Презентація "Розв'язування геометричних задач методом векторів."

Розв'язування геометричних задач методом векторів. КГ №27 Вчитель математики М. Б. Луткова

Розв`язування задач векторним методом. Суть методу векторів полягає в тому, щоб певне геометричне розміщення точок, прямих, площин у просторі записати мовою векторів, точніше - у вигляді векторної рівності, і, навпаки, мову векторних формул і рівностей наповнити геометричним змістом, тобто перевести ту чи іншу векторну рівність на мову геометрії, надати їй геометричного звучання. Особливістю методу векторів є те, що він не вимагає розгляду складних геометричних конфігурацій, а зводить геометричну задачу до алгебраїчної, яку, звичайно, легше розв`язати, ніж вихідну геометричну.

Вектор – напрямлений відрізок А В

Додавання векторів a + b + c = d d(a1+b1+c1, a2+b2+c2, a3+b3+c3) b a c d

Колінеарність векторів Необхідною і достатньою умовою колінеарності ненульових векторів а і b є існування такого числа х, яке задовольняє рівність b = ха. а -а 2а 2∕3 а

Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів (а1,а2,а3) і (b1, b2, b3) називається число (а1b1 + а2b2+ а3b3). а Ч b = │а│∙ │ b│cosφ φ b а

Перпендикулярність векторів Для того, щоб два ненульових вектори були взаємно перпендикулярними, необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював 0. а Ч b = 0

Задача 1 На діагоналі АС1 паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 узято точку М, а на прямій В1С – точку N так, що відрізки МN і BD паралельні. Знайти відношення довжин цих відрізків.

Уведемо позначення АА1 = а, АВ = b, AD = с. Виразимо вектори АС1, СВ1 через а, b, с. АС1 = АВ + ВС + СС1, АС1 = b + с + а. СВ1 = ВВ1 – ВС, СВ1 = а – с. Точки М і N лежать на прямих АС1 і СВ1. Виразимо вектори АМ і СN через а, b, с: АМ = β АС1 = β b + β с + β а. СN = γ СВ1 = γа – γс. D1 C1 DB1 A1 A B C B1 D M N a b c

Оскільки за умовою МN││DВ, то МN = α DВ, де DВ = b – с. МN = МА + АВ + ВС + СN, МN = - β b - β с - β а + b + с + +γ а – γс. Отже, МN = (-β + γ)а + (-β + +1) b + (-β + 1 – γ) с. Дістанемо векторну рівність: (-β + γ)а + (-β + +1) b + (-β + 1 – γ) с = αb –α с. -β + γ = 0, -β + 1 = α, -β + 1 – γ = -α. D1 C1 DB1 A1 A B C B1 D M N a b c

Ця система має єдиний розв'язок : α = 1/3, β = 2/3, γ = 2/3. Отже, МN = 1/3 DB, МN: DB = 1:3. Відповідь. 1: 3.

Задача 2 Довести ознаку перпендикулярності прямої і площини.

  1) d = γ1b + γ2c, α 2) aхd = γ1aхb + γ2aхc = 0, b d   a˔d с

Висновки: Даний метод є ключем до розв`язання більш широкого спектру задач, а також надає можливість розв`язувати традиційні задачі кількома способами, знаходити більш раціональні шляхи розв’язання.