22 серпня о 18:00Вебінар: Як зробити урок цікавим: перевірені лайфхаки

Дослідницька робота з математики "Формула Піка та її практичне застосування"

Про матеріал
Дослідницька робота з математики "Формула Піка та її практичне застосування"
Перегляд файлу

Міністерство освіти і науки України

Управління освіти і науки Чернігівської облдержадміністрації

Відділ освіти Деснянської селищної ради

 

 

 

Відділення: математика

Секція: прикладна математика

 

 

Формула Піка та її практичне застосування

 

 

 

 

Роботу виконав:

Киливник Володимир Валентинович,

                      учень 9 класу

                                  Деснянського НВК

 

 

Керівник роботи:

Коваль Наталія Петрівна,

учитель математики

Деснянського НВК,

 вищої кваліфікаційної категорії,

«старший учитель»

 

 

 

Десна  2018

Тези науково-дослідницької роботи

«Формула Піка та її практичне застосування»

учня 9 класу   Деснянського НВК Деснянської селищної ради

Киливника Володимира Валентиновича.

Керівник роботи - Коваль Наталія Петрівна, вчитель вищої категорії, вчитель математики   Деснянського НВК.

Початки геометричних знань, пов'язаних з вимірюванням площ губляться в глибині століть. З давніх часів обчислювання площ було одним з найважливіших застосувань геометрії.

                 Існуючі формули надають можливість обчислити площу будь-якої фігури, але обчислення  площі многокутника дуже складний та тривалий процес. У 1899 році австрійський математик Георг Пік винайшов чудову формулу для обчислення  площі многокутника на папері в клітинку, яка останнім часом викликала жвавий інтерес у багатьох учнів України. Але, на жаль, в шкільній програмі вона до цього часу не вивчається, хоча вона є необхідним чинником для спрощення обчислень при знаходженні площ багатокутників. Цій формулі приділив велику увагу Гуго Штейнгауз включив її в свою знамениту книгу «Математичний калейдоскоп» в 1969 році, після цього вона стала широко відома великому колу математиків.

           Актуальність теми дослідження в тому, що

  • розв’язування задач на знаходження площ фігур за формулою Піка розкриває оригінальні властивості, не знаючи яких, не можна розраховувати на успіх при розв’язуванні олімпіадних задач;
  • розширює кругозір, сприяє розвитку інтересу  до вивчення математики.

Мета дослідження:

  • встановити взаємозв’язок між формулою Піка та формулами планіметрії;
  • експериментальним  шляхом впевнитися в справедливості формули Піка.

         У першому розділі науково-дослідницької роботи викладені основні теоретичні відомості обчислення площ багатокутників.

         У другому розділі виконується дослідження зв’язків між формулою Піка та формулами планіметрії на прикладах. Спочатку досліджуються багатокутники, а потім круг  та його частини. Оскільки при дослідженні результати визначення площі багатокутника за допомогою формул  планіметрії та формули Піка  збігаються, а площі круга - ні, робимо висновок, формула Піка може застосовуватися лише для багатокутників.

           Для дослідження ефективності використання формули Піка проведено анкетування 40 учнів Деснянського НВК. За результатами дослідження було розраховано коефіцієнт ефективності. Розрахунки показали, що коефіцієнт ефективності використання формули Піка збільшилася в 2 рази. Подальший аналіз результатів опитування доводить, що використання формули Піка для обчислення площ багатокутників доцільне.

Пропонуємо застосувати формулу Піка для спрощення деяких обчислень площ багатокутників.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                        ЗМІСТ

 

ВСТУП ……………………………………………………………....56 ст.

РОЗДІЛ 1.  Площа як величина

1.1. Поняття про вимірювання ……………………………………. 7 ст.

1.2. Вимірювання площ ……..…………………………………….. 7 ст.

1.3. Способи обчислення площ багатокутників ……………….….8 – 10 ст.

РОЗДІЛ 2. Дослідження площ геометричних фігур

2.1. Обчислення площ багатокутників ……………………….……11 – 15  ст.

2.2. Обчислення площі круга та його частин …………….……......15 – 18 ст.

2.3. Практичне застосування формули Піка …………………… …19 – 20 ст.

2.4.  Експеримент і дослідження…………………………………….21 – 22 ст.

ВИСНОВКИ………………………………………………………......23 ст.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ………………………….....24 ст.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

Кращий спосіб вивчити що-небудь - це відкрити самому

Д. Пой

Захоплення математикою часто починається з роздумів над якоюсь задачею. Так при вивченні теми «Площі многокутників» постало питання:

«А чи існують інші способи знаходження площ фігур, відмінні від розглянутих в підручниках з геометрії?»

При вивченні даного питання звернули увагу на завдання, в яких потрібно було знайти площу фігури, зображеної на папері в клітинку.

Дослідили задачі на папері в клітинку, пов'язані зі знаходженням  площі зображеної фігури за допомогою формули Піка.

Мета дослідження:

  • встановити взаємозв’язок між формулою Піка та формулами планіметрії;
  • експериментальним  шляхом впевнитися в справедливості формули Піка.

         Завдання дослідження:

  • вивчення основних задач на папері в клітинку;
  • порівняння формули Піка та формул планіметрії;
  • експериментальним шляхом впевнитись в справедливості формули Піка;
  • оволодіти практичними навичками обчислення площ за допомогою  формули Піка;
  • проаналізувати і систематизувати отриману інформацію, виконати творче завдання.

Об’єкт дослідження: задачі на папері в клітинку.

Предмет дослідження: формула Піка для обчислення площі многокутника на папері в клітинку.

Методи дослідження:

  • моделювання;
  • порівняння;
  • узагальнення;
  • аналіз і класифікація інформації.

Гіпотеза: площа фігури, обчислена за формулою Піка дорівнює площі фігури, обчисленої за формулою планіметрії.

Актуальність теми дослідження:

  • розв’язування задач на знаходження площ фігур за формулою Піка розкриває оригінальні властивості, не знаючи яких не можна розраховувати на успіх при розв’язуванні олімпіадних задач;
  • розширює кругозір, сприяє розвитку інтересу  до вивчення математики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ 1

 ПЛОЩА ЯК ВЕЛИЧИНА

  1.      Поняття про вимірювання

          Вимірювання - це порівняння з деяким еталоном.

          Метою вимірювання є встановити, яка кількість еталонних зразків можна помістити в вимірюваному об'єкті .  Ця кількісна характеристика і є результатом вимірювання, а еталон стає одиницею виміру. Чим дрібніші похідні основного еталона використовуються у вимірах, тим вище точність вимірювання. На практиці точність будь-яких вимірювань обмежена можливостями вимірювальної апаратури.

  1.        Вимірювання площ

           Існує нескінченна кількість плоских фігур різної форми, як правильних, так і неправильних. Загальною властивістю всіх фігур є те, що будь-яка з них має площу. .  

            Площі фігур - це розміри частини площині, займаної цими фігурами, виражені в певних одиницях. Величина площі завжди виражена додатнім числом. Одиницею вимірювання служить площа квадрата, сторона якого дорівнює одиниці довжини .  

           Площі простих геометричних фігур (прямокутників, трикутників, паралелограмів, трапеції, круга) зазвичай визначають за допомогою вимірювань, спочатку вимірюють лінійні розміри фігури (довжину, висоту, ширину, радіус), а потім обчислюють площу, користуючись відповідними математичними формулами. .  

            Для площі не опуклих багатокутників (фігур неправильної форми) визначаються лише способи їх обчислення.

 

 

 

 

 

  1.        Способи обчислення площі багатокутника

1 спосіб. Площа фігури як сума площ її частин

          Багатокутник поділяється на прості фігури, його площа знаходиться як сума їх частин: Sф = S1 + S2 + S3 + S4  

 

 

 

 

 

 

 

                                                        Рис. 1.1

2 спосіб. За допомогою палетки

          Площа фігури в даному способі обчислюють за формулою: 

                                  S = ٠ S1,

де а - кількість цілих квадратиків; в - кількість нецілих квадратиків,

S1 - площа одного квадратика.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                       Рис. 1.2

 

 

 

3 спосіб. Площа фігури як частина площі прямокутника

            Щоб обчислити площу багатокутника даний способом, необхідно добудувати його до прямокутника, обчислити площу фігури, яка доповнює багатокутник до прямокутника, і відняти цю площу з площі прямокутника.

Sф = SАВСD – ( S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 + S9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                            Рис. 1.3

4 спосіб. Метод вимірювання допоміжної величини

            Метод вимірювання допоміжної величини придуманий ще в давнину і полягає у тому, що маса фігури прямо пропорційна її площі. Потрібно нанести на папір квадрат, площа якого S0 точно відома, вирізати його і визначити на вагах його масу m0, перенести на папір фігуру з шуканої площею S, визначте її масу m. Потім, користуючись правилом пропорції обчислити шукану площу:    S = S0 ٠ 

5 спосіб. Формула Піка.

               Площа багатокутника з цілочисловими вершинами обчислюється за формулою:  S = І + 1,

{\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1.}де S – площа многокутника, І — кількість цілочислових точок усередині многокутника, В — кількість цілочислових точок на межі многокутника.

Точка координатної площини називається цілочисловою якщо обидві її координати цілі числа..  

 

 

 

 

 

 

                                                     Рис.  1.4

 

І =  26,   В = 10,     S = І + 1 =  26  + - 1  = 30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ 2  

ДОСЛІДЖЕННЯ ПЛОЩ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР

  1.        Обчислення площ багатокутників  

              Обчислимо площі багатокутників  зображених на папері в клітинку, за допомогою формул  планіметрії та за допомогою формули Піка, і перевіримо, чи завжди вона може бути застосована при розв’язанні подібних задач.

Задача 1.

На папері в клітинку розміром 1 см х 1 см зображений чотирикутник ABCD. Знайдіть його площу в квадратних сантиметрах.

Рис.2.1

Розв’язання:

Знайдемо площу фігури як частину площі прямокутника.

SABCD = SKMEN  - S∆АКВ  - SDCE  - SAND  -  SBMC

Спочатку знаходимо SKMEN = 7 7 = 49 (cм2)

Далі обчислюємо площу трикутників ∆АКВ, ∆DCE,  AND і ∆BMC.

S∆АКВ =  АК КВ = 4 4 = 8 (см2)

SDCE =   CE DE = 4 4 = 8 (см2)

S∆AND =   AN ND = 3 3 = 4,5 (см2)

SBMC =   CM BM = 3 3 = 4,5 (см2)

SABCD =  49 – 8 – 8 – 4,5 – 4,5 = 24 (см2)

Відповідь: 24 cм2


За формулою Піка


Рис.2.2

І = 18,    В = 14

S = І + 1

S = 18 + – 1 = 24 (см2)

Відповідь: 24 cм2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

На папері з клітинку розміром 1 см х 1 см зображене трикутник ABC. Знайдіть його площу в квадратних сантиметрах.


Розв’язання:


За формулами планіметрії

Рис.2.3

АC = 5 см, ВH = 5 см

ВНАС = 5 5 = 12,5 (см2)

Відповідь: 12,5 см2

 

За формулою Піка

Рис.2.4

І = 10,  В = 7

S = І + 1 = 10 + – 1 = 12,5(см2)

Відповідь: 12,5 см2


Задача 3.

На папері з клітинами розміром 1 см х 1 см зображена трапеція ABCD. Знайдіть його площу в квадратних сантиметрах.

Розв’язання:


За формулами планіметрії

Рис.2.5

ВС = 3 см, АD = 7 см, ВН = 7 см,

= ВН = 7 = 35 (см2)

Відповідь: 35 cм2

За формулою Піка

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.6


І = 30, В = 12

S = І + 1 = 30 + – 1 = 35(см2)

   Відповідь: 35 cм2


В наслідок  виконаного дослідження  можемо зробити висновок:

відповіді, отримані при знаходженні площі багатокутника за допомогою формул  планіметрії та формули Піка, збігаються.

Формула Піка дає швидке і просте рішення задач на знаходження площі фігури, вершини якої лежать у вузлах решітки, тобто знаходження площ багатокутників.

  1.        Обчислення  площі круга та його частин

        Обчислимо площі круга та його частин,  зображених на папері в клітинку, за допомогою формул  планіметрії та за допомогою формули Піка і перевіримо, чи завжди вона може бути застосована при розв’язанні подібних задач.

Задача 1.

На папері з клітинами розміром 1 см х 1 см зображене коло, R = 3 см , знайдіть його площу.

Розв’язання:


За формулами планіметрії

Рис.2.7

S =  π R2= 9 π  ≈ 28,26 (см2)

Відповідь: ≈ 28,26 см2

За формулою Піка

Рис.2.8

І = 25, В = 4

S = І + 1 = 25 + – 1 = 26 (см2)

Відповідь: 26 см2


 


 Задача 2.

На папері з клітинами розміром 1 см х 1 см зображене сектор AОB, R = см,

знайдіть його площу.

Розв’язання:


За формулами планіметрії

Рис.2.9

Sсек = Sкруг = π R2=  7,06 (см2)

Відповідь:7,06 см2

За формулою Піка

Рис.2.10

І = 4, В = 7

S = І + 1 = 4 + – 1 = 6,5 (см2)

Відповідь:   6,5 см2


Задача 3.

На папері з клітинами розміром 1 см х 1 см зображене кільце, R=3 см, 

r =1,5 см, знайдіть його площу.

Розв’язання:


За формулами планіметрії

Рис.2.11

(32 – 1,52) = 6,75 π ≈ 21,2 (см2)

Відповідь: ≈ 21,2 см2

 

 

За формулою Піка

Рис.2.12

І = 16, В = 8

S = І + 1 = 16 + – 1 = 19 (см2)

Відповідь: 19 см2


 


В наслідок  виконаного дослідження  можемо зробити висновок:

 відповіді, отримані при знаходженні площі круга та його частин,  за допомогою формул  планіметрії та формули Піка, не співпадають. Використання формули Піка для знаходження площі круга, кругового сектора або кільця недоцільно, оскільки вона дає наближений результат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1.        Практичне застосування формули Піка

Останнім випробуванням будь-якого методу

повинні бути  його практичні результати

Карл Поппер

Наведемо приклади розв'язання задач з використанням формули Піка для знаходження площі фігури, зображеної на картатій папері.


Задача 1.


                                                                      Рис.2.13

 І = 26, В = 10, 

S = І + 1 = 26 + – 1 = 30 (см2)

Відповідь: 30 см2


Задача 2.


                                                                   Рис.2.14

І = 10, В = 7

S = І + 1  = 10 + – 1 = 12,5 (см2)

Відповідь: 12,5 см2


Задача 3.


                                                                   Рис.2.15

І = 5, В = 7

S = І + 1  = 5 + – 1 = 7,5 (см2)

Відповідь: 8,5 см2


Задача 4.


 

 

 

 

 

 

 

    

                                                             Рис.2.16

 І = 12, В = 11

S = І + 1 = 12 + – 1 = 16,5 (см2)

Відповідь: 16,5 см2


 


 


2.4.  Експеримент і дослідження

                Експеримент був проведений для того, щоб з'ясувати, який з розглянутих способів є найефективнішим.

Учням 8-го і 10-го класів було запропоновано знайти площі багатокутників, зображених на папері в клітинку, використовуючи формули планіметрії.

Кожному потрібно було розв’язати чотири задачі та визначити час, витрачений на їх  виконання. Потім учнів ознайомили з формулою Піка, показали на прикладах її застосування і запропонували розв’язати ті ж задачі, але за формулою Піка (знову фіксували час).

Результати експерименту представлені в таблиці

Таблиця 2.1.

 

Витрачений час - середнє значення (хв)

Кількість учнів, які зробили помилки

Безпомилкових робіт

T1

T2

Т12

П1

П2

П1/П2

Є1

Є2

Є2/Є1

10 клас

(20 учнів)

5,8

2,2

2,6

8

3

2,7

12

17

1,4

8 клас

(20 учнів)

5,4

3

1,8

16

7

2,3

4

13

3,3

Всього

(40 учнів)

5,6

2,6

2,2

24

10

2,4

16

30

1,9

 

Проведений експеримент показав, що:

  • учні раніше не користувалися формулою Піка для обчислення площ багатокутників;
  • учнів зробили помилки при розв’язанні задач за допомогою формул планіметрії; 
  • учнів зробили помилки при розв’язанні задач, використовуючи формулу Піка;
  • кількість помилок, допущених при розв’язанні задач за формулою Піка, зменшилась у 2,5 рази;
  • кількість безпомилкових робіт збільшилася в 2 рази;
  • час, витрачений на розв’язання задач  за формулою Піка, скоротився в 2 рази.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВИСНОВКИ

Існує достатня кількість способів знаходження площ фігур на папері в клітинку. У роботі був розглянутий один з них – обчислення за формулою Піка.

           Ознайомлення з формулою Піка актуальне. За допомогою цієї формули можна без проблем розв’язувати задачі  на знаходження площі багатокутника, зображеного на папері в клітинку. Маленька формула Піка замінить цілий комплект формул, необхідних для розв’язання таких задач. Формула Піка буде працювати «одна за всіх ...»

           Але при знаходженні площі круга та його частин ця формула не працює, оскільки при дослідженні результати визначення площі круга за допомогою формули Піка не підтвердилися результатами, отриманими за допомогою формули планіметрії.

Завдання, поставлені на початку роботи, виконані. Гіпотеза – площа фігури, обчислена за формулою Піка дорівнює площі фігури, обчисленої за формулою планіметрії – підтвердилася для багатокутників. Формула Піка має значну пізнавальну і практичну цінність.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

 

  1. Васильєв Н.В., Навколо формули Піка / Квант, 1974, № 12 стор.39 – 43;
  2. Вікіпедія. Формула Піка - [https://uk.wikipedia.org/wiki/];
  3. Вікіпедія. Пік Георг - [http://hijos.ru/2011/12/30/];
  4. Вікіпедія. Вимірювання- [ https://uk.wikipedia.org/wiki/];
  5. Вікіпедія. Площа фігури- [ https://uk.wikipedia.org/wiki/];
  6. Горіна Л.В., Одна за всіх ... Формула Піка / Математика в школах України: наук.- метод. журн., 2013, № 4 стор. 26-30;
  7. Жарковський М.Н., Рісс М.А., Геометрія на  папері у клітинку/ Математика, 2009, № 172;
  8. Кушніренко А.,Цілі точки в многоугольниках і многогранниках/ Квант, 1977, № 4 стор.13 – 20;
  9. Площа/ Математична енциклопедія,  у 5-ти т., гол. ред. Віноградов І.М., М-1985, т. 4, с. 327;
  10.  Многокутник/Математична енциклопедія,  у 5-ти т., гол. ред. Віноградов І.М., М-1985, т. 3, с. 750;
  11.  Штейнгауз Гуго «Математический калейдоскоп» М.,Наука, 1981-160 с.

 

 

1

 

docx
Додано
9 лютого
Переглядів
253
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку