урок Лекція № 3 Тема: Прямокутна декартова система координат на площині та у просторі. Поняття вектора. Операції над векторами.

Лекція  № 3

Тема: Прямокутна декартова система координат на площині та у просторі. Поняття вектора. Операції над векторами.

1.                   Поняття про прямокутну декартову систему на площині та у просторі.
2.                   Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
3.                   Поняття вектора. Операції над векторами.
4.                   Скалярний, векторний і мішаний добутки векторів.

1.Поняття про прямокутну декартову систему на площині та у просторі.

Прямокутна, або Декартова система координат - найбільш проста і тому часто використовувана система координат на площині і в просторі.

Прямокутна система координат на площині

Прямокутна система координат на площині утворюється двома взаємно перпендикулярними осями координат X 'X і Y 'Y . Осі координат перетинаються в точці O , Яка називається початком координат, на кожній осі вибрано позитивний напрям. У правобічної системі координат позитивний напрям осей вибирають так, щоб при напрямку осі Y 'Y вгору, вісь X 'X дивилася направо.

Чотири кута (I, II, III, IV), утворені осями координат X 'X і Y 'Y , Називаються координатними кутами або квадрантами (див. рис. 1).

Рис. 1

Положення точки A на площині визначається двома координатами x і y . Координата x дорівнює довжині відрізка O B , Координата y - Довжині відрізка O C у вибраних одиницях виміру. Відрізки O B і O C визначаються лініями, проведеними з точки A паралельно осям Y 'Y і X 'X відповідно. Координата x називається абсцисою точки A , Координата y - ординатою точки A . Записують так: А(х;у).

Якщо точка A лежить в координатному куті I, то точка A має позитивні абсциссу і ординату. Якщо точка A лежить в координатному куті II, то точка A має негативну абсциссу і позитивну ординату. Якщо точка A лежить в координатному куті III, то точка A має негативні абсциссу і ординату. Якщо точка A лежить в координатному куті IV, то точка A має позитивну абсциссу і негативну ординату.

Прямокутна система координат у просторі

Прямокутна система координат у просторі утворюється трьома взаємно перпендикулярними осями координат O X , O Y і O Z . Осі координат перетинаються в точці O , Яка називається початком координат, на кожній осі вибрано позитивне напрямок, вказаний стрілками, і одиниця виміру відрізків на осях. Одиниці виміру зазвичай однакові для всіх осей (що не є обов'язковим). O X - вісь абсцис, O Y - вісь ординат, O Z - вісь аплікат.

Якщо великий палець правої руки взяти за напрям X , Вказівний за напрям Y , А середній за напрям Z , То утворюється права система координат. Аналогічними пальцями лівої руки утворюється ліва система координат. Інакше кажучи, позитивний напрям осей вибирають так, щоб при повороті осі O X проти годинникової стрілки на 90 її позитивний напрям співпало з позитивним напрямом осі O Y , Якщо цей поворот спостерігати зі сторони позитивного напрямку осі O Z . Праву і ліву системи координат неможливо поєднати так, щоб збіглися відповідні осі (див. рис. 2).

 Положення точки A в просторі визначається трьома координатами x , y і z . Координата x дорівнює довжині відрізка O B , Координата y - Довжині відрізка O C , Координата z - Довжині відрізка O D у вибраних одиницях виміру. Відрізки O B , O C і O D визначаються площинами, проведеними з точки A паралельно площинам Y O Z , X O Z і X O Y відповідно. Координата x називається абсцисою точки A , Координата y - Ординатою точки A , координата z - аплікат точки A . Записують так: А(х;у;z).

 Рис. 2

2. Найпростіші задачі аналітичної геометрії

Відстань між двома точками.

Нехай задано дві точки М₁ (х₁, у₁) і
М₂ (х₂, у₂) (рис. 3).

.

Трикутник М₁М₂K — прямокутний, тому за теоремою Піфагора маємо:

 Поділ відрізка у заданому відношенні.

Число  — називається відношенням, в якому точка М ділить відрізок М₁М₂ (рис. 4), якщо

.

Нехай задано  і координати точок і , треба знайти координати точки М (х, у).

З рис. 4 і теореми про пропорційні відрізки, що відтинають паралельні прямі на сторонах кута, випливають співвідношення:

.

Оскільки числа х – х₁ і х₂ – х одного й того самого знака (при х₁ < х₂ вони додатні, а при х₁ > х₂ — від’ємні), то . Отже, .

Звідси:

. (1)

Аналогічно до попереднього дістанемо формулу для знаходження координати у

. (2)

Наслідок. Якщо точка М (х, у) — середина відрізка М₁ М₂, то
 = 1 і формули (1), (2) набирають вигляду:

.

Площа трикутника.

Нехай задано координати вершин деякого трикутника А (х₁, у₁), В (х₂, у₂), С (х₃, у₃) (рис. 5).

Знайдемо площу цього трикутника.

3.Поняття вектора. Операції над векторами.

Означення. Вектором називається напрямлений відрізок. Позначати вектори будемо , ... . Якщо, скажімо, точка А — початок вектора, а точка В — його кінець, то маємо .

Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим вектором.

Вектор вважається заданим, коли відома його довжина , і напрям щодо деякої осі.

Два вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Вектори і вважаються рівними, коли вони: 1) колінеарні; 2) однаково напрямлені; 3) їхні довжини рівні.

З останнього випливає, що при паралельному перенесенні вектора дістаємо новий вектор, що дорівнює попередньому, тому вектори в аналітичній геометрії називають вільними.

Нехай у просторі задано деяку вісь l і вектор. Проведемо через точки А і В площини, перпендикулярно до осі l (рис. 6). Позначимо точки перетину цих площин з віссю l відповідно і .

Означення. Проекцією вектора на вісь l називається довжина напрямленого відрізка на осі l. Слід зазначити, що , якщо напрям збігається з напрямом l і , якщо напрям протилежний напряму l.

Позначається проекція вектора на вісь l — пр_l. З рис. 6 випливає формула знаходження проекції вектора на вісь:

пр_l= ,

де  — кут між вектором і віссю.

Якщо розглянути прямокутну декартову систему координат і точки початку А (х₁, у₁, z₁) і кінця В (х₂, у₂, z₂) вектора , то проекції вектора на кожну з осей мають вигляд:

Ох:  а_х = х₂ – х₁,   Оу:  а_у = у₂ – у₁,   Оz:  а_z = z₂ – z₁.

Довжина вектора подається формулою:

 (3)

Якщо позначити , ,  — кути між вектором і відповідними осями системи координат, то їх косинуси можна знайти за формулами:

.  (4)

У подальшому називатимемо їх напрямними косинусами вектора . Піднісши кожну з формул (4) до квадрата і скориставшись (3), дістанемо:

cos² + cos² + cos² = 1.

Дії з векторами виконуються за правилами:

1. Додавання:

= (а_х + b_х, а_у + b_у, а_z + b_z).

2. Множення вектора на число   R:

.

Для лінійних операцій з векторами виконуються властивості:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Теорема. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь:

Теорема. При множенні вектора на число його проекція на цю вісь також множиться на це число:

Нехай вектори такі, що за напрямом збігаються відпо-
відно з осями Ох, Оу, Оz і . Такі вектори надалі називатимемо одиничними векторами осей системи координат. Тоді

4. Скалярний, векторний і змішаний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.

Отже:

,

де  — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:

.

Властивості скалярного добутку:

1. . 4. .

2. . 5. якщо і навпаки,

3. .     якщо

     .

Нехай вектори і задано за допомогою координат, тоді, використовуючи властивості скалярного добутку, умови маємо:

 (5)

Отже,

З рівності (5) випливає, що:

1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів і є а_х b_х + а_у b_у + а_z b_z = 0.

2. Кут між двома векторами і можна знайти за формулою:

_.

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , якщо:

1) довжина вектора , де  — кут між двома векторами;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і

3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори і , то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах як на сторонах.

Властивості векторного добутку:

1. , якщо і — колінеарні вектори.

2. .

3. .

4. .

Знайдемо векторні добутки одиничних векторів . З колінеарності векторів випливає: . З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної системи координат, маємо:

Знайдемо координати вектора , якщо , .

 (6)

або

.

Означення. Мішаним добутком векторів називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на векторний добуток векторів і , тобто .

Розглянемо геометричний зміст змішаного добутку. Для цього побудуємо на векторах , вважаючи, що вони не лежать в одній площині, тобто не компланарні, паралелепіпед (рис. 8).

Знайдемо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах (рис. 8). Площа основи його дорівнює модулю векторного добутку векторів . Висота дорівнює . Отже, остаточно маємо:

. (7)

З останнього випливає, що модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах . З рівності (7) маємо умову компланарності трьох векторів .

.

Ураховуючи формули (6) і (7) знаходження скалярного і векторного добутків, маємо:

або

.

Властивості мішаного добутку:

1. .

2. .