Урок з алгебри в 11 класі на тему:"Побудова графіка функції за допомогою похідної"

Урок2.Тема: Побудова графіка функції за допомогою похідної.

Вчитель КЗШ№45-Ласкіна С.М

Тип: Урок засвоєння нових знань.

Мета: Допомогти учням «відкрити» способи побудови графіка функції за допомогою похідної. Скласти загальну схему дослідження і побудови графіка функції. Розвивати логічне мислення, уміння аналізувати, порівнювати, бачити аналогію задач.

Формувати єдину наукову картину світу.

                                       Хід уроку.

Ι- Організаційний момент.

ΙΙ- Пояснення нового матеріалу.

Проблема:      Як побудувати графік функції     у=3х-4х.

Давайте припустимо що графік деякої функції побудовано. Наприклад:

Питання            вчителя	Очікувана відповідь.
- Які властивості функції визначають поведінку графіка       функції?     -як знайти проміжки зростання, спадання функції?	Область визначення функції; зростання, спадання функції; точки екстремуму; точки перетину з осями; парність, непарність функції.   Треба  дослідити функцію на монотонність. Якщо  f '(x)>0 на проміжку (а;в), то функція зростає на (а;в). Якщо f '(x) <0 на проміжку (а;в), то функція спадає на (а;в).

 

Питання вчителя	Очікувана відповідь.
- як знайти точки екстремуму?	f '(x)=0, якщо f '(x) змінює знак з «+» на «-», то в  т. х- максимум;  якщо f '(x) змінює знак з «-» на «+», то в  т. х- мінімум;
- як знайти точки перетину з осями?	- з віссю ох: у=0; f (x)=0 - з віссю оу: х=0; у=
- що можна сказати про графік парної функції, непарної функції.	графік парної функції симетричний відносно осі оу; графік непарної функції симетричний відносно нуля.

   Учні складають схему дослідження і побудови графіка функції:

1. Область визначення функції.
2. Точки перетину з осями координат.
3. Парність, непарність функції.
4. Критичні точки.
5. Зростання, спадання   функції.
6. Точки екстремуму.
7. Додаткові точки.

 Побудуємо  графік функції     у=3х-4х.

1. Область визначення функції.

 х

     2.    Точки перетину з осями координат.  (; 0); (0;0).

      (ЗРАЗУ ВІДМІЧАЄМО НА КООРДИНАТНІЙ ПЛОЩИНІ !)

     3. Парність, непарність функції.

         f (-x)= 3х+4х.

       Функція ні парна, ні непарна.

4. Критичні точки.

           f '(x)=0,   f '(x)=12 х-12х;  12 х-12х=0;

          х=0;  х=1.

      5. Зростання, спадання   функції.   

          Функція  зростає х,  функція спадає

5. Точки екстремуму.  х=1: у=-1.

      Відмічаємо на  графіку точку (1;-1).

      В точці   (1;-1) графік має вигляд:

                 

Будуємо графік функції.

Обговорення результату:

Питання класу.	Очікувана відповідь.
При дослідженні функції з’явилася Критична точка х=о. Можливо це точка перегину. Скажіть, як можна з’єднати дві точки, якщо відомо, що функція зростає? Якщо на проміжку  (а;в)  f ''(x)>0, то  f (x) – угнута на проміжку  (а;в). Якщо на проміжку  (а;в)  f ''(x)<0, то  f (x) – опукла на проміжку  (а;в). f ''(x)=0, x- точка перегину.

Приклад: Побудувати графік функції    у=х.

     1. Область визначення функції.   х

     2.    Точки перетину з осями координат - (0;0).

     3.   Парність, непарність функції.

               f (-x)= -х. Функція  непарна.

     4.    Критичні точки.

             f '(x)=0,  f '(x)=3х;     3х=0;  х=0; 

     5. Зростання, спадання   функції.                

             Функція  зростає   х

Можливий графік:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Треба провести дослідження на опуклість, угнутість.

6. у ''=6х; 6х=0; х=0.

 Функція опукла: х, функція угнута х.

Точка (0;0)- точка перегину.

Отже графік  функції  у=х має вид:

 

Схему дослідження і побудови графіка функції можна розширити і записати так:

1. Область визначення функції.
2. Точки перетину з осями координат.
3. Парність, непарність функції.
4. Дослідження функції за допомогою

 Ι похідної. Критичні точки. Зростання, спадання   функції. Точки екстремуму.

5. Дослідження функції за допомогою ΙΙ похідної. Опуклість, угнутість функції. Точки перегину.
6. Додаткові точки.

Давайте повернемося до графіка функції  

   у=3х-4х

  Проведемо дослідження за допомогою

ΙΙ похідної.

у ''=36 х-24х;  36 х-24х=0; 12х(3х-2)=0; Х=0;  х=.

Функція опукла: х, функція угнута х.

Точки (0;0), () - точки перегину.

Отже графік функції      у=3х-4х має вид:

 

ΙΙΙ-Робота в групах.

Побудувати графіки функцій і перевірити їх побудову за допомогою програми GRAND 2:

 

Група 1:    у=х-3 х

 

Група 2:    у=2 х-х

 

Група 3:    у= х-4 х.

 

ΙV-Підсумок уроку.

 

     Питання:

• Як побудувати графік функції за допомогою похідної.
• Яку роль грає Ι похідна?
• Яку роль грає  Ι Ι похідна?

V- Домашнє завдання.

Дослідити та побудувати графіки функцій:

( N- власний варіант)

1. У=;
2. У=;
3. У=.