Презентація на тему "Тригонометричні рівняння"

Тригонометричні рівняння

Арккосинус і розв’язок рівняння cos x=a. Тригонометричні рівняння – рівняння, що містять невідоме під знаком тригонометричної функції. Рівняння видуsin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a називаються найпростішими тригонометричними рівняннями.

Рівняння cos x=a. Якщо |a|>1, тоді рівняння cos x=aне має коренів. Наприклад, рівнянняcos x=-1,5 не має коренів. Якщо |a| ≤ 1,тоді корені рівняння виражаютьсяформулою x= ± arccos a+2πk, k∈Z Що ж таке arccos a? Арккосинус в перекладі з латинської означає дуга і косинус. Це зворотна функція. Якщо |a| ≤ 1, тоді arccos a (арккосинус а) – це таке число відрізка [0; π], косинус якого дорівнює а Інакше кажучи:аrccos a=x⇒cos x=a,|a|≤1,x∈[0;π]

Приклад: Знайти arccos √𝟐𝟐 Вираз arccos √𝟐𝟐 показує, що косинус кута x дорівнює √𝟐𝟐 (cos x=√𝟐𝟐). Далі просто знаходимо точку цього косинуса на числовому колі, що і є відповіддю:число, що є значенням осі x, відповідає точці π𝟒 на числовому колі. Отже,  arccos √𝟐𝟐 = π𝟒 Якщо cos π𝟒 = √𝟐𝟐, тоді arccos √𝟐𝟐 = π𝟒 

Арксинус і рівняння sin x = a. Рівняння sin x = a. Якщо |a|>1, тоді рівняння sin x=aне має коренів. Наприклад, рівнянняsin x = 2 не має коренів. Якщо |a| ≤ 1,тоді корені рівняння виражаютьсяформулою x = (−𝟏)𝒌 arcsin a+πk, k∈Z  Що ж таке arccos a? Арккосинус в перекладі з латинської означає дуга і косинус. Це зворотна функція. Якщо |a| ≤ 1, тоді arcsin a(арксинус а) – це таке число відрізка [-π𝟐; π𝟐], косинус якогодорівнює а  Інакше кажучи:аrcsin a=x⇒sin x=a,|a|≤1, x∈[-π𝟐; π𝟐] 

Приклад: Знайти arcsin 𝟏𝟐 Вираз arcsin 𝟏𝟐 показує, що синуса кута x дорівнює 𝟏𝟐, тобто sin x = 𝟏𝟐 Далі просто знаходимо точку цього синуса на числовому колі,що і є відповіддю:точка 𝟏𝟐, що знаходиться на осі y, відповідає точці π𝟔 на числовому колі. Отже, arcsin 𝟏𝟐 = π𝟔 Якщо sin π𝟔 = 𝟏𝟐, тоді arcsin 𝟏𝟐 = π𝟔  

Арктангенс, арккотангенс, рівняння tg x = a, ctg x = a. Рівняння tg x = aarctg a (арктангенс а) – це таке число з відрізка (-π𝟐; π𝟐) , тангенс якого дорівнює аІнакше кажучи: Arctg a=x⇒tg x=a, x∈[-π𝟐; π𝟐] Рівняння tg x = a має розв'язок x = a+πk, k∈Z Теорема. arctg (-a) = -arctg a

Рівняння ctg x = aІнакше кажучи: Arcctg a=x⇒ctg x=a, x∈[0;π]Теорема. arcctg (-a) = π -arcctg a. Рівняння ctg x = a має розв’язок x = arcctg a+πk, k∈Z Приклад: Розв'язати рівняння tg x = 2 Використаємо формулу x = arctg a + πk, k∈Z і отримаємо відповідь x = arctg 2 + πk, k∈Z

Основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь.1. Метод розкладання на множники. Якщо рівняння f(x)=0 вдається перетворити до вигляду f1(x)⋅f2(x)=0, тоді f1(x)=0, або f2(x)=0. У подібних випадках завдання зводиться до розв'язання сукупності рівнянь: f1(x)=0, f2(x)=0. Приклад: Розв’язати рівняння методом розкладання на множники (sin x - 𝟏𝟑)(cos x + 𝟐𝟓)= 0 Задача зводиться до розв'язання сукупності рівнянь: sin x = 𝟏𝟑; cos x = -𝟐𝟓 З цих рівнянь знаходимо:x = (−𝟏)𝐤arcsin 𝟏𝟑 +πk, k∈Z;x = ± arccos(-𝟐𝟓)+2πk, k∈Z Врахуй, що перехід від рівняння f1(x)⋅f2(x)=0 до сукупності рівнянь f1(x)=0, f2(x)=0 не завжди безпечний  

2. Метод введення нової змінноїПриклад: Розв'язати рівняння методом введення нової змінної 2𝐬𝐢𝐧𝟐x−5sinx+2 = 0 Введемо нову змінну z=sinx, тоді рівняння можна записати, як 2𝐳𝟐 - 5z+2 = 0 Знаходимо корені даного рівняння: z1 = 2, z2 = 𝟏𝟐. Отже, або sinx=2, або sinx= 𝟏𝟐 Рівняння sinx=2 не має коренів, а з рівняння sinx= 𝟏𝟐 знаходимо:x = (−𝟏)𝐤 arcsin 𝟏𝟐 + πk, k∈Z; x = (−𝟏)𝐤π𝟔 + πk, k∈Z