Урок 01 Показникова функція та її властивості за новою програмою на 2019 - 2020 н.р.

Про матеріал
Розробки створювалися з метою універсального використання. Тобто Ви зможете використовувати їх з будь яким підручником, в кінці кожного уроку наводиться домашнє завдання окремо до кожного підручника. Кожна розробка це не просто конспект та презентація - це інструмент для навчання, за допомогою якого вчитель може вільно ходити по класу і при цьому мати повний контроль над учнями та дошкою, а кожне сказане слово оживає та демонструється на дошці; Кожна розробка супроводжується детальним конспектом з поясненнями, доведеннями та поясненнями розв'язків і запитаннями до учнів (відповіді до яких також є у конспекті). Самостійні та контрольні роботи, що є частиною комплекту уроку також мають детальні пояснення розв'язку завдань обох варіантів кожного завдання. Деталі на сайті: WWW.MATNOVA.COM.UA
Перегляд файлу

Математика НОВА                                                           алгебра 11 кл

 

 

____ ________________ 20___ р.

 [ дата ]

Тема: Показникова функція та її властивості

Мета:

  • Навчальна: засвоїти означення показникової функції, властивості показникової функції, навчитися будувати графіки показникової функції; засвоїти властивості степенів з дійсним показником на основі властивості степенів з раціональним показником;
  • Розвиваюча: розвивати вміння аналізувати графіки показникової функції та користуючись побудованими графіками аналізувати властивості показникової функції;
  • Виховна: виховувати інтерес до вивчення точних наук, показати, де саме застосовують у житті властивості показникової функції;

Компетенції:

  • Спілкування державною мовою (уміння ставити запитання і розпізнавати проблему; міркувати, робити висновки на основі інформації, поданої в науковій презентації)

Тип уроку: засвоєння нових знань;

Обладнання: опорний конспект, навчальна презентація, мультимедійне обладнання, презентер;

 

Хід уроку

  1. Організаційний етап
  • Привітання
  • Перевірка присутніх на уроці
  • Налаштування на роботу

 

  1. Актуалізація опорних знань
  • Числовою функцією називається….

Числовою функцією з областю визначення називається залежність, при якій кожному числу із множини (області визначення) ставиться у відповідність єдине число .

– аргумент(незалежна змінна), – функція(залежна змінна)

– функція

– значення функції у точці

 

  • Графіком функції називається…

Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини з координатами .

 

  • Область визначення функції…

Область значень функції це множина тих значень, яких може набувати аргумент . Позначення:

  • Область значень функції…

Область значень функції – це множина, яка складається із всіх чисел , де належить області визначення. Її позначають .

 

  • Функція зростаюча, якщо…

Функція називається зростаючою на множині , якщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає більше значення функції.

 

  • Функція спадна, якщо…

Функція називається спадною на множині , якщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає менше значення функції.

 

  • Які існують типи чисел?

Натуральні числа (лат. «natura» - природа)

Натуральні числа – числа, що виникають природним чином при лічбі.

 

  • Наведіть приклади натуральних чисел

Цілі числа

Цілі числа – це натуральні числа, протилежні їм числа і число нуль.

 

  • Наведіть приклади цілих чисел

 

Раціональні числа

Раціональні числа – додатні числа (цілі та дробові), від’ємні числа (цілі та дробові), число нуль.

 

  • Наведіть приклади раціональних чисел

Дійсні числа

Множина раціональних та ірраціональних чисел(числа, які не можуть бути виражені за допомогою відношення цілих чисел, їх можна виразити за допомогою нескінченних неперіодичних десяткових дробів)

 

  • Наведіть приклади дійсних чисел

 

Комплексні числа

Комплексні числа можна подати у вигляді як формальну суму , – дійсні числа, – уявна одиниця

 

  • Наведіть приклади комплексних чисел

 

  • Чи існують інші типи чисел?

Кватерніони й октоніони є прикладами гіперкомплексних чисел.

 

  1. Вивчення нового матеріалу

 

  • Показникова функція

Функція виду називається показниковою.

Наприклад:

 

 

Побудуємо для деяких цілих значень.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тепер на цьому ж графіку добудуємо деякі дробові значення функції

 

 

 

 

 

 

 

Якщо побудуємо всі значення з множини , то отримаємо графік показникової функції (можливий інший запис, наприклад: ).

 

*Кожна точка цього графіка є степенем числа 2 з дійсним показником .

 

 

 

  • Чи існує функція при

 

 

 

 

 

  • Існує, але це вже буде не показникова функція. Графіком такої функції є пряма.

 

 

 

 

 

 

  • Чи може отриманий графік показникової функції перетнути вісь абсцис?

 

  • Ні, навіть якщо ми візьмемо від’ємний показник степеня, то завжди отримаємо додатне значення

Отже, вісь є асимптотою цього графіка.

 

*Асимпто́та криво́ї (грец. ασυμπτωτος — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при віддаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.

 

Проаналізуємо графіки показникової функції при і :

 

 

  • Що можемо сказати про ці функції на перший погляд?

(при функція зростаюча, при функція спадна)

 

 

 

 

 

 

 

 


Побудуємо деякі графіки функцій при і

 

 

 

Чим більшою є основа , тим крутіше «піднімається» графік функції , якщо рухатися вправо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чим меншою є основа , тим крутіше «піднімається» графік функції , якщо точка рухається вліво.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


  • Пригадаємо властивості степеня з раціональним показником.

 

 

 

Всі ці властивості справедливі для та будь-яких дійсних

 

 

 

 

  • Властивості показникової функції
  1. (Областю визначення показникової функції є множина дійсних чисел)

 

  1. (Областю значень показникової функції є множина )

 

  1. при всіх значеннях (Показникова функція немає нулів, і проміжок є проміжком її знакосталості)

 

  1. При зростаюча (При зростає на всій області визначення)

При спадна (При спадає на всій області визначення)

 

  • Цікаво

Розглянемо графіки показникових функцій .

У них кутовий коефіцієнт дотичної проведеної в точці до графіка менший за одиницю або більший за одиницю.


 

  • Чи існує така показникова функція, щоб кутовий коефіцієнт дотичної до її графіка в т. дорівнював 1?

 

 

Якщо за основу показникової функції взяти ірраціональне число

 

Така показникова функція називається експонентою.

 

 

 

 

 

  • Чому графік кожної показникової функції обов’язково проходить через точку ?

 

 

  • Процеси, що описує показникова функція

Показникова функція описує значну кількість процесів, що відбуваються в природі. Наприклад, зростання кількості бактерій за сприятливих для них умов існування можна описати за законом ().

 

 

 

  • Як людина використовує ріст і розмноження бактерій?

(Виробництво антибіотиків, кисломолочних продуктів, виноробство, медицина)

 

 

  • Зростання кількості деревини можна порахувати за законом ()

 

  • Зменшення маси речовини під час радіоактивного розпаду відбувається за законом ( – початкова маса речовини, – маса в момент часу , – період напіврозпаду речовини (час розпаду половини атомів заданої речовини))

 

  • Зменшення тиску повітря з висотою відбувається за законом ( – тиск на рівні моря, – тиск на висоті , - сталі)

 

  1. Закріплення нових знань та вмінь учнів

№1

Яка з даних функцій є показниковою:

 

№2

Грунтуючись на які властивості показникової функції можна стверджувати, що:

  1. ?

 

Відповідь: При показникова функція є зростаючою, при – спадною.

№3

Побудуйте графік функції . У яких межах змінюється значення функції, коли зростає від до включно?

 

Розв’язок:

 

 

 

Відповідь: значення функції змінюється від до .


№4

Порівняйте:

 

 

№5

Обчисліть значення виразу:

Розв’язок:

 

Розв’язок:

 

Розв’язок:

 

Розв’язок:

№6

Чи є правильним твердження:

  1. Найбільше значення функції на проміжку дорівнює 5;

Розв’язок:

– спадна

На проміжку її найбільшим значенням буде , отже твердження правильне.

 

  1. Областю визначення функції є множина дійсних чисел;

Розв’язок:

Твердження правильне, за означенням показникової функції.

 

  1. Областю значень функції є проміжок

Розв’язок:

Твердження не правильне.

 

  1. Найменше значення функції на проміжку дорівнює 16

Розв’язок:

Твердження не правильне.

 

№7

На якому проміжку найбільше значення функції дорівнює 16, а найменше дорівює

Розв’язок:

 

 

Відповідь:

№8

Графік якої з функцій, зображених на рисунках, перетинає графік функції більше ніж в одній точці?


  1. Підсумок уроку
  • Яку функцію називають показниковою?
  • Чи може показникова функція перетнути вісь абсцис?
  • Які властивості має степінь з дійсним показником?
  • Зобразіть схематично графік функції при ; при
  • Через яку точку проходять всі графіки всіх показникових функцій?
  • Користуючись побудованими графіками показникових функцій, охарактеризуйте всі їх властивості
  • Що називають експонентою?
  • Яку цікаву особливість має експонента?
  • За якої умови показникова функція зростає? А за якої – спадає?
  • Чи може значення показникової функції бути від’ємним?
  • Чи може значення показникової функції дорівнювати нулю?

 

  1. Домашнє завдання

Опрацювати §1 (ст. 6-9)
Виконати № 1.5; 1.7; 1.11; 1.17

 

Мерзляк А.Г.

Опрацювати §1
Виконати № 1,5; 1.7; 1.9; 1.21;

 

Істер О.С.

Опрацювати §1
Виконати № 1.2(2,4); 1.6(3-7); 1.7; 1.11(2);

 

Нелін Є.П.

Опрацювати §1
Виконати № 8; 23; 27(в); 31;

Бевз Г.П.

 

 

 

https://www.matnova.com.ua

1

 

Зміст слайдів
Номер слайду 1

Показникова функція та її властивості02.08.2019 Урок 01

Номер слайду 2

Умовні позначення. Дайте відповідь на запитання. Необхідно законспектувати. Цікаво. Домашнє завдання. Дата уроку. Номер завдання

Номер слайду 3

Пригадаємо. Числовою функцією називається…𝒙 𝒚 𝒇 𝒚=𝒇𝒙 𝑫 𝑬 

Номер слайду 4

Пригадаємо. Графіком функції називається…𝒚 𝒙 𝒇𝒙 𝒙 𝑀 𝑂 Область визначення функції…Область значень функції…Функція зростаюча, якщо…Функція спадна, якщо…

Номер слайду 5

Пригадаємо. Які існують типи чисел?ℕ 𝟏 𝟐 ℤ −𝟏 −𝟐 Наведіть приклади натуральних чисел. Наведіть приклади цілих чиселℚ −𝟒𝟏𝟕 𝟑𝟒 Наведіть приклади раціональних чиселℝ 𝟐 𝒆 𝝅 Наведіть приклади дійсних чиселℂ 𝒊 𝟏+𝒊𝟑 Наведіть приклади комплексних чисел. Чи існують інші типи чисел?ℕ 𝟏 𝟐 ℤ −𝟏 −𝟐 ℚ −𝟒𝟏𝟕 𝟑𝟒 ℝ 𝟐 𝒆 𝝅 ℂ 𝒊 𝟏+𝒊𝟑 ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ⊂ℍ⊂𝕆 КВАТЕРНІОНИОКТОНІОНИЦікавоℍ 𝒊 𝕆 – приклади гіперкомплексних чисел 

Номер слайду 6

Показникова функція. Функція виду 𝒚=𝒂𝒙 𝒂>𝟎𝒂≠𝟏називається показниковою Наприклад:𝒚=𝟐𝒙, 𝒚=𝟎,𝟑𝒙, 𝒚=𝟐𝒙 Побудуємо:𝒚=𝟐𝒙 Деякі цілі значення+деякі дробові значення𝒙∈ℝ 𝑦=2𝑥 Показникова функція з основою 2 Можливий інший запис, наприклад: 𝒈𝒙=𝟐𝒙 Степінь числа 2 з дійсним показником 𝒙 Чи існує функція при 𝒂=𝟏? Показникова функція. Не показникова функція. Чи може отриманий графік перетнути вісь абсцис?𝒙−𝒏=𝟏𝒙𝒏 𝟒−𝟐=𝟏𝟒𝟐=𝟏𝟏𝟔 Вісь 𝒙 є асимптотою цього графіка 

Номер слайду 7

𝒚=𝟒𝒙 𝒚=𝟏,𝟓𝒙 𝒚=𝟑,𝟓𝒙 𝒚=𝟏𝟏𝟎𝒙 𝒚=𝟎,𝟕𝒙 𝒚=𝟏𝟒𝒙 Показникова функція𝒂>𝟏 𝟎<𝒂<𝟏 Що можемо сказати про функції, аналізуючи їх графіки?Зростаюча функція. Спадна функція

Номер слайду 8

Чим більшою є основа 𝒂>𝟏, тим крутіше «піднімається» графік функції 𝒚=𝒂𝒙, якщо рухатися вправо Чим меншою є основа𝟎<𝒂<𝟏, тим крутіше «піднімається» графік функції 𝒚=𝒂𝒙, якщо точка рухається вліво. 

Номер слайду 9

𝒂𝒙+𝒚 𝒂𝒙−𝒚 𝒂𝒙𝒚 𝒂𝒙𝒃𝒙 𝒂𝒙𝒃𝒙 Властивості степеня𝒂𝒙𝒂𝒚= Пригадаємо властивості степеня з раціональним показником𝒂𝒙:𝒂𝒚= 𝒂𝒙𝒚= 𝒂𝒃𝒙= 𝒂𝒃𝒙= Ці властивості зберігаються і для степеня з дійсним показником. Для 𝒂>𝟎, 𝒃>𝟎 та будь-яких дійсних 𝒙 𝒊 𝒚 справедливі такі рівності 𝒂𝒙𝒂𝒚=𝒂𝒙+𝒚 𝒂𝒙:𝒂𝒚=𝒂𝒙−𝒚 𝒂𝒙𝒚=𝒂𝒙𝒚 𝒂𝒃𝒙=𝒂𝒙𝒃𝒙 𝒂𝒃𝒙=𝒂𝒙𝒃𝒙 

Номер слайду 10

Властивості показникової функції𝒂>𝟏 𝟎<𝒂<𝟏 𝑫𝒇=ℝ Областю визначення показникової функції є множина дійсних чисел𝑬𝒇=𝟎;∞ Областю значень показникової функції є множина 𝟎;∞ 𝒚>𝟎 при всіх значеннях 𝒙∈ℝ Показникова функція немає нулів, і проміжок −∞;+∞ є її проміжком знакосталості При 𝒂>𝟏 зростаюча. При 𝟎>𝒂>𝟏 спадна При 𝒂>𝟏 зростає на всій області визначення. При 𝟎>𝒂>𝟏 спадає на всій області визначення 

Номер слайду 11

Цікаво−𝟎,𝟕𝟐𝟏𝟑𝟒𝟕𝟓𝟐𝟎𝟒𝟒𝟒𝟓 −𝟏,𝟒𝟒𝟐𝟔𝟗𝟓𝟎𝟒𝟎𝟖𝟖𝟗 𝑦=2𝑥 𝑦=4𝑥 Чи існує така показникова функція, щоб кутовий коефіцієнт дотичної до її графіка в т.𝑨𝟏;𝟎 дорівнював 1? 

Номер слайду 12

Цікаво𝑦=𝑒𝑥 𝒆=𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖… Експонента. Чому графік кожної показникової функції обов’язково проходить через точку 𝑨𝟎;𝟏? 𝒚=𝒂𝒙 𝒂>𝟎𝒂≠𝟏𝒙∈ℝ 𝒂𝟎=𝟏 

Номер слайду 13

Процеси, що описує показникова функція. Як людина використовує ріст і розмноження бактерій. Антибіотики. Кисломолочні продукти. Виноробство. Медицина5 с – 32 одиниці бактерій50 с – 1 125 899 906 842 624 од бактерій. Зростання кількості деревини𝑨=𝑨𝟎∙𝒂𝒌𝒕 Радіоактивний розпад𝑴=𝑴𝟎∙𝟏𝟐𝟏/𝒕 Тиск повітря зменшується з висотою𝒑=𝒑𝟎∙𝒂−𝒌𝒉 

Номер слайду 14

Розв’язуємо гуртом. Яка з даних функцій є показниковою?11) 𝒚=𝒙𝟔 2) 𝒚=𝟔𝒙 3) 𝒚=𝟔𝒙 4) 𝒚=𝟔 fillcolorfill.typefill.on

Номер слайду 15

Розв’язуємо гуртом. Грунтуючись на які властивості показникової функції можна стверджувати, що:21) 𝟕𝟗𝟑,𝟐<𝟕𝟗𝟐,𝟗 2) 𝟒𝟑𝟏,𝟖>𝟒𝟑𝟏,𝟔 

Номер слайду 16

Розв’язуємо гуртом. Побудуйте графік функції 𝒚=𝟑𝒙. У яких межах змінюється значення функції, коли 𝒙 зростає від −𝟑 до 𝟑 включно? 3{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}𝒙−𝟏𝟎𝟏𝟐𝟑𝟑𝒙𝟏𝟑𝟏𝟑𝟗𝟐𝟕{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}

Номер слайду 17

Розв’язуємо гуртом. Порівняйте:41) 𝟓𝟑,𝟒 і 𝟓𝟑,𝟐𝟔 1) 𝟓𝟑,𝟒>𝟓𝟑,𝟐𝟔 2) 𝟎,𝟑𝟎,𝟒 і 𝟎,𝟑𝟎,𝟑 2) 𝟎,𝟑𝟎,𝟒<𝟎,𝟑𝟎,𝟑 3) 𝟏 і 𝟓𝟒𝟏𝟑 Як можемо «подати» одиницю?3) 𝟓𝟒𝟎 і 𝟓𝟒𝟏𝟑 3) 𝟓𝟒𝟎<𝟓𝟒𝟏𝟑 4) 𝟎,𝟏𝟕−𝟑 і 𝟏 4) 𝟎,𝟏𝟕−𝟑 і 𝟎,𝟏𝟕𝟎 4) 𝟎,𝟏𝟕−𝟑>𝟎,𝟏𝟕𝟎 5) 𝟐𝟔 і 𝟐𝟕 5) 𝟐𝟔<𝟐𝟕 6) 𝝅𝟒−𝟐,𝟕 і 𝝅𝟒−𝟐,𝟖 6) 𝝅𝟒−𝟐,𝟕>𝝅𝟒−𝟐,𝟖 

Номер слайду 18

Розв’язуємо гуртом. Обчисліть значення виразу:51) 𝟑𝟐+𝟏𝟐:𝟑𝟐𝟐 2) 𝟑𝟑𝟕𝟑𝟑 3) 𝟑𝟔𝟓+𝟏𝟐∙𝟑𝟔−𝟓 4) 𝟏𝟐𝟐−𝟖 

Номер слайду 19

Розв’язуємо гуртом. Чи є правильним твердження:6 Найбільше значення функції 𝒚=𝟎,𝟐𝒙 на проміжку −𝟏;𝟐 дорівнює 5; 2) Областю визначення функції𝒚=𝟒−𝟕𝒙 є множина дійсних чисел; 3) Областю значень функції𝒚=𝟔𝒙+𝟓 є проміжок 𝟓;+∞ 4) Найменше значення функції 𝒚=𝟏𝟒𝒙 на проміжку −𝟐;𝟐 дорівнює 16 fillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.on

Номер слайду 20

Розв’язуємо гуртом. На якому проміжку найбільше значення функції 𝒚=𝟐𝒙 дорівнює 16, а найменше дорівює 𝟏𝟒? 7

Номер слайду 21

Розв’язуємо гуртом. Графік якої з функцій, зображених на рисунках, перетинає графік функції 𝒚=𝟓𝒙 більше ніж в одній точці? 8𝑥 𝑦 𝑂 5 5 А)𝑥 𝑦 𝑂 −5 5 Б)𝑥 𝑦 𝑂 −5 −5 В)fillcolorfill.typefill.on

Номер слайду 22

Відповідаємо. Яку функцію називають показниковою?Чи може показникова функція перетнути вісь абсцис?Які властивості має степінь з дійсним показником?Зобразіть схематично графік функції 𝒚=𝒂𝒙 при 𝒂>𝟏; при 𝟎<𝒂<𝟏 Через яку точку проходять всі графіки всіх показникових функцій?Користуючись побудованими графіками показникових функцій, охарактеризуйте всі їх властивості

Номер слайду 23

Відповідаємо. Що називають експонентою?Яку цікаву особливість має експонента?За якої умови показникова функція зростає? А за якої – спадає?Чи може значення показникової функції бути від’ємним?Чи може значення показникової функції дорівнювати нулю?

Номер слайду 24

Опрацювати §1 (ст.6-9) Мерзляк А. Г. Виконати № 1.5; 1.7; 1.11; 1.17 Бажаю творчих успіхів!02.08.2019 Домашнє завдання. Опрацювати §1 Істер О. С. Виконати № 1,5; 1.7; 1.9; 1.21; Опрацювати §1 Нелін Є. П. Виконати № 1.2(2,4); 1.6(3-7); 1.7; 1.11(2); Опрацювати §1 Бевз Г. П. Виконати № 8; 23; 27(в); 31;www.matnova.com.ua

Перегляд файлу

 

____ ________________ 20___ р.

                                                                                                                                                         [ дата ]

Тема: Показникова функція та її властивості Мета:

      Навчальна: засвоїти означення показникової функції, властивості показникової функції, навчитися будувати графіки показникової функції; засвоїти властивості степенів з дійсним показником на основі властивості степенів з раціональним показником;

      Розвиваюча: розвивати вміння аналізувати графіки показникової функції та користуючись побудованими графіками аналізувати властивості показникової функції;

      Виховна: виховувати інтерес до вивчення точних наук, показати, де саме застосовують у житті властивості показникової функції; Компетенції:

      Спілкування державною мовою (уміння ставити запитання і розпізнавати проблему; міркувати, робити висновки на основі

інформації, поданої в науковій презентації)

Тип уроку: засвоєння нових знань;

Обладнання: опорний конспект, навчальна презентація, мультимедійне обладнання, презентер;

 

Хід уроку

I.            Організаційний етап

      Привітання

      Перевірка присутніх на уроці

      Налаштування на роботу

 

II.         Актуалізація опорних знань Числовою функцією називається….

 

Числовою функцією з областю визначення           𝐷         називається залежність, при якій кожному числу 𝑥 із множини 𝐷(області визначення)          ставиться     у відповідність єдине число 𝑦. 𝑥 – аргумент(незалежна змінна),

𝑦 – функція(залежна змінна)

𝑓 – функція

𝑓(𝑥0) – значення функції 𝑓 у точці 𝑥0

 

 

                                                                                         Графіком функції називається…

Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини з координатами

(𝑥; 𝑓(𝑥)).

 

Ø   Область визначення функції…

Область значень функції 𝑓 – це множина тих значень, яких може набувати аргумент 𝑥.

Позначення: 𝐷(𝑓)

Ø   Область значень функції…

Область значень функції 𝑓 – це множина, яка складається із всіх чисел 𝑓(𝑥), де 𝑥 належить області визначення. Її позначають 𝐸(𝑓).

 

Ø   Функція зростаюча, якщо…

Функція 𝑓(𝑥) називається зростаючою на множині 𝑀, якщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає більше значення функції.

 

Ø   Функція спадна, якщо…

Функція 𝑓(𝑥) називається спадною на множині 𝑀, якщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає менше значення функції.

 

Які існують типи чисел?

Натуральні числа (лат. «natura» - природа)

Натуральні числа – числа, що виникають природним чином при лічбі.

 

Ø   Наведіть приклади натуральних чисел (1,2,3 … )

 

Цілі числа

Цілі числа – це натуральні числа, протилежні їм числа і число нуль.

 

Ø   Наведіть приклади цілих чисел (−2, −1,0,1,2)

 

Раціональні числа

Раціональні числа – додатні числа (цілі та дробові), від’ємні числа (цілі та дробові), число нуль.

 

Ø   Наведіть приклади раціональних чисел (−  ; )

 

Дійсні числа

Множина раціональних та ірраціональних чисел(числа, які не можуть бути виражені за допомогою відношення цілих чисел, їх можна виразити за допомогою нескінченних неперіодичних десяткових

дробів)

 

Ø   Наведіть приклади дійсних чисел , 𝜋, 𝑒)

 

Комплексні числа

Комплексні числа можна подати у вигляді як формальну суму 𝑥  𝑖𝑦, 𝑥 𝑖 𝑦 – дійсні числа, 𝑖 – уявна одиниця  

 

Ø  Наведіть приклади комплексних чисел

Ø  Чи існують інші типи чисел?

Кватерніони й октоніони є прикладами гіперкомплексних чисел.

 

III.    Вивчення нового матеріалу

 

Показникова функція

Функція виду 𝑦  𝑎𝑥 |𝑎            називається показниковою.

𝑎

𝑥

Наприклад: 𝑦

 

 

 

Побудуємо 𝑦 = 2𝑥 для деяких цілих значень.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тепер на цьому ж графіку добудуємо

деякі дробові значення функції 𝑦 = 2𝑥

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо побудуємо всі значення з множини 𝑥 ∈ ℝ, то отримаємо графік показникової функції 𝑦 = 2𝑥 (можливий інший запис, наприклад: 𝑔(𝑥) = 2𝑥).

 

*Кожна точка цього графіка є степенем числа 2 з дійсним показником 𝑥.

 

 

 

o    Чи існує функція при a = 1?

 

 

 

 

 

 

o    Існує, але це вже буде не показникова функція. Графіком такої функції є пряма.

 

 

 

 

 

 


Чи може отриманий графік показникової функції перетнути вісь абсцис?

 

o    Ні, навіть якщо ми візьмемо від’ємний показник степеня, то завжди отримаємо додатне значення (𝑥−𝑛 = 𝑥1𝑛 ; 4−2 =  = )

Отже, вісь 𝒙 є асимптотою цього графіка.

 

*Асимпто́та криво́ї (грец. ασυμπτωτος — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при віддаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.

 

Проаналізуємо графіки показникової функції при 𝑎 > 1 і 0 < 𝑎 < 1:

 

 

 

o    Що можемо сказати про ці функції на перший погляд?

(при 𝑎 > 1 функція зростаюча,

при 0 < 𝑎 < 1 функція спадна)

 

 

 

 

 

 

 

           

Побудуємо деякі графіки функцій 𝒚 = 𝒂𝒙 при 𝒂 > 𝟏 і 𝟎 < 𝒂 < 𝟏

 

 

 

 

Чим більшою є основа 𝑎 > 1, тим крутіше «піднімається» графік функції 𝑦 = 𝑎𝑥, якщо рухатися вправо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чим меншою є основа 0 < 𝑎 < 1, тим крутіше «піднімається» графік функції 𝑦 = 𝑎𝑥, якщо точка рухається вліво.

 

 

 

 

 

 

 

 

           

Пригадаємо властивості степеня з раціональним показником.

                     𝒙𝒂𝒚 = 𝒂𝒙+𝒚         

𝒂

               𝒂𝒙: 𝒂𝒚 = 𝒂𝒙−𝒚                                                   

(𝒂𝒙)𝒚 = 𝒂𝒙𝒚 Всі ці властивості справедливі для > 0, 𝑏 > 0 та будь-яких дійсних 𝑥 𝑖 𝑦

                (𝒂𝒃)𝒙 = 𝒂𝒙𝒃𝒙       

𝒂 𝒙 𝒂𝒙 (𝒃) = 𝒃𝒙  

 

        Властивості показникової функції

1.      (Областю визначення показникової функції є множина дійсних чисел)

 

2.      (Областю значень показникової функції є множина )

 

3.      при всіх значеннях 𝑥 (Показникова функція немає нулів, і проміжок  є проміжком її знакосталості)

 

4.     При  зростаюча (При 𝑎 > 1 зростає на всій області визначення) При  спадна (При 0 > 𝑎 > 1 спадає на всій області визначення)

 

        Цікаво

Розглянемо графіки показникових функцій 𝑦 = 2𝑥 𝑖 𝑦 = 4𝑥.

У них кутовий коефіцієнт дотичної проведеної в точці  𝐴(0; 1) до графіка менший за одиницю або більший за одиницю.

 

 

o    Чи існує така показникова функція, щоб кутовий коефіцієнт дотичної до її графіка в т.𝐴(1; 0) дорівнював 1?

 

 

 

Якщо за основу показникової функції взяти ірраціональне число

𝑒 = 2,71828 …

 

Така показникова функція називається експонентою.

 

 

 

 

 

o    Чому графік кожної показникової функції обов’язково проходить через точку 𝐴(0; 1)?

 

𝑎

𝑦 = 𝑎𝑥 |𝑎  ⇒ 𝑎0 = 1

𝑥  

Процеси, що описує показникова функція

Показникова функція описує значну кількість процесів, що відбуваються в природі. Наприклад, зростання кількості бактерій за сприятливих для них

умов існування можна описати за законом 𝑁 = 5𝑡 (𝑡 − час дослідження, 𝑁 − кількість бактерій у колонії).

 

 

 

 

o    Як людина використовує ріст і розмноження бактерій?

(Виробництво антибіотиків, кисломолочних продуктів,

виноробство, медицина)

 

 

o    Зростання кількості деревини можна порахувати за законом 𝐴 𝑘𝑡

(𝐴0 − початкова кількість деревини, 𝐴 − кількість деревини через час 𝑡, 𝑘 𝑖 𝑎 сталі)

 

Зменшення маси речовини під час радіоактивного розпаду відбувається за

𝑡

законом 𝑀 (𝑀0 – початкова маса речовини, 𝑀 – маса в момент часу 𝑡, 𝑇 – період напіврозпаду речовини (час розпаду половини атомів заданої речовини))

 

o    Зменшення тиску повітря з висотою відбувається за законом 𝑝 = 𝑝0 ∙ 𝑎−𝑘ℎ

(𝑝0 – тиск на рівні моря, 𝑝 – тиск на висоті , 𝑎 𝑖 𝑘 - сталі)

 

IV.     Закріплення нових знань та вмінь учнів

№1

Яка з даних функцій є показниковою:

1) 𝑦 = 𝑥6

2) 𝑦 = 6√𝑥

3) 𝒚 = 𝟔𝒙

4) 𝑦 = 6

 

№2 Грунтуючись на які властивості показникової функції можна стверджувати, що:

7 3,2 7 2,94 1,8 4 1,6 1) ( ) < ( ) 2) ( ) > ( ) ?

                      9                                                            93                                                            3

 

Відповідь: При 𝑎 > 1 показникова функція є зростаючою, при 0 > 𝑎 > 1 – спадною.

№3 Побудуйте графік функції 𝑦 = 3𝑥. У яких межах змінюється значення функції, коли 𝑥 зростає від −3 до 3 включно?

 

Розв’язок:

 

𝒙

−1

0

1

2

3

𝟑𝒙

 

1

3

9

27

 

     

Відповідь: значення функції змінюється від  до 27.

          


№4

Порівняйте:

 

1) 53,4 > 53,26

2) 0,30,4 < 0,30,3

3) (5)0 < (5)

                   4                 4

4) 0,17−3 > 0,170

5)

6) (𝜋)−2,7 > (𝜋)−2,8

            4                        4

 

№5

Обчисліть значення виразу:

1)

Розв’язок:

 

2)

Розв’язок:

 

3)

Розв’язок:

 

−√𝟖

                       𝟏   √𝟐

           4) (( )      )      

𝟐

Розв’язок:

 

№6

Чи є правильним твердження:

1)    Найбільше значення функції 𝑦 = 0,2𝑥 на проміжку [−1; 2] дорівнює 5; Розв’язок:

0     < 0,2 < 1| ⇒ функція 𝑦 = 0,2𝑥 – спадна На проміжку [−1; 2] її найбільшим значенням буде 0,2−1 = (1)−1 = 5,

5 отже твердження правильне.

 

2)    Областю визначення функції 𝑦 = 4 − 7𝑥 є множина дійсних чисел; Розв’язок:

Твердження правильне, за означенням показникової функції.

 

3)    Областю значень функції 𝑦 = 6𝑥 + 5 є проміжок [5; +∞) Розв’язок:

6𝑥 − додатне число за означенням| ⇒ 6𝑥 + 5 > 5 ⇒ 𝐸(𝑦) = (5; +∞) Твердження не правильне.

                                                                                                                                                                   1   𝑥

4)    Найменше значення функції 𝑦 = ( ) на проміжку [−2; 2] дорівнює 16

4 Розв’язок:

1     0

                  ( )     = 1

4

Твердження не правильне.

 

№7

На якому проміжку найбільше значення функції 𝑦 = 2𝑥 дорівнює 16, а найменше дорівює  ? Розв’язок: 2𝑥 = 16

2𝑥 = 24 𝑥 = 4

 

𝑥 = 1

2

4

2𝑥 = 2−2

𝑥 = −2

 

Відповідь: [−2; 4]

№8

Графік якої з функцій, зображених на рисунках, перетинає графік функції 𝑦 = 5𝑥 більше ніж в одній точці?

 

V.                Підсумок уроку

      Яку функцію називають показниковою?

      Чи може показникова функція перетнути вісь абсцис?

      Які властивості має степінь з дійсним показником?

      Зобразіть схематично графік функції 𝑦 = 𝑎𝑥 при 𝑎 > 1; при 0 < 𝑎 < 1 Через яку точку проходять всі графіки всіх показникових функцій?

      Користуючись побудованими графіками показникових функцій, охарактеризуйте всі їх властивості Що називають експонентою?

      Яку цікаву особливість має експонента?

      За якої умови показникова функція зростає? А за якої – спадає?

      Чи може значення показникової функції бути від’ємним? Чи може значення показникової функції дорівнювати нулю?

 

VI.            Домашнє завдання

Опрацювати §1 (ст. 6-9)

Виконати № 1.5; 1.7; 1.11; 1.17

 

Мерзляк А.Г.

Опрацювати §1

Виконати № 1,5; 1.7; 1.9; 1.21;

 

Істер О.С.

Опрацювати §1

Виконати № 1.2(2,4); 1.6(3-7); 1.7; 1.11(2);

 

Нелін Є.П.

Опрацювати §1

Виконати № 8; 23; 27(в); 31;

Бевз Г.П.

 

zip
Додано
3 серпня 2019
Переглядів
913
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку