Узагальнення та систематизація знань з теми: "Квадратний тричлен"

Узагальнення та систематизація знань«Квадратний тричлен. Розв’язання рівнянь, що зводяться до квадратних. Розв’язання задач»8 клас

Квадратний тричлен, його корені. Розкладання квадратного тричлена на множники. Раціональні рівняння як математична модель реальних ситуацій. Розв’язання рівнянь, що зводяться до квадратних. Зміст:

«Алгебра — це інтелектуальний інструмент,створений для того, щоб надати ясність кількісному аспекту Світу»Альфред Вайтхед(1861–1947) —британськийматематик, логік,філософ

1. Означення квадратного тричлена.! Квадратним тричленом називають многочлен виду ax2 + bx + c, Де x — змінна, a, b, c — числа, причому a ≠ 02. Означення коренів квадратного тричлена.! Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення цього тричлена дорівнює нулю.3. Теорема про розкладання квадратного тричлена на множники.! Якщо x1 і x2 — корені квадратного тричлена ax2 + bx + c, тоax2 + bx + c=a(х-х1)(х-х2). 

Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних. Добуток дорівнює нулю тоді, коли хоча б один з множників дорівнює нулю.abc=0 або a=0, або b=0, або c=0 Запам’ятайте!!!Рівняння n-го степеня має не більше ніж n коренівх2+8х+15 Приклад: Розкладіть на множники квадратний тричлен х2+8х+15=0 D= 𝑏2-4ac=82-4∙1∙15=64−60=4>0 a=1; b=8; c=15х1=−𝑏+𝐷2𝑎=−8+22∙1=-3; х1=−𝑏−𝐷2𝑎=−8−22∙1=-5; Відповідь: х2+8х+15=(х+3)(х+5) І метод Розкладання на множники

ІІ метод Розкриття дужок Приклад: Розв’яжіть рівняння (6x+5)2-2x+30=31x(x+3) Відповідь: Х1,2=𝟕± 𝟓𝟐. 36x2+2∙6x∙5+52−2x+30=31x2+93x; 5x2-35x+55=0; I :5 x2-7x+11=0; а=1, b= -7, c=11;D=b2−4ac= (-7)2-4·1·11=49-44=5;D=5>0; Х1=−b+D2a= −(−𝟕)+𝟓𝟐·𝟏 = 𝟕+𝟓𝟐; Х2=−𝒃−𝑫𝟐𝒂= −−𝟕−𝟓𝟐·𝟏 = 𝟕−𝟓𝟐.  36x2+60x+25−2x+30−31x2−93x=0; 

ІІІ метод Зведення рівняння до квадратного способом заміни змінних. Рівняння виду 𝑎𝑥4+𝑏𝑥2+𝑐=0, де x-змінна, a, b,c – числа, причому 𝑎≠0, називають біквадратним Метод заміни змінноїВводимо нову змінну t таку, що 𝑥2=𝑡   𝑡>0,   𝑥4=(𝑥2)2= 𝑡2 Тоді біквадратне рівняння 𝑎𝑥4+𝑏𝑥2+𝑐=0, відносно змінної x перетворюється у квадратне рівняння відносно змінної t: 𝑎𝑡2+𝑏𝑡+𝑐=0. Приклад:x4-3x2-4=0 ;Позначимо x2=t, t>0; x4= t2t2-3t-4=0;а=1, b= -3, c=-4;за теоремою Вієтаt1+t2=3,t1t2=−4;  t1=−1,t2=4. Повертаємось до заміни: x2=tx2= -1; або x2=4;Коренів немає х1 = -2 , х2 =2.    Відповідь: х1 =-2 , х2 =2.

ІV метод Дробово - раціональні рівняння. Значна кількість текстових задач розв’язується за допомогою рівнянь, зокрема дробово-раціональних. Більшість дробово-раціональних рівнянь зводяться до одного з таких: Запам’ятайте!!! Необхідною складовою розв’язання раціонального рівняння є обов’язкова перевірка належності знайдених коренів області допустимих значень вихідного рівняння. А(х)В(х)=𝟎,  або      А(х)С(х)=В(х)С(х),   або    А(х)С(х)=В(х)𝐃(х) Дані рівняння, у свою чергу, розв’язуються за допомогою рівносильних систем. А(х)В(х)=𝟎;Ах=𝟎,В(х)≠𝟎 А(х)С(х)=В(х)С(х);Ах−Вх=𝟎,С(х)≠𝟎 або Ах=В(х),С(х)≠𝟎 А(х)С(х)=В(х)𝑫(х);Ах𝑫𝒙=Вх𝑪(𝒙),Сх≠𝟎,𝑫𝒙≠𝟎 

Алгоритм розв’язування дробово-раціонального рівняння. Знайдіть область допустимих значень рівняння 𝑄(х)≠𝟎 (обов’язково!!!)Зведіть рівняння до вигляду Р(х)𝑄(х)=0. Використайте правило рівності добутку дробу нулю й розв’яжіть рівняння Р(х)=0. Перевірте, чи задовольняють знайдені роз’язки рівняння P(x)=0 область допустимих значень. (обов’язково!!!) Вилучіть сторонні корені. Запишіть відповідь 

Приклад: Розв’яжіть рівняння 𝑥2𝑥−3=5𝑥𝑥−3 𝑥2𝑥−3=5𝑥𝑥−3;ОДЗ: x ≠3𝑥2𝑥−3−5𝑥𝑥−3=0  Приклад: Розв’яжіть рівняння  2𝑥−3+5𝑥+3=14. 𝑥2−5𝑥𝑥−3=0 𝑥2−5𝑥=0𝑥𝑥−5=0 𝑥1=0, 𝑥2=5 Відповідь: 𝑥1=0, 𝑥2=5. 2𝑥−3+5𝑥+3=14;ОДЗ: 𝑥≠±3;Спільним знаменником даних дробів є 4(𝑥+3)(𝑥−3). Знаходимо додаткові множники до кожного дробу.2\4(𝑥+3)𝑥−3+5\4(𝑥−3)𝑥+3−1\𝑥2−94=0;8𝑥+3+20𝑥−3−(𝑥2−9)4(𝑥−3)(𝑥+3)=0;Cкористаємося правилом рівності дробу нулю:  8𝑥+24+20𝑥−60−𝑥2+9=0; −𝑥2+28𝑥−27=0;−𝑥2+28𝑥−27=0      ǀ   ∙−1;𝑥2−28𝑥+27=0;𝑎=1, 𝑏=−28, 𝑐=27;За теоремою Вієта : 𝑥1+𝑥2=28,𝑥1𝑥2=27;       𝑥1=1−задовольняє ОДЗ;𝑥2=27−задовольняє ОДЗ. Відповідь: 1 ; 27.  

ЗАДАЧІ НА РУХзакон руху 𝑺=𝒗∙𝒕𝑺−відстань       𝒗−швидкість     𝒕−часдля знаходження швидкості𝒗=𝑺𝒕для знаходження часу𝒕=𝑺𝒗 

𝟗𝟎𝒙−𝟗𝟎𝒙+𝟏𝟎=𝟏𝟖𝟔𝟎𝟗𝟎𝒙−𝟗𝟎𝒙+𝟏𝟎=𝟑𝟏𝟎𝟗𝟎𝒙+𝟏𝟎−𝟗𝟎𝒙𝒙(𝒙+𝟏𝟎)=𝟑𝟏𝟎𝟗𝟎𝒙+𝟗𝟎𝟎−𝟗𝟎𝒙𝒙(𝒙+𝟏𝟎)=𝟑𝟏𝟎𝟗𝟎𝟎𝒙𝟐+𝟏𝟎𝒙=𝟑𝟏𝟎 𝟗𝟎𝟎𝒙𝟐+𝟏𝟎𝒙=𝟑𝟏𝟎𝟗𝟎𝟎𝒙𝟐+𝟏𝟎𝒙=𝟑𝟏𝟎𝟗𝟎𝟎𝟎=𝟑𝒙𝟐+𝟑𝟎𝒙⋮𝟑𝒙𝟐+𝟏𝟎𝒙−𝟑𝟎𝟎𝟎=𝟎𝑫=𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄𝑫=𝟏𝟎𝟐−𝟒∙𝟏∙−𝟑𝟎𝟎𝟎=𝟏𝟐𝟏𝟎𝟎𝒙𝟏,𝟐=−𝒃±𝑫𝟐𝒂=−𝟏𝟎±𝟏𝟏𝟎𝟐𝒙𝟏=−𝟏𝟎−𝟏𝟏𝟎𝟐<𝟎 𝒙𝟐=−𝟏𝟎+𝟏𝟏𝟎𝟐=𝟓𝟎 Відповідь: швидкість мотоциклістів 50км/год та 60км/год. Задача Перший мотоцикліст проїжджає 90 км за 18хв швидше за другого,Оскільки його швидкість на 10 км/год більше за швидкість другого мотоцикліста. Знайдіть швидкість кожного мотоцикліста.x км/годx + 10 км/год𝟗𝟎𝒙 𝟗𝟎𝒙 АВ

ЗАДАЧІ НА СПІЛЬНУ РОБОТУВесь об’єм роботи приймаємо за одиницю (збудувати 1 будинок, заповнити 1 басейн, зорати 1 поле, надрукувати 1 текст тощо);Знаходимо частину роботи, виконану першим об’єктом за 1 рік, годину, хвилину тощо;Знаходимо частину роботи, виконану другим об’єктом за 1 рік, годину, хвилину тощо;Знаходимо спільну частину роботи, виконану двома об’єктами за 1 рік, годину, хвилину тощо;Знаходимо час виконаної роботи. Алгоритмрозв’язування задачна спільну роботу

ЗВЕРНІТЬ УВАГУпри розв’язуванні задач на спільну роботувся виконана робота приймається за 1 – «ціле»а частина роботи, виконана за одиницю часу знаходиться за формулою 𝑷=𝟏:𝑻=𝟏𝑻 де P – шукана частина роботи, а Т – час,відповідно, 𝑻=𝟏:𝑷=𝟏𝑷 при знаходженні сумісної роботи двох об’єктів слід:додати їхні окремі частини, якщо об’єкти допомагають один одному виконувати роботу;відняти їхні окремі частини, якщо об’єкти заважають виконувати роботу.  

Задача. Два робітники, працюючи разом, можуть виконати виробниче завдання за 20 днів. За скільки днів може виконати це завдання кожен із них, працюючи самостійно, якщо одному з них для цього потрібно на 9 днів більше, ніж другому?{F2 DE63 D5-997 A-4646-A377-4702673 A728 D}Час. Продуктивність. Разом. Iза x днів1 : x1 : 20 IIза x + 9 днів1 : (x + 9)𝟏𝒙+𝟏𝒙+𝟗=𝟏𝟐𝟎𝒙+𝟗+𝒙𝒙(𝒙+𝟗)=𝟏𝟐𝟎𝟐𝒙+𝟗𝒙𝟐+𝟗𝒙=𝟏𝟐𝟎𝟒𝟎𝒙+𝟏𝟖𝟎𝒙=𝒙𝟐+𝟗𝒙𝒙𝟐−𝟑𝟏𝒙−𝟏𝟖𝟎=𝟎 Відповідь: 36 та 45 днів необхідно робітникам для виконання завдання

Домашнє завдання. Повторити п.21-23, с. 166-183, підготуватися до контрольної роботи

Thanks !