Розв'язування задач на теорему Фалеса

Тема. Розв'язування задач на теорему Фалеса

Мета: закріпити знання учнів про зміст узагальненої теореми Фалеса, а також про означення та властивості подібних трикутни­ків; удосконалювати вміння застосовувати вивчені твердження під час розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність та обладнання: конспекти 6, 11.

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Розв'язання домашніх задач і додаткової задачі учні перевіряють за записами на дошці, виконаними заздалегідь кількома учнями. Під час перевірки додаткової задачі звертаємо увагу на такі контрольні моменти:

1.   дане в умові число є не що інше, як коефіцієнт подібності трикутників, отже, дорівнює відношенню шуканих сторін;
2.   оскільки коефіцієнт подібності менший від 1, то сторона першого трикутника менша, ніж відповідна сторона другого трикутника.

Тому розв'язання задачі зручно виконувати, склавши рівняння:

(де х — довжина більшої сторони в метрах).

III. Формулювання мети і завдань уроку

Мета уроку безпосередньо випливає з його теми. Оскільки на попередніх уроках було вивчено достатньо великий об'єм навчального матеріалу, учні мають закріпити знання цього матеріалу, сформувати сталі вміння виконувати запис рівностей для відповідних геометричних об'єктів на основі вивчених тверджень, а також розв'язувати задачі із використанням вивченої теорії.

IV. Актуалізація опорних знань

Виконання усних вправ

1. Якщо AB · CD = MH · PK, то
2. ΔМНР ~ ΔKBD . Що звідси випливає?
3. Чи можна стверджувати, що довільні два рівносторонні трикутники подібні?
4. ΔРKM ~ ΔDAC, k = 2 (рис. 1). Що мож­на знайти?
5. Паралельні прямі т і п перетинають сторони кута ABC (рис. 2). Знайдіть довжину відрізка  MN, якщо  BE = 4, EF = 12, ВМ = 5.

6. Паралельні прямі a, b і с перетинають сторони кута MNP (рис. 3).
   Знайдіть довжини відрізків CD і MB, якщо AN = 2, NC = 3, DP = 9,      АВ = 4.

V. Засвоєння вмінь та навичок

Виконання усних вправ

1. ВВ₁ || CС₁ || DD₁, АВ = 5, ВС = 4, CD = 1 (рис. 4). Знайдіть: a) AB₁ : В₁С₁; б) AB₁ : AD₁; в) AD₁ : В₁C₁.
2. Чи подібні трикутники, якщо їхні сторони дорівнюють:

а) 1 м, 1,5м, 2 м і 10 м, 15 м, 20 м;

б) 2 см, 3 см, 4 см і 6 дм, 4 дм, 8 дм?

3. У трикутнику ABC провели всі середні лінії. Скільки подібних три­
   кутників утворилось?
4. У трикутнику ABC провели А₁С₁ || АС. Знайдіть АС, якщо А₁С₁ = 2,    ВА₁ = 3 , СА₁ = 6 .

Виконання письмових вправ

1. Паралельні прямі k і l перетинають сторони кута MDP (рис. 5). Знайдіть довжину відрізка АА₁, якщо DA = 8 , ВВ₁ = 9 , АА₁ = 2DB.
2. ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁. Знайдіть:

а) АС, якщо А₁С₁ = 2, В₁С₁ = 3ВС;

б) Р_АВС, якщо АС = 3, А₁С₁ = 1 , = 7 .

3. Доведіть від супротивного, що тупокутний
   і рівносторонній трикутники не можуть бути
   подібними.

VI. Самостійна робота

Для перевірки якості засвоєння знань та вмінь учнів проводиться комплексна самостійна робота, яка складається як з теоретичних питань, так і з практичних завдань.

Варіант 1

1. Чи можуть бути подібними прямокутний і рівнобедрений трикут­ники?
2. Відомо, що ΔАВС ~ ΔMNK , Р_ΔАВС : P_ΔMNK = 2 : 3. Знайдіть відношен­ня NK : ВС.
3. На рисунку ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁, Р_АВС = 15 . Знайдіть х, у і z.

4. Відомо, що ΔАВС ~ ΔXYZ . Знайдіть кут В, якщо X = 123°, C = 18°.
5. Сторони трикутника дорівнюють 18 см, 27 см, 36 см. Знайдіть пе­риметр трикутника, подібного до даного, якщо його найменша сто­рона дорівнює 36 см.

Варіант 2

1. Чи можуть бути подібними рівнобедрений і тупокутний трикут­ники?
2. Відомо, що ΔАВС ~ ΔMNK, МК : АС = 2 : 7. Знайдіть відношення       Р_АВС : Р_MNK.
3. На рисунку ΔАВС ~ ΔMNK . Знайдіть х і у.

4. Відомо, що ΔАВС ~ ΔXYZ . Знайдіть кут X , якщо B = 72°, Z = 93°.
5. Сторони трикутника дорівнюють 48 см, 24 см, 56 см. Знайдіть пе­риметр трикутника, подібного до доданого, якщо його найбільша сторона дорівнює 7 см.

Після виконання завдань самостійної роботи учні здають розв'язання вчителю і відбувається перевірка розв'язання (за записами на дошці або із використанням ТЗН чи роздавального матеріалу).

VII. Домашнє завдання

Повторити зміст теоретичних тверджень; означення рівних трикут­ників, а також означення та властивості трапеції. Розв'язати задачі.

1. Сторони трикутника дорівнюють 16 см, 12 см і 10 см. Знайдіть пе­риметр трикутника, подібного даному, якщо його найбільша сто­рона дорівнює 8 см.
2. Доведіть за означенням, що будь-які два рівносторонні трикутни­ки подібні.
3. Доведіть, що трикутник з вершинами в серединах сторін даного трикутника подібний даному. Чому дорівнює коефіцієнт подіб­ності?
4. Через вершину трикутника проведено пряму, яка ділить даний три­кутник на два рівні трикутники. Визначте вид даного трикутника. Чи може така пряма розділити трикутник на два нерівні, але подіб­ні, трикутники? Висловіть припущення.