Задачі з астрономії (частина ІV)

Задачі з астрономіїЧастина ІVРух небесних тіл

1. Визначте масу і середню густину планети за її радіусом (R=2437 км) і прискоренням сили тяжіння біля поверхні (g=372,6 см/с2) . Дано: R = 2437 км𝑔=372,6смс2 M - ?ρ - ?Розв’язання. З формули прискорення сили тяжіння визначаємо M 𝑔=𝐺𝑀𝑅2 Обчислюємо 𝑀=3,726м𝑐2∙(2437000 м)26,67∙10−11 Н∙м2кг2≈3,32∙1023кг 𝑀=𝑔𝑅2𝐺 Відповідь: M ≈ 3,32·1023 кг; 𝜌≈5475кгм3 Густина визначається за формулою 𝜌=𝑀𝑉 𝜌=3𝑀4𝜋𝑅3=3𝑔4𝜋𝐺𝑅=3∙3,726мс24∙3,14∙6,67∙10−11 Н∙м2кг2∙2437000 м≈5475кгм3 𝜌=𝑀43𝜋𝑅3 

2. Найбільша відстань Марса від Сонця r. A = 1,666 а.о., а найменша – rп = 1,382 а.о. Визначте ексцентриситет орбіти Марса і відношення його лінійних швидкостей в перигелії і афелії.r. А=1,666 а.о. Дано:rп = 1,382 а.о.е - ?𝜗п𝜗А−? Розв’язання. Ексцентриситет орбіти Марса визначається за формулою е=𝑟𝐴−𝑟п2𝑎 Велика піввісь 𝑎=𝑟𝐴+𝑟п2 𝑎=1,666 а.о.+1,382 а.о.2=1,524 а.о. 𝑒=1,666 а.о. −1,382 а.о.2∙1,524 а.о.=0,0932 Відповідь: е=0,0932; 𝜗п𝜗А=1,21  𝜗п𝜗А=𝑟А𝑟п 𝜗п𝜗А=1,666 а.о.1,382 а.о.=1,21 

3. Протистояння деякої планети повторюються через 2 роки. Чому дорівнює велика піввісь її орбіти? Tз = 1 рік. Дано:аз = 1 а.о. S = 2 рокиа - ?Зоряний період визначаємо із співвідношення між сидеричним і синодичним періодами1𝑆=1𝑇з−1𝑇 𝑇=𝑇з∙𝑆𝑆−𝑇з 𝑇=1 рік∙2 роки2 роки−1 рік=2 роки Велику піввісь можна визначити за ІІІ законом Кеплера. Розв’язання𝑇2𝑇з2=𝑎3𝑎з3 𝑎3=𝑎33∙𝑇2𝑇з2 𝑎=𝑎 3𝑇2𝑇з2 Відповідь: 𝑎≈1,59 а.о. 𝑎=1 а.о. 3(2 рік)2(1 рік)2≈1,59 а.о. 

4. Користуючись рівняннями 𝑎=r. А+rп2 і 𝑒=r. А−rп2𝑎 , довести, що 𝑟п=𝑎1−𝑒, 𝑟𝐴=𝑎1+𝑒.  Розв’язання𝑟𝐴=𝑎1+𝑒  𝑎=r. А+rп2 𝑒=r. А−rп2𝑎 2𝑎+2𝑎𝑒=2𝑟𝐴 2𝑎=𝑟𝐴+𝑟п 2𝑎𝑒=𝑟𝐴−𝑟п +2𝑎=𝑟𝐴+𝑟п 2𝑎𝑒=𝑟𝐴−𝑟п -2𝑎−2𝑎𝑒=2𝑟п 𝑟п=𝑎1−𝑒 Аналогічно

5. Комета Чурюмова-Герасименко рухається навколо Сонця по орбіті з великою піввіссю 𝑎=1,285 а.о. і ексцентриситетом 𝑒=0,633. Визначте сидеричний період обертання комети та її перигелійну й афелійну відстані.  Відповідь: T=1,457 років; 𝑟А= 0,472 а.о.; 𝑟п=2,098 а.о.  𝑇2=𝑎3 Розв’язання. Період обертання в земних сидеричних роках𝑇=𝑎𝑎 𝑇=1,2851,285≈1,457 років (сидеричний період)Дано:a = 1,285 а.о.r. А- ?e = 0,633 rп- ?T - ?𝑟А=𝑎(1−𝑒) 𝑟А=1,285 а.о.1−0,633=0,472 а.о. 𝑟п=𝑎(1+𝑒) 𝑟А=1,285 а.о.1+0,633=2,098 а.о. 

6. Визначте масу Сонця, якщо Земля обертається навколо Сонця на відстані 1 а.о. з періодом 1 рік. Орбіту Землі вважати круговою. Дано : ТЗ=1 рік=3,156·107 саз=1 а.о. =1,496·1011 м MC – ?Сила всесвітнього тяжіння є доцентровою силою. Розв’язання. Відповідь: 𝑀𝑐=2∙1030кг 

7. Визначити середню відстань від Юпітера до Сонця, якщо відомо, що його зоряний період обертання навколо Сонця дорівнює 11,86 років. T = 11,86 років. Дано: Tз= 1 рікa - ?aз = 1 a.o. Розв’язання. Використовуючи ІІІ закон Кеплера Знаходимо. Відповідь: a≈5,2 𝑎.𝑜. 𝑎=1 а.о. 3(11,86 років)2(1 рік)2≈5,2 а.о Обчислюємо

8. Обчисліть періоди обертання навколо Сонця планети Венери та астероїда Європи, у яких середня геліоцентрична відстань відповідно дорівнюють 0,723 а.о. і 3,10 а.о. aвенера=0,723 а.о. Дано:aєвропа=3,10 а.о. T1 - ?T2 - ?Розв’язання. Запишемо ІІІ закон Кеплера𝑎13𝑎23=𝑇12𝑇22 Якщо T дається в роках і а – в астрономічних одиницях, то приймаючи для Землі T0 = 1 рік і а = 1 а.о., то одержуємо спрощену формулу 𝑇2=𝑎3 Отже, 𝑇=𝑎3=𝑎𝑎 𝑇1=0,7230,723≈0,614 років=0,614∗365 днів=224 дня 𝑇2=3,103,10≈5,458 років Відповідь: 𝑇1= 224 дня, 𝑇2=5,458 років 

9. Меркурій робить повний оберт навколо Сонця за 88 діб. Знайдіть велику піввісь його орбіти. Т = 88 днів. Дано:а - ?Розв’язання. За ІІІ законом Кеплера:𝑇2=𝑎3  𝑎=3𝑇2 Переведемо дні в роки𝑇=88 діб=88∙1365років=0,241 років Відповідь: 𝑎≈0,387 а.о 𝑎=3(0,241)2≈0.387 (𝑎.о.) Обчислимо велику піввісь орбіти

10. На якій висоті над поверхнею Землі має обертатися геостаціонарний супутник, який висить над однією точкою Землі?Велика піввісь орбіти Місяця - 380000 км, період обертання супутника навколо Землі – 1 доба, період обертання Місяця навколо Землі - 27,3 доби. Дано: T1 = 1 доба. T2 = 27,3 добиа2 = 380000 км. R1= 6371 км. Н - ?Запишемо ІІІ закон Кеплера𝑎13𝑎23=𝑇12𝑇22 Знайдемо піввісь орбіти супутника  𝑎1=𝑎2(𝑇1𝑇2)23 Обчислюємо 𝑎1=380000(127,3)23≈41912 км Отже,H = a1 – R1 H = 41912 км – 6371 км = 35541 км Відповідь: H = 35541 км. Розв’язання

11. Визначте прискорення сили тяжіння на поверхні Ганімеда, радіус якого становить 0,392 радіус Землі, а маса – 2,09 маси Місяця. Нагадаємо, що gз=9,81 м/с2, а відношення Мз: Мм=81,3. Дано: R = 0,392 Rз M = 2,09 Mз gз = 9,81 м/c2 Мз: Мм= 81,3g - ?Розв’язання𝑔=𝐺𝑀𝑅2 𝑔з=𝐺𝑀з𝑅з2 𝑔𝑔з=𝐺𝑀𝑅2𝐺𝑀з𝑅з2=𝑀𝑅з2𝑀з𝑅2 𝑔=𝑀𝑅з2𝑀з𝑅2𝑔з Обчислення𝑔=2,09∙𝑅з281,3∙(0,392𝑅з)2∙9,81мс2≈1,64мс2 Відповідь: g ≈1,64мс2  

12. У скільки разів зміниться період коливання маятника на Марсі порівняно з його періодом на Землі, якщо маса і радіус Марса відповідно дорівнюють: М=0,107 Мз, R=0,53 Rз. Дано: M = 0,107 Mз R = 0,53 Rз 𝑇𝑇з− ? 𝑇=2𝜋ℓ𝑔 𝑇з=2𝜋ℓз𝑔з 𝑇𝑇з=2𝜋ℓ𝑔2𝜋ℓз𝑔з=𝑔з𝑔 Відомо що𝑔=𝐺𝑀𝑅2 𝑔з=𝐺𝑀з𝑅з2 𝑔з𝑔=𝑀з𝑅2𝑀𝑅з2 𝑇𝑇з=𝑀з𝑅2𝑀𝑅з2=𝑅𝑅з𝑀з𝑀 𝑇𝑇з=0,53𝑅з𝑅з𝑀з0,107𝑀з=0,5310,107≈1,62 Відповідь: 𝑇𝑇з= 1,62 

Література. Пришляк М. П. Астрономія 11 клас (рівень стандарту).-Харків, Вид-во «Ранок», 2019 Чепрасов В. Г. Завдання, запитання і задачі з астрономії. – Київ, Вид-во «Радянська школа», 1984 Малахов Г.І., Страут Е. К. Дидактичний матеріал з астрономії. – Вид-во «Просвіта», 1979 Дагеєв М. М. Збірник задач з астрономії. Вид-во «Просвіта», 1980 Вронцов-Вельямінов Б. А. Астрономія. - Вид-во «Радянська школа»,1983

Кінець