Деякі прийоми швидких обчислень
1. Додавання і віднімання натуральних чисел.
1.1. Якщо один з доданків збільшити на кiлька одиниць, то від суми треба відняти стільки ж одиниць.
Приклад.
493 + 392 = 493 + (392+8) – 8 = 493 + 400 – 8 = 893 – 8 = 885.
1.2. Якщо один з доданків збільшити на кілька одиниць, а другий зменшити на стільки ж одниць, то сума не змiниться.
Приклад.
992 + 856 = (992 + 8) + (856 - 8) = 1000 + 848 = 1848.
1.3. Якщо від'ємник збільшити на кілька одиниць і зменшуване збільшити на стільки ж одиниць, то рiзниця не зміниться
Приклад.
2451 - 993 = (2451 + 7) - (993 + 7) = 2458 – 1000 = 1458.
1.4. Якщо від суми двох чисел відняти їх рiзницю, то в результаті матимемо подвоєне менше число, тобто
(a + b) - (a - b) = 2b
Приклад.
(43 + 29) - (43 - 29) = 58.
1.5. Якщо до суми двох чисел подати їх різницю, то в результаті матимемо подвоєне більше число, тобто
(a + b) + (a - b) = 2a
Приклад.
(87 + 36) + (87 - 36) = 174.
1.6.Додавання в стовпчик. Суму цифр кожного розряду додають окремо. Цифра десаткiв у сумі попереднього розряду додається до цифри одиниць наступної суми.
Приклади:
1) 358
+ 439
746 2) 597
932 + 1289
25 67382
15 95895
23 23
2475 34
18
13
15
165163
2. Прийоми швидкого множення і ділення натуральних чисел.
2.1. Застосування розподільного закону множення відносно додавання і віднімання до множникiв, один з яких можна подати у вигляді суми чи різниці.
Приклади.
2.2. Множення методом Ферроля. Щоб знайти одиниці добутку, перемножують одиниці множників , цифру одиниць записують, цифру десятків запам'ятовують; щоб знайти десятки, множать десятки одного на одиниці другого множника і навпаки, ці результати і десятки з попереднього результату додають, цифру одиниць записують, цифру десятків запам'ятовують і пізніше додають до наступного числа; щоб знайти сотні, перемножують десятки. Цей спосіб множення випливає з тотожності:
(10a+b)(10c + d) = 100ac +10(ad + bc) + bd.
Приклади.
1) 37 • 48 = 1776.
а) 7 • 8 = 56, пишемо 6, пам'ятаємо 5;
б) 3 • 8 + 4 • 7 + 5 = 24 + 28 + 5 = 57, пишемо 7, пам'ятаємо 5;
в) 4 • 3 + 5 = 17, пишемо 17.
2) 49 • 24 = 1176.
а) 9 • 4 = 36, пишемо б, пам'ятаємо 3;
б) 4 • 4 + 9 • 2 + 3 = 37, пишемо 7, пам'ятаємо 3;
в) 4 • 2 + 3 = 11, пишемо 11.
Методом Ферроля легко усно множити двоцифровİ числа від 10 до 20.
Приклад.
16•23=368.
Множимо так (підкреслено цифри, які записуємо):
а)6•3=18;
б) 1•3+2•6+1=16;
в) 1•2+1=3.
Можна множити і трицифрове число на двоцифрове.
Приклад.
136•28-3808.
а) 6•8 = 48, пишемо 8, пам'ятаємо 4;
б) (3•8 + 2•6) + 4 = 40, пишемо, пам'ятаємо 4:
в) (8•1 + 3•2) + 4 = 18, пишемо 8, пам'ятаємо 1;
г) 2•1 + 1 = 3, пишемо 3.
2.3. Множення чисел, у яких число десятків однакове, а сума одиниць дорiвнює 10. Число десятків будь-якого множника множать на число, більше на 1, потім множать окремо одиниці даних чисел i до першого результату справа приписують другий. Цей спосіб базується на тотожності:
(10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc, якщо b +с= 10.
Приклад.
302•308=93016.
а) 30•(30+1)=930, пишемо 930;
б) 2•8=16, приписуємо справа 16.
2.4 Множення чисел на 11. Записують останню цифру числа ( цифру з розряду одиниць), потім послідовно справа наліво записують суми двох сусідніх цифр числа, нарешті першу цифру числа.
Приклади.
а) Пишемо 4;
б) 5+4= 9, пишемо 9;
в) пишемо 5.
Записуємо справа наліво:
4; 6= 2+4; 3=1+2; 1.
Записуємо справа наліво:
6; 9=3+6; 5=2+3; 2.
Якщо одна із сум сусідніх цифр виявиться більшою вiд 9, то на відповідному мiсцi записують цифру одиниць знайденої суми, а до наступної суми додають 1. Додають одиницю і до останньої цифри множника, якщо попередня сума перевищувала 9.
Приклади.
А) Пишемо 8;
Б) 6 + 8 = 14, пишемо 4, пам'ятаємо 1;
В) 6 + 1 = 7, пишемо 7.
2) 4769• 11 =52459.
А) Пишемо 9;
Б) 9 + 6 = 15, пишемо 5, пам'ятаємо 1;
В) (6 + 7) + 1 = 14, пишемо 4, пам'ятаємо 1;
6) (4 + 7) + 1 = 12, пишемо 2, пам'ятаємо 1;
В) 4 + 1 = 5, пишемо 5.
2.5. Множення одноцифрового або двоцифрового числа на 37. Спосіб побудований на рiвностях: 2•37 = 74, 3•37 =111. Користуючись законами дистрибутивності й цими рiвностями, можна спростити процес множення в усіх згаданих випадках.
Приклади.
2.6. Множення на 5, 25, 125. Ділять дане число вiдповiдно на 2, 4, 8 і результат множать на 10, 100, 1000.
Приклади.
Якщо множник не ділиться націло на 2, 4 або 8, то дiлення виконується з остачею. Потім частку множать вiдповiдно на 10, 100 або 1000, а остачу на 5, 25 або 125.
Приклади.
Інколи зручно змiнювати порядок дій, виконуючи спочатку ділення на 10, 100, 1000, а потім множення.
2.7. Множення на 9, 99, 999. До першого множника дописують стільки нулів, скільки дев'яток у другому множнику, і від результату вiднiмають перший множник.
Приклади.
2.8. Піднесення до квадрата двоцифрових чисел , які мають 5 десятків. До 25 додають цифру з розряду одиниць і до результату приписують справа квадрат числа одиниць так, щоб утворилося чотирицифрове число. Цей спосіб базується на тотожності:
(50+а)²= 100•(25+а)+а².
Приклади.
а) 25+1=26, пишемо 26;
б) 1²=1, дописуємо 01.
а) 25+7=32, пишемо 32;
б) 7²= 49, дописуємо 49.
3. Добування квадратного кореня.
= 529
а) Запис числа 273529 розбиваємо на групи по дві цифри;
= 523
- 25__
235
- 204__
3129
- 3129
0
б) для старшої групи цифр, що утворює число 27, підбираємо таке число, щоб його квадрат був найбільшим, але не перевищував числа 27; таким числом буде 5, його пишемо як першу цифру відповіді;
в) від старшої групи цифр віднімаємо квадрат першої цифри відповіді й до остачі дописуємо наступну групу цифр 35; маємо число 235;
г) подвоюємо записане у відповіді число 5 (10), приписуємо справа таку цифру , щоб добуток отриманого в результаті числа на цю цифру був найбільшим, але не перевищував числа 235; такою цифрою буде 2 ( бо 102 • 2 = 204 ≤ 235);
ґ) від числа 235 віднімаємо знайдений добуток 204 і до остачі приписуємо наступну групу цифр 29;
д) подвоюємо відповідь ( 52 • 2 =104), приписуємо справа таку цифру, щоб добуток отриманого в результаті числа на цю цифру був найбільшим, але не перевищував 3129; такою цифрою буде 3 ( бо 1043 • 3 = 3129), її записуємо у відповідь.