ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ Урок — дослідницька робота

Про матеріал
Мета: узагальнити знання учнів із теми. Розкрити об¬ласть застосування похідної. Показати, що похід¬на—засіб дослідження процесів дійсності й сучас¬ного виробництва. Формувати єдину наукову кар¬тину світу. Розвивати логічне мислення, вміння аналізувати, порівнювати, бачити аналогію задач. Розвивати вміння досліджувати, систематизувати вивчені факти. Виховувати волю та наполегливість у досягненні кінцевого результату; толерантність під час групо¬вої діяльності; любов до людини, краси, гармонії всесвіту, рідної мови.
Перегляд файлу

ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ

Урок — дослідницька робота

Мета: узагальнити знання учнів із теми. Розкрити об­ласть застосування похідної. Показати, що похід­на—засіб дослідження процесів дійсності й сучас­ного виробництва. Формувати єдину наукову кар­тину світу. Розвивати логічне мислення, вміння аналізувати, порівнювати, бачити аналогію задач. Розвивати вміння досліджувати, систематизувати вивчені факти.

Виховувати волю та наполегливість у досягненні кінцевого результату; толерантність під час групо­вої діяльності; любов до людини, краси, гармонії всесвіту, рідної мови.

Тип уроку: систематизація й узагальнення знань.

Обладнання: комп'ютер, портрети математиків, ри­сунки, графіки, виставка науково-дослідницьких робіт, рефератів.

ХІД УРОКУ

І. Організаційний етап

За тиждень до початку уроку учні об'єдналися в групи, отримали проблемні завдання.

Група 1 "Графіки функцій" отримала домашнє завдання: побудувати різноманітні графіки дро­бово-раціональних функцій, зробити висновки щодо виду асимптот залежно від степеня чисель­ника і степеня знаменника дробово-раціональної функції.

Група 2 "Застосування похідної у виробництві" отримала завдання знайти в магазинах консер­вну банку оптимальних розмірів. (Щоб затрати жерсті були найменшими за найбільшого об'єму.)

Група 3 "Історичні відомості. Людина" отрима­ла завдання зібрати відомості про дослідження диференціального числення, а також про вче­них, які зробили внесок у його розвиток.

Вступне слово вчителя

(Лунає музика.)

Діти, уявіть: Англія, 1666 рік. І. Ньютон, якому лише 23 роки, робить прорив у математиці — відкриває похідну. І все. Життя Європи полетіло так швидко, що вчені навіть не могли уявити такого. Розвиток науково-технічного прогресу, війни, виготовлення зброї, епідемії й відкриття цілющого пеніциліну, запуск космічних ракет і створення ядерних реакторів — основою всього послужило диференціальне числення. Від висо­ких досягнень до стрімких падінь крокувала по­ряд похідна, кидаючи свої максимуми і мініму­ми, похідна, яка так миттєво змінила весь світ.

Подібно тому, як Архімед, відкривши закон важеля, сказав: "Дайте мені точку опори, і я зру­шу Землю", так і сучасники Ньютона казали: "Складіть нам диференціальні рівняння усіх рухів у природі й навчіть їх інтегрувати, тоді ми будемо подібні Богу, оскільки за допомогою обчислень точно будемо знати майбутні події."

Д. О. Граве

II. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1). За схематичним графіком функції в околі точ­ки х0 охарактеризуйте поведінку f '(x) та f(x), визначте вид критичної точки.

Орієнтовний вид графіка функції f(x) в околі точки х0

Очікувана відповідь

1) Поведінка f '(x0);

2) поведінка f '(x);

3. критична точка х0

1) f '(x0) = 0;

2) f '(x0) змінює знак з"+" на "-";

3) х0 – точка максимуму.

1) f '(x0) = 0;

2) f '(x0) змінює знак з"-" на "+";

3) х0 – точка мінімуму

1) f '(x0) не існує;

2) f '(x0) змінює знак з"+" на "-";

3) х0 – точка мінімуму

 

 

1) f '(x0) = 0;

2) f '(x0) не змінює знака;

3) х0 – точка перегину.

 

1) f '(x0) = 0;

2) f '(x0) не змінює знака;

3) х0 – точка перегину.

 

1) f '(x0) не існує;

2) f '(x0) змінює знак з"+" на "-";

3) х0 – точка максимуму.

 

2)   Функція   у = f(x)   визначена   на   проміжку (-∞;+∞).    На   рисунку    зображено    графік у = f '(x). Укажіть проміжки зростання та спа­дання функції у = f (х). Знайдіть критичні точки функції. Визначте, які з них є точками екстремуму.

3)   Самостійна робота (за власним варіантом)

А)  Користуючись зображенням графіка функції y = f(x), укажіть точки екстремуму функції y = f(x).

Б)  На рисунку зображено графік у = f(x). Ука­жіть на рисунку точки екстремуму функції.

III.  Робота в групах

Перед початком роботи вчитель зачитує епіграф:

Найкращий спосіб вивчити що-небудьвідкри­ти його самостійно. Д. Пойа

Група "Графіки функцій" презентує результати виконання домашнього завдання.

Очікуваний результат

Учні демонструють побудовані графіки функцій. Роблять висновки:

1)    Якщо f(х) - дробово-раціональна функція, у якої степінь чисельника більший на 1 оди­ницю від степеня знаменника, то графік функції має похилу асимптоту.

2)    Якщо f(х) - дробово-раціональна функція, у якої степінь чисельника дорівнює степеню знаменника, то графік функції має горизон­тальну асимптоту.

3)    Якщо f(х) - дробово-раціональна функція, у якої степінь чисельника на 2 і більше оди­ниць більший за степінь знаменника, то графік функції не має похилих асимптот.

4)    Якщо f(x) - дробово-раціональна функція, у якої степінь чисельника менший від степе­ня знаменника, то графік функції має гори­зонтальну асимптоту у = 0.

Учні будують на дошці графіки функцій:

1) ; 2) .

4-х               х+1

Самостійна робота (за власним варіантом)

Побудуйте графік функції, де N - порядковий номер прізвища учня в класному журналі.

Перевірка побудованих графіків програмою GRAND 2.

IV.  Фізкультхвилинка

Грає спокійна музика.

Учні заплющили очі. Розмахом руки відтворю­ють графіки функцій і відповідають на запитан­ня вчителя.

1)   |x| + |y| = 1.

Яка утворилася фігура? Чому дорівнює її пло­ща? Чому дорівнює її периметр?

2)    х22=4.

Яка утворилася фігура? Чому дорівнює її площа?

V. Виступ другої групи "Застосування похідної у виробництві"

Деякі люди, коли бачать речі такими, якими вони є, питають: "Чому так?" Я бачу речі такими, якими вони ніколи не були, і питаю: "Чому б і ні?"

Бернард Шоу

Учні групи зачитують розв'язані задачі. Одну з них пропонують розв'язати класу.

Задача. Визначте розміри циліндричної закри­тої консервної банки, об'єм якої дорівнює V см3, щоб її повна поверхня була найменшою, тобто затрати жерсті на її виготовлення були наймен­шими.

1)   Моделювання.                             

Форма банки - циліндр.

Нехай діаметр основи - х см, а висота — Н см. Sосн = Sб +So, R =

,  Sосн=

2)   Математична задача.

Знайти найменше значення функції S(x) на про­міжку х є (0;+∞).

S'(x)=, S'(x) = 0, x = .

Неможливо порівняти значення функції в кри­тичній точці з її значеннями на кінцях про­міжку. Тому з'ясуємо знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки.

- діаметр основи, за якого площа повної поверхні циліндра буде найменшою, Н = х. Висновок. Осьовий переріз — квадрат.

Учні демонструють консервні банки й обчислення.

Шпроти

Реальні розміри банки

Оптимальні розміри банки

Відсоток не раціонально використаної жерсті

Діаметр - D = 10 см,

радіус - R =5см,

висота – Н = 2см,

об'єм V = 157 cm3,

площа повної по-

верхні - S =219,8см2

H = D = x = ,

S = 158,4см2

38%

 

Сардини

 

Діаметр - D = 8,5 см,

радіус - R = 4,25 см,

висота - Н = 5 см,

об'єм - V = 283 cm3,

площа повної по-

верхні - S =246,9 см2

H = D = x = ,

S = 231 см2

6%

 

 

 

 

Запитання учням: Чому виробники несуть такі нераціональні витрати?

Можливі відповіді учнів:

∙ Шпроти мають довжину близько 10 см. Тоді банка мала б висоту 10 см, а ціна була б у 5 раз­ів більшою за реальну (30 грн);

виробнику вигідно, оскільки покупець спла­чує ціну банки й риби;

отже, ми купуємо не рибу, а жерсть;

людині найбільш гармонічними здаються прямокутні форми (золотий переріз гармонії світу). Дуже рідко можна побачити банки, у перерізі яких — квадрат.

Учитель зачитує висловлення:

Пізнати, зрозуміти й охопити гармонію наукової будівлі з недобудованими частинами - значить одержати таке задоволення, яке дають тільки найвища краса і правда.

Д. І. Менделєєв

Учитель пропонує учням розв'язати задачу.

Еней, герой відомої "Енеїди" І. П. Котлярев­ського, після багатьох пригод пристав до берега і потрапив до міста.

В тім городі жила Дідона,

А город звався Карфаген,

Розумна пані і моторна,

Для неї трохи сих імен:

Трудяща, дуже працьовита,

Весела, гарна,сановита.

Так розповідає легенда. 825 років до н. є. фіні­кійська царівна Дідона з невеликим військом вибрала зручне місце на північному узбережжі Туніської затоки. Король Нумібії Ярб погодився продати їй ділянку землі, обмежену "шкурою бика". Дідона не розгубилася. Вона розрізала шкуру на тоненькі смужки, якими обміряла те­риторію найбільшої площі. Так було засновано Карфаген. Якщо ця територія — прямокутник, то які його розміри?

Розв'язати цю задачу (за власним варіантом, N — варіант).

Математична задача

Які розміри повинен мати прямокутник най­більшої площі, периметр якого Р = N км?

Наприклад: варіант N = Р = 22 км.

Нехай довжина прямокутника дорівнює х км, тоді ширина - (11-x)км.

S(x) = х(11 - х) = 11х - х2, х є (0;11). S'(x) = 0, S'(x) = 11 - 2x, x = 5,5.

Неможливо порівняти значення функції в кри­тичній точці з її значеннями на кінцях про­міжку. Тому з'ясуємо знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки.

Похідна змінює знак з " + " на "-", отже, х — точка максимуму.

х = 5,5(км) - довжина прямокутника, шири­на -11-5,5 = 5,5 (км).

Висновок. Серед прямокутників найбільшу пло­щу має квадрат.

VI. Виступ третьої групи "Історичні відомості. Людина"

Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!

Свободные, бесплотные, как тени,

Вы радугой связующей повисли

К раздумиям с вершины вдохновенья!

                                                                            В. Я. Брюсов

1-й учень. Відкриттю похідної й основ дифе­ренціального числення передували роботи фран­цузького математика і юриста П. Ферма (1601-1665), який 1629 року запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функцій, проведення дотичних до довільних кривих; роботи Рене Декарта (1596-1650), який розробив метод координат і основи аналітичної геометрії.

Тільки в 1666 році англійський математик і фі­зик І. Ньютон (1643-1727) і трохи пізніше відо­мий математик Г. Лейбніц (1646-1716) незалеж­но один від одного побудували теорію диферен­ціального числення. Похідну Ньютон називав "флексією", а саму функцію "флюєнтою" (теку­чою).

Термін "lim" вперше знаходимо у Ньютона в 1686 році.

У 1696 році француз Франсуа Антуан де Лопіталь видає перший у світі друкований підручник із диференціального числення.

У 1755 році Л. Ейлер написав підручник "Дифе­ренціальне числення".

У 1797 році французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) увів термін "похідна", по­значення у'.

За допомогою похідної було розв'язано багато за­дач теоретичної механіки, фізики та астрономії. Так учені передбачили повернення комети Галлея, що стало тріумфом науки XVIII століття.

2-й учень. Учені — такі ж люди, як і ми з вами.

Лопіталь мав поганий зір, мріяв стати офіцером артилерії. З дитинства захоплювався математи­кою. Малював криві лінії і мріяв записати їх рівняння.

Французький математик Жозеф Луї Лагранж слухав концерт. Сидів дуже зосереджений. Хтось запитав його, чим подобається йому ця музика?

— Подобається тим, що я усамітнююся. Слухаю перші три такти, а на четвертому уже нічого не помічаю, думки несуть мене. Таким чином я роз­в'язав уже не одну складну задачу.

3-й учень. Людина шукає гармонію і порядок, намагається знайти рівновагу між наукою і по­чуттями. Сподіваюся, що, можливо, й серед нас є майбутні вчені, які зможуть зробити світ більш красивим і гармонійним.

Не можна бути математиком, не відчуваючи себе в душі поетом.

С. Ковалевська

Учні читають власні вірші.

Я беру производную —

Каково удивление,

Мир меняется весь.

Вижу скорость

Его изменения.

Мир из хаоса вдруг

Превращается в схемы.

У гармонии тоже

Есть свои теоремы.

 

Жизнь человека, словно синусоида:

То вверх летишь, то падаешь ты вниз.

Когда настанет максимум и минимум,

Когда исчертишь ты последний лист?

А мудрецы свой график исправляли,

Чтоб приближался он к стремительной

прямой,

Чтобы как птицы от нуля взлетали

Без перегибов мысли над землей.

VII. Підсумок уроку

Вправа "Мікрофон"

Де застосовується похідна?

Бажані відповіді

1)    Для побудови графіків функцій.

2)    Під час розв'язування рівнянь, нерівностей.

3)    Під час доведення тотожностей.

4)    Під час розв'язування задач на знаходження найбільших і найменших значень.

5)    Для знаходження рівняння дотичної.

6)    Під час обчислення границь. Правило Лопіталя.

7)    У розв'язуванні задач із фізики, астрономії тощо.

VIII. Заключне слово вчителя

На екрані комп'ютера зображення людини з роз­рахунками золотого перерізу.

Ось вона — Людина! Людина, накреслена мате­матикою, але в неї індивідуальні думки, свій світ, власна доля. Людина — розумна! Вона на­вчилася запускати ракети і, можливо, колись навчиться керувати собою, своєю похідною.

Учитель виставляє оцінки. Визначає найкращо­го учня уроку й пропонує йому написати і захис­тити на районному конкурсі науково-дослід­ницьких учнівських робіт наукову роботу з теми "Застосування похідної".

Література

1.   Нелін Є. П., Домова О. Є. Алгебра і початки аналі­зу: дворівневий підручник для 11 кл, загально-освіт. навч. закладів. — 5-те вид. —X. : Гімназія, 2009.-416 с.

2.   Цуреико С. П. Багатоваріантні контрольні са­мостійні, класні і домашні роботи. Алгебра і почат­ки аналізу. Геометрія. 11 клас: Тематичне оціню­вання. — Тернопіль: Навчальна книга — Богдан, 2004. —72 с.

3.   Математика в школах України. — 2006. — № 31 (151) 2006. — с. 37 (Математичний гумор).

 

1

 

docx
Додав(-ла)
Постика Ольга
Додано
25 лютого
Переглядів
352
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку