Навчально - методичний посібник "Принцип Діріхле в олімпіадних задачах".

Відділу освіти

Добропільської міської ради

                                        Методичний кабінет

м. Добропілля

2020

Відділ освіти Добропільської міської ради

Методичний кабінет

Навчально-виховний комплекс

загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів-ліцей

м. Добропілля Донецької області

Принцип Діріхле в

олімпіадних задачах

Навчально-методичний посібник

(для вчителів та учнів загальноосвітніх навчальних закладів)

         Підготувала

Лосєва Г.І. – учитель математики навчально-виховного комплексу загальноосвітньої школи I - III ступенів-ліцею м. Добропілля, спеціаліст вищої категорії, учитель – методист

Добропілля

        2020ищої

Рекомендовано до видання

Рішенням педагогічної ради Навчально-виховного комплексу загальноосвітньої школи  I-III ступенів – ліцею м. Добропілля Донецької області (протокол №2 від  18.02.2020р.)

Укладач:

Лосєва Г.І. – учитель математики навчально-виховного комплексу загальноосвітньої школи I - III ступенів-ліцею м. Добропілля, спеціаліст вищої категорії, учитель – методист

Рецензенти:

 Василенко Т.А.,  методист методичного відділу освіти Добропільської міської ради;

 Юрченко О. В., заступник директора з навчально-виховної роботи навчально-виховного комплексу загальноосвітньої школи I - III ступенів-ліцею м. Добропілля, учитель математики, спеціаліст вищої категорії.

Принцип Діріхле в  олімпіадних задачах. Навчально-методичний посібник /Укладач: Лосєва Г.І.,–  м. Добропілля, 2020. - 46с.

Посібник присвячений  олімпіадним завданням , які  розв'язуються за допомогою принципу Діріхле. Успішне вивчення  матеріалів збірки, дозволяє зрозуміти принцип Діріхле  та засвоїти  його застосування  при розв’язуванні задач, які для абсолютної більшості учнів традиційно є завданнями підвищеної складності, хоча на перший погляд дуже прості у розв’язанні. В збірці  розв’язуються  різноманітні задачі, що були представлені  на ІІ, III   етапі    учнівських  олімпіад  з математики і в яких треба застосовати  принцип  Діріхле. Розв’язування таких задач дозволяє активно розвивати логічне мислення дитини.

Призначене для вчителів математики, керівників гуртків, факультативів та учнів, які прагнуть розширити і поглибити свої знання при підготовці до учнівських олімпіад.

Призначене для вчителів математики, керівників гуртків, факультативів та учнів, які прагнуть розширити і поглибити свої знання при підготовці до учнівських олімпіад.

Зміст.

Передмова…………………………………………………6

§1. Суть принципу Діріхле.………………………………7

§2. Методи розв'язування задач на застосування

      принципу Діріхле.

     1. Приклади розв'язання типових задач…...……......12

     2. Принцип Діріхле в геометричних задачах ……...20

     3. Задачі на розфарбовування……………………......25

     4. Задачі на подільність… .......................…………....30

     5. Принцип Діріхле в задачах класичної

         ймовірності................................................................33

§3.Завдання для самостійного розв'язання…………......37

Висновки………………………………………………….41

Список використаної літератури……………….……….42

       Передмова.

Не все на світі просто, але є

Якась закономірність саме в тому,

Що істина раптово постає

Крізь ліс ускладнень, в самому простому.

                                  В. Коротич

   Математика - цариця наук - один із головних шкільних предметів. Уміння розв'язувати задачі, особливо олімпіадні, завжди було одним із показників математичної обдарованості учня. Що ж таке олімпіадні задачі? Існує таке трактування: олімпіадні задачі - це завдання, при розв’язанні яких використовуються спеціальні методи. Вони, як правило, не розглядаються в школі на уроці. Розв'язання таких задач сприяє розвитку не тільки інтелектуальних здібностей учнів, а також розвиває їх творчі здібності й пізнавальний інтерес.

  Дуже часто в завданнях математичних олімпіад можна зустріти задачі, розв’язуючи які, треба використати прийом, який називають принципом Діріхле. У шкільному курсі математики цей прийом відсутній. Тому навчити йому варто при підготовці до олімпіад школярів від 5 до 10 класу. Бо вже починаючи з 5 класу учні вільно схоплюють ідею розв’язування завдань із використанням  принципу Діріхле.

   Йоганн Петер Густав Лежен Діріхле (1805-1859) - один із провідних німецьких математиків, який працював над дослідженням різних способів розв'язання задач. Діріхле належать великі відкриття в різноманітних галузях математики, а також у механіці й математичній фізиці. Він вивів безліч формул і принципів розв'язування задач. Один із них так і називається - принцип Діріхле.

§1. Суть принципу Діріхле.

 У даній роботі розглядається принцип Діріхле, який дозволяє знаходити правильне рішення в нестандартній ситуації при розв’язуванні олімпіадних задач.

Після придбання пари калош наш інопланетний друг вирішив помістити в них всі свої ноги. Очевидно, що принаймні в одній калоші виявиться не менш двох ніг. Просто? Проте це міркування навіть має свою назву в математиці: принцип Діріхле. Слідуючи йому, ми з вами будемо шукати  ноги і калоші в розв'язуваних задачах.

      Розмову про олімпіадних задачах краще починати з розв'язання таких цікавих завдань. Для учнів 5-6 класів дуже важливий цей «цікавий» підхід. Ще приклад такого завдання:

                Ні у кого з тисячі піратів

Не набереться тисячі дукатів.

Але навіть найменший пірат 

Має все ж хоч один дукат. 

Чи так можна сказати про тих піратів,

Що серед них - безвусих і вусатих, 

Кудлатих, безбородих, бородатих – 

      Є двоє однаково багатих?

Якщо у кожного з піратів різна кількість дукатів і є пірат у якого 1 і немає того, у якого 1000 дукатів. Відповідно 999 піратів може мати різну кількість дукатів, тисячний буде мати з кимось однакову кількість дукатів. Тобто є двоє однаково багатих!   

    Можливо також розглянути забавний переклад одного жартівливого англійського вірша С. Я. Маршаком:

Их было десять чудаков,

Тех путников усталых,

Что в дверь решили постучать

Таверны «Славный малый».

— Пусти, хозяин, ночевать,

Не будешь ты в убытке,

Нам только ночку переспать,

Промокли мы до нитки.

Хозяин тем гостям был рад,

Да вот беда некстати:

Лишь девять комнат у него,

И девять лишь кроватей.

— Восьми гостям я предложу

Постели честь по чести,

А двум придется ночь проспать

В одной кровати вместе.

Лишь он сказал, и сразу крик,

От гнева красны лица:

Никто из всех десятерых

Не хочет потесниться.

Как охладить страстей тех пыл,

Умерить те волненья?

Но старый плут хозяин был

И разрешил сомненья.

Двух первых путников пока,

Чтоб не судили строго,

Просил пройти он в номер «А»

И подождать немного.

Спал третий в «Б», четвертый в «В»,

В «Г» спал всю ночь наш пятый,

В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег

С шестого по девятый.

Потом, вернувшись снова в «А»,

Где ждали его двое,

Он ключ от «И» вручить был рад

Десятому герою.

Хоть много лет прошло с тех пор,

Неясно никому,

Как смог хозяин разместить

Гостей по одному.

Иль арифметика стара,

Иль чудо перед нами,

Понять, что, как и почему,

Вы постарайтесь сами.

Уважний учень відразу помітить, що першого і другого мандрівників в тексті спочатку помістили в кімнату «А», а потім одного з них мимоволі перекинули в десяту кімнату, тобто одну і ту ж людину підрахували два рази.

  Набагато простіше завдання може бути пояснено за допомогою принципу Діріхле. У жартівливій формі принцип Діріхле часто формулюють так: «П’ять кроликів не можна посадити у чотири клітки так, щоб кожний з них сидів в окремій клітці».

  У своїй доповіді «Про професію математика» академік А.М. Колмогоров підкреслив, що навіть довести, що у хвойному лісі з восьмисот тисяч ялинок, на кожній з яких не більше 500000 голок, принаймні на двох ялинках число хвоїнок однакове, викликає труднощі у багатьох учнів випускних класів. Подібні задачі можна умовно назвати задачами на принцип Діріхле. Під цим принципом розуміють таке твердження в найпопулярнішим формулюванні: «Якщо в 100 (або n) клітинах сидить не менше 101 (або n + 1) зайців, то хоча б в одній клітці знаходиться більше одного зайця». 

Використовуючи принцип Діріхле при розв'язанні логічних завдань, необхідно зрозуміти, що в завданні є «ящиками», а що предметами, які «розкладають» в ці «ящики».

Існує кілька строгих формулювань даного принципу.

1.Якщо в клітках сидять зайців, причому то хоча б в одній клітці сидять, принаймні, два зайці.

    Доводиться даний принцип Діріхле методом доказу від супротивного:

Нехай не знайдеться така клітина, в якій сидить два зайці, тоді кількість зайців повинні бути менше або дорівнює кількість клітин , що приводить нас до протиріччя.

2. Нехай в клітинах сидять зайців, причому . Тоді знайдеться хоча б одна порожня клітка.

Доказ:

Нехай немає жодної порожньої клітки. Тоді кількість зайців повинно збігатися з кількістю кліток (якщо в кожній клітині хоча б по одному зайцю), або бути більше, що суперечить умові.

3. Припустимо, зайці розсаджені в клітинах. Тоді, якщо то хоча б в одній клітці міститься не менше зайців, а так само хоча б в одній іншій клітці міститься не більше зайців.  

     Не треба боятися дробового числа зайців. Якщо виходить, що в скриньці не менше зайців, тоді їх більш чим два.

  Припустимо, що в кожній клітині число зайців менше, ніж   .  Тоді  в  клітинах  разом  зайців  менше, ніж 

Протиріччя.

4. Якщо в клітинах сидятьзайців і , то в якийсь із клітин сидять, по крайній мірі, заєць (узагальнений принцип Діріхле)

      Нехай не знайдеться така клітина, тобто в кожній з клітин сидить по зайців, тоді зайців повинно бути  , а за умовою зайців як мінімум на одного більше. Прийшли до суперечності з умовою. Отже, є клітина, в якій сидять заєць.

     У завданнях в ролі зайців можуть виступати різні предмети і математичні об'єкти - числа, відрізки, місця в таблиці і т. д. Такий, начебто простий, принцип дозволяє  розв’язувати  непрості задачі, у тому числі і геометричні.

        Головне при використанні цього принципу з’ясувати, кого призначати на роль „ зайця “, а кого на роль „ клітки “

§2.Методи  розв'язування олімпіадних задач 

 на   застосування  принципу Діріхле.

1. ПРИКЛАДИ  РОЗВ'ЯЗАННЯ  ТИПОВИХ  ЗАДАЧ

Задача 1.1. У класі 15 учнів. Чи знайдеться місяць, у якому святкують свій день народження не менше ніж два учні цього класу?           

                    Розв'язання.

   Нехай 15 учнів відіграють роль        „ кроликів “. Тоді в ролі „ кліток “ будуть місяці року, їх 12.

Так як 15 > 12, тоді, за принципом Діріхле, знайдеться, як мінімум, одна „ клітка “, в якій будуть сидіти принаймні 2 „ кролика “. Інакше кажучи – знайдуться  принаймні 2 учні, які відзначають дні народження в один і той же місяць.

  Отже, знайдеться місяць, в якому будуть відзначати   дні народження принаймні  2 учня класу.

Задача1.2. У класі навчаються 25 учнів. Доведіть, що серед них обов'язково знайдуться троє, у яких день народження в одному місяці.

Розв'язання.

Щоб відповісти на питання задачі, треба з'ясувати, який випадок тут „ найгірший “. Очевидно, той, коли немає ні в якому місяці трьох іменинників, а в кожному місяці є тільки дні народження двох учнів класу.  Всього =