Розв'язання тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники

Про матеріал
Розв'язання тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники.Ще один відмінний спосіб для розв'язання тригонометричних рівнянь
Перегляд файлу

Розкладання на множники.

Нехай маємо рівняння f(х) = 0, ліву частину якого можна розкласти на множники  f2(x) ...∙ fn(x) = 0.
  Оскільки добуток кількох множників дорівнює нулю, коли дорівнює нулю хоча б один із множників, то далі необхідно лише розв’язати кожне з рівнянь f1(х) = 0; f2(x) = 0...fn(x) = 0 і перевірити отримані корені на предмет входження їх в область допустимих значень початкового рівняння.
  Нехай Di ,i – область допустимих значень функції fi(x) та D – ОДЗ функції f(х).Тоді

D= D1 ∩…… ∩ Dn.

Позначемо X як множину коренів рівняння f(х) = 0.Тоді Xi i

-множина розв'язків рівняння fi(х).Враховуючи все вищезазначене, отримаємо

X=( X1 X2 ∪ ….. ∪ Xn ) (D1 ∩…… ∩ Dn ).

Приклад 1.   2x+2x-sin x = 1.

Розв’язання.Для початку зробимо так,щоб у правій частині нашого рівняння вийшов нуль.

                  2x+2x-sin x - 1= 0.

Ліву частину нашого рівння позначимо f(x).

f(x)= 2x+2x-sin x – 1.

Область визначення цієї функції-множина дійсних чисел.

Запишемо нашу функцію у вигляді добутку,використовуючи формули,які представлені у Додаток 1.

             f(x)= 2x+2x-sin x – 1=(2x- sin x)+(2x-1)=sin x(2x-1)+[2(1-x)-1]=sin x(2x-1)+(1-2x)= sin x(2x-1)- (1-2x) = (2x-1)( sin x-1).

Тепер наше рівнння набуває вигляду

(2x-1)( sin x-1)=0

Коренями даного рівняння будуть всі корені даної сукупності

Коренями першого рівння сукупності будуть числа,які задовольняють найпростійші тригонометричні рівняння:sin x= або sin x= -.У першрму випадку

x=(-1)n arcsin + πn = (-1)n   + πn, n ℤ.

У іншому випадку

x=(-1)k arcsin )+ πk = (-1)k+1   + πk, k ℤ.

Об’єднання отриманих розв’язків

l, lℤ,

дають корені рівняння .

Коренями другого рівняння сукупності будуть числа

.

Об’єднання коренів

дасть нам розв’язки тригонометричного рівняння 2x+2x-sin x = 1.

docx
Додано
22 червня 2020
Переглядів
1699
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку