голуб.

  Припустимо, що в кожній клітині число зайців менше, ніж   .  Тоді  в  клітинах  разом  зайців  менше, ніж 

Протиріччя.

 

4. Якщо в клітинах сидятьзайців і , то в якийсь із клітин сидять, по крайній мірі, заєць (узагальнений принцип Діріхле)

      Нехай не знайдеться така клітина, тобто в кожній з клітин сидить по зайців, тоді зайців повинно бути  , а за умовою зайців як мінімум на одного більше. Прийшли до суперечності з умовою. Отже, є клітина, в якій сидять заєць.

     У завданнях в ролі зайців можуть виступати різні предмети і математичні об'єкти - числа, відрізки, місця в таблиці і т. д. Такий, начебто простий, принцип дозволяє  розв’язувати  непрості задачі, у тому числі і геометричні.

        Головне при використанні цього принципу з’ясувати, кого призначати на роль „ зайця “, а кого на роль „ клітки “


§2.Методи  розв'язування олімпіадних задач 

 на   застосування  принципу Діріхле.

  1. ПРИКЛАДИ  РОЗВ'ЯЗАННЯ  ТИПОВИХ  ЗАДАЧ

Задача 1.1. У класі 15 учнів. Чи знайдеться місяць, у якому святкують свій день народження не менше ніж два учні цього класу?           

                    Розв'язання.

Похожее изображение   Нехай 15 учнів відіграють роль        „ кроликів “. Тоді в ролі „ кліток “ будуть місяці року, їх 12.

Так як 15 > 12, тоді, за принципом Діріхле, знайдеться, як мінімум, одна „ клітка “, в якій будуть сидіти принаймні 2 „ кролика “. Інакше кажучи – знайдуться  принаймні 2 учні, які відзначають дні народження в один і той же місяць.

  Отже, знайдеться місяць, в якому будуть відзначати   дні народження принаймні  2 учня класу.

 

Задача1.2. У класі навчаються 25 учнів. Доведіть, що серед них обов'язково знайдуться троє, у яких день народження в одному місяці.

Розв'язання.

Щоб відповісти на питання задачі, треба з'ясувати, який випадок тут „ найгірший “. Очевидно, той, коли немає ні в якому місяці трьох іменинників, а в кожному місяці є тільки дні народження двох учнів класу.  Всього =

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
5.0
Відповідність темі
5.0
Загальна:
5.0
Всього відгуків: 1
Оцінки та відгуки
  1. Шатковська Оксана
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
docx
Додано
23 жовтня 2021
Переглядів
2104
Оцінка розробки
5.0 (1 відгук)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку