Урок "Похідна та її застосування"

Тема. Похідна та її застосування.

             Мета:

                       навчальна: узагальнити, систематизувати знання студентів з теми; продовжити формувати вміння та навички студентів застосовувати набуті знання до розв’язування задач з даної теми;

                     розвивальна: розвивати логічне  мислення,  комунікабельність, увагу, пам’ять, здатність до самостійності мислення; усне та писемне мовлення; розвивати інтерес до математики;

                    виховна: виховувати в студентів бажання мати глибокі й міцні знання, працьовитість та уважність; сприяти розвитку всесторонньо розвинутої особистості;

Тип заняття: практичне

Вид заняття: заняття узагальнення і систематизації знань у вигляді бізнес - гри з елементами інтеграції (фізика, економіка, біологія).

Обладнання: мультимедійний проектор, екран, комп’ютери, картки з завданнями

Міжпредметні зв’язки; фізика, біологія, хімія, медицина, економіка

Використана література:

1. Нелін Є.П., Долгова О.Є.Алгебра 11 кл.. Харків. Гімназія.2011
2. Мерзляк А.Г.  Алгебра і початки аналізу 11 клас. Харків.Гімназія.2010
3. Виленкин И.Я., Мордкович А.Г. Производная и интеграл. М. Просвещение. 1976
4. Беляева Е.С. Монахов В.М. Экстремальные задачи.
5. Рижов Ю.М. Похідна та її застосування. К. Вища школа. 1977
6. Парно И.К. Производная и её применение к исследованию функций. Москва. Просвещение 1968
7. Гальперіна А.Р. Алгебра і початки аналізу 11кл. Збірник завдань для контролю знань.Х. Ранок.2012

 

 

 

Алгебра щедра. Часто вона дає більше, ніж у неї просять.

Дж. Д’Аламбер

 

 

Хід уроку

1. Організаційний момент уроку.

2. Повідомлення теми і мети уроку.

Похідна – фундаментальне поняття математичного аналізу за допомогою якого досліджують процеси і явища  в природних, соціальних і економічних науках. Тому вивченню цієї теми ми приділили особливу увагу.  Досягти успіху можна тільки тоді, коли є певна мета. Мета сьогоднішнього заняття для вас  така: узагальнити знання про похідну, використовувати ці знання при розв’язуванні задач.

Очікувані результати:

• Застосовувати теоретичний матеріал до розв‘язування задач;
• Набути навичок роботи в групі;
• Набути навичок творчо мислити;
• Звертатися до власного досвіду та залучати його до розв‘язування задач.

Сьогодні на занятті ми будемо грати у «Бізнес – гру». В грі бере участь 3 команди, кожна з яких представляє правління банку. Гравці кожної команди обрали собі президента банку. Президент має право приймати кінцеве рішення за підсумками кожного завдання гри. Члени кожної команди – це правління банку. Назви банків на столах: «Приватбанк», «ОТП Банк», «Укрсиббанк». Кожне правління має 3 хвилини для презентації свого банку нашим гостям (три студенти презентують свій банк за допомогою мультимедійної презентації або усно).

І так правила нашої гри. В ході заняття вам будуть пропонуватись різні завдання, за які ви зможете одержати бали – гривні, при умові, що з цими завданнями впораєтесь без помилок. Це будуть і теоретичні завдання, і тести, і усний рахунок, розв’язування прикладних задач, практична робота, і турнір президентів, тощо. Кожний президент банку фіксує на протязі всього заняття участь студентів, заповнює картку оцінювання знань згідно отриманих інструкцій.

Бізнес - гра

 І етап – придбання початкового капіталу

Командам по черзі пропонуватимуться  питання  різної складності, а залежно від цього різної вартості. Якщо команда дає правильну відповідь, то її капітал збільшується  на  вартість питання. Якщо відповідь неправильна,  будь  яка інша команда може придбати це питання і відповісти  на нього, отримавши відповідну суму.

• Бліц – опитування:

     Дайте відповіді на запитання (вартість питання 1 бал):

     1) що називається похідною функції в точці?

    2) який геометричний зміст похідної?

    3) який механічний зміст похідної?

 4) запишіть правило знаходження похідної  добутку двох функцій;

   5) запишіть правило знаходження похідної  частки   двох функцій;

   6) запишіть рівняння дотичної до графіка функції;

   7) як знайти похідну складеної функції?

   8) що називається критичними точками функції?

   9) що означає дослідити функцію на монотонність7Усний рахунок:

1) знайди помилку (вартість питання 1 бал):

а)

б)

в)   

г)

д)

ж)

 

2) усні вправи у вигляді таблиці (вартість питання 1бал):

31, 12, 11

22, 21, 13

34, 14, 24

	1	2	3	4
1
2
3

 

3) індивідуальні тести в форматі РКР (5 балів).

Варіант 1

  1.  Знайдіть похідну:                                                       а) 1; б) 3; в) 0; г) -3.

  2. Знайдіть похідну:                                                       а) ; б) ; в) ; г) 3.

  3. Знайти похідну: 10                                                             а) 1; б) 0; в) -10; г) -1.

 4. Знайти похідну:                                                                а) 2; б)1; в) ; в) .

  5. Знайти похідну:                                               а) ; б) в) г)

6. Знайдіть похідну:                                       а)   б)   в)   г)

7. Знайдіть похідну:               а)2   б)4   в)   г)

8. Знайдіть похідну:                                              а)   б)   в)3   г)                                      

9. Знайдіть похідну:    sin5x                                а)5sinx   б)5cosx   в)5cos5x   ) -5sin5x                               

10. Знайдіть похідну:                                        а)   б)   в)   г) 

Варіант 2       

  1.  Знайдіть похідну:                                                       а) 5; б) 3; в) 0; г) -3.

  2. Знайдіть похідну:                                                      а) ; б) ; в) ; г).

  3. Знайти похідну: 7                                                            а) 1; б) 0; в) -10; г) -1.

 4. Знайти похідну:                                                               а) 2; б)1; в) ; в) .

  5. Знайти похідну:                                              а) ; б) в) г)

6. Знайдіть похідну:                                      а)  б)   в)   г)

7. Знайдіть похідну:               а)2   б)4   в)   г)

8. Знайдіть похідну:                                            а)   б) -  в)3   г)                                      

9. Знайдіть похідну:    cos5x                             а)5c0sx  б)-5cosx   в)5cos5x   г) -5sin5x                               

10. Знайдіть похідну:                                        а)  б)   в)   г) 

• Повторення

Оскільки влітку ми з вами здаємо екзамен з математики , то на кожному занятті ми будемо повторювати пройдений у першому семестрі матеріал

Перша тема, яку ми будемо повторювати – «Відсоткові розрахунки». І так питання на 1 бал ( 1 гривню):

1. як знайти відсоток від числа?
2. як знайти число за його відсотком?
3. як знайти відсоткове відношення двох чисел?

Наступну задачу для вас підготувала працівник «Приватбанку», наша бувша студентка, яка як і ви навчалась на «Фінансах» Яворська Наталія.

Доброго дня! Ось уже 7 років минуло з того часу як я сиділа на вашому місці і вивчала математику. Тепер я працюю у банку, заступником керівника відділення. Користуючись нагодою хочу подякувати всім викладачам за науку, адже дякуючи їм я тепер маю престижну роботу, якою пишаюсь. Податковий мені дав багато : характер і наполегливість, розуміння того, що крім тебе цього ніхто не зробить. Ви запитаєте мене, а які знання з математики мені стали в нагоді. Чесно….геометрія точно ні…..найголовніша тема для фінансиста – це тема складних відсотків і звичайна арифметика. Тому задача, яку я вам приготувала стосується як раз теми банківських розрахунків, теми відсотків.

Задача (2 бали) Уявімо собі, що ви прийшли в банк і хочете поставити 10 000грн на депозит терміном на 3 роки. «Приватбанк» на сьогодні по вкладам по депозитах пропонує 23% річних. Яка сума буде на вашому рахунку через три роки при річній капіталізації? На скільки зросте сума порівняно з початковим внеском?

Розв´язання.

(грн)

18610-10000=8610 (грн.)

Продовжимо наше змагання. І знову тема «Похідна».

• Працюємо в зошитах в команді:  інтерактивна вправа «Розшифруй слово» (7  балів)

Щоб ефективно використовувати похідну при розв’язанні конкретних задач, необхідно, як таблицю множення, знати таблицю похідних елементарних функцій. Наступне завдання дасть нам змогу перевірити, як ви вмієте використовувати таблицю похідних. Закодовано прізвище французького вченого, який ввів термін похідна.

1	f(x) = 2 x4 - 2x3 + 3х + 4	f′(1)
2	f(x) = x4 + 7x	f′(0)
3	f(x) = 5x3 + 7	f′(2)
4	f(x) = x8 + 2x2	f′(1)
5	f(x) = 2 x4 - x	f′(1)
6	f(x) = x9	f′(1)
7	f(x) = 4x3 + 2x2 +3x	f′(0)

 

Г	А	Р	Л	Ж	Н	А
60	7	12	5	3	9	7

 

№	1	2	3	4	5	6	7
Ответ	5	7	60	12	7	9	3
шифр	Л	А	Г	Р	А	Н	Ж

 

Історична довідка (Лагранж).

ІІ етап – турнір президентів банків (максимум 10 балів)

Президенти банків запрошуються для проходження комп’ютерного тестування.

ІІІ   етап – розв’язування задач прикладного характеру

Одним з найважливіших понять математичного аналізу є похідна функції. Похідна характеризує швидкість зміни функції по відношенню до зміни незалежної змінної. В геометрії похідна характеризує кривизну графіка, в механіці - швидкість нерівномірного прямолінійного руху, в біології - швидкість розмноження колонії мікроорганізмів, в економіці - вихід продукту на одиницю витрат, в хімії - швидкість хімічної реакції.

На цьому  етапі задачі для розв´язку вам буду пропонувати не я , а мої колеги, викладачі різних дисциплін. Тема похідна тісно пов’язана з різними  науками. А саме з фізикою, з біологієї, хімією, а також з економікою.

Задача вартістю у 3 бали від викладача фізики:

Тіло масою 2 кг рухається прямолінійно за законом .Знайти силу, яка діє на тіло, якщо час вимірюється в секундах, а координата в метрах.

Розв´язання:

Задача вартістю у 3 бали  від викладача біології (перегляд відеоролика про розмноження бактерій).

Нехай популяція бактерій в момент часу t (час в секундах) нараховує x(t) особин

X(t)=3000+100. Ця формула виражає залежність кількості особин від часу. Знайти швидкість росту популяції:

а) в момент часу 1 сек

б) в момент часу 60 сек.

Розв´язання:

- швидкість росту популяції

(ос\сек) -  швидкість рості популяції через 1 сек

(ос\сек) швидкість росту популяції через 60 сек

Задача вартістю у 3 бали від викладача економіки:

Оборот підприємства за минулий рік описується функцією , де t - місяці, U-мільйони. Дослідіть оборот підприємства.
Розв'язання:

Досліджуємо оборот підприємства за допомогою похідної:

 

  ,

, , , або , ,

Отже, . Найменший оборот був на дев'ятому місяці.  Перша похідна показує екстремальну зміну обороту.

Так, наприклад, за розв'язком запропонованої задачі можна зробити висновки:
1. На початку досліджуваного періоду у підприємства було зниження обороту;
2. Підприємство намагалося вийти з цього стану, і для цього використовувало певні кошти. Підприємство стало виходити з кризи, а на дев'ятому місяці стало набирати обороти.

IV етап  - аукціон задач

1) розв’язування задач за готовими рисунками (2 бали)

На рисунку зображено графік функції y = f(x) та дотичні до нього в точках х₁ та х₂. Користуючись геометричним змістом похідної, знайти f'(x₁)+f'(x₂)

Відповідь: 1) 1+;  2) ; 

 

           

 

                     

2) інтерактивна вправа «Логічний лабіринт» (1-2 бали)

  Вставте пропущений вираз:

8 + sin2 x	sin 2x
1 + cos2 x	- sin 2x
x + tg x	?

                                            

5x2 – 3x	10x - 3	10
sin x	cos x	- sin x
	?	?

 

Щоб проілюструвати характерні властивості функції, можна звернутися до прислів’я, адже прислів’я – це відображення стійких закономірностей, перевірених багатолітнім досвідом народу.

Тому при підготовці до уроку  група учнів одержала творче завдання: підібрати такі прислів’я, які будуть характеризувати властивості функцій.

Будьте уважні, тому що ви повинні по змісту прислів’я назвати властивості функції, яка йому відповідає.

Прислів’я

1. Зростання, спадання функції.

Чим довше коріння, тим більше насіння.

Чим довше волосся, тим більше розуму.

      Добре дбаєш, багато маєш.

Більше діла, менше слів.

2. Максимум, мінімум функції.

Порожній колос вище всіх стоїть.

Найбільша сила в світі – терпіння.

Найбільше каліцтво – ледачість.

VІ етап - підсумок заняття

1) виставлення оцінок за заняття на основі листків контролю знань;

2) «Мікрофон»      

6. Домашнє завдання. Робочий зошит для аудиторних та індивідуальних занять, опрацювати стр.     , впр.