Комбінаторні задачі для 5 класу

Комбінаторні задачіУрок математики в 5 класі вчитель математики та фізики. Бондарчук К. Д. Урок №1 з теми :

Під час зустрічі 9 хлопчиків нашого класу потиснули один одному руки. Скільки рукостискань було здійснено? Скількома способами четверо друзів можуть стати один за одним у черзі до буфету? Скількома способами можна обрати у нашому класі старосту та його заступника?

Нерідко в повсякденному житті ми стикаємось із задачами, розв'язання яких потребує розгляду та підрахунку всіх можливих випадків, або, як ще прийнято говорити, усіх можливих комбінацій. Тому такі задачі називають комбінаторними.

КОМБІНАТОРИКА – ЦЕ РОЗДІЛ МАТЕМАТИКИ, ЯКИЙ ВИВЧАЄ КОМБІНАЦІЇ І ПЕРЕСТАНОВКИ ПРЕДМЕТІВ, РОЗМІЩЕННЯ ЕЛЕМЕНТІВ, ЩОМАЮТЬ ПЕВНІ ВЛАСТИВОСТІ.

Задачі, в яких потрібно знайти кількість можливих способів утворення таких підмножин, називаються комбінаторними.

Підгрунтям для розв’язування більшості комбінаторних задач є два правила: правило додавання і правило множення.

Правила суми і добутку можна застосовувати при виборі довільної скінченної кількості елементів. Правило суми: якщо доводиться вибирати або перший елемент, або другий, або третій і т. д. елемент, кількості способів вибору кожного елемента додають. Правило добутку: коли доводиться вибирати набір у який входить і один, і другий, і третій, і т. д. елемент, кількості способів вибору перемножають.

Правило суми. Якщо елемент А можна обрати m способами, а елемент В – n способами, то або елемент А або елемент В можна обрати m + n способами. Правило добутку Якщо елемент А можна обрати m способами, а після кожного такого вибору інший елемент В можна обрати (незалежно від вибору елемента А) n способами, то пару елементів А і В можна обрати m  n способами.

Задача. Туриста зацікавили 5 маршрутів по Херсонщині та 7 маршрутів по Карпатах. Скількома способами він може організувати свою відпустку, маючи час лише на один маршрут?Тут застосовуємо правило суми, оскільки турист може вибрати або Херсонщину, або Карпати. Тому 5 + 7 = 12 різних маршрутів. Відповідь: 12 способів.

Задача. Умова попередньої задачі, але турист має час на два маршрути, та хоче побувати спочатку на Херсонщині, а потім у Карпатах.  

Приклад 1 Деякий учень проживає від школи на певній відстані. До його мікрорайону можна добратися зі школи 2 автобусами або, навпростець, 3 безпечними шляхами. Скількома способами учень може вибрати дорогу додому? Розв'язання Оскільки всього є 2 + 3 = 5 шляхів додому, то, очевидно, відповідь: 5 способів вибору шляху.

Приклад 2 На столі у секретаря лежать 12 олівців та 7 ручок. Для запису термінової інформації секретар навмання вибирає олівець або ручку. Скількома способами він може це зробити?Розв'язання 12+7 = 19 Відповідь: 19 способів

Задача 1. Костюм складається з блузки та спідниці. Скільки різних костюмів можна скласти з 5 видів блузок і 4 видів спідниць?Відповідь: 20 костюмів

СПОСІБ ПЕРЕБОРУЗадача 1. Скільки існує прямокутників, периметри яких дорівнюють 24 см, а довжини сторін є натуральними числами, які виражені в сантиметрах. {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}a1234567891011b1110987654321 Розв'язання. Периметр прямокутника знайдемо заформулою: P = 2(a + b), де a і b – йогосторони. P = 24 см за умовою, a + b = 12. Запишемо у таблицю всі можливі комбінації довжин сторін прямокутника:

{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Розв'язання P = 2(a + b) Відповідь. 6 прямокутників.{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}

Задача 2. У танцювальному клубізаймаються 7 юнаків та 9 дівчаток. Скількома способами можна вибрат одну пару для участі в конкурсі?ДДДДДДДДДЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮВІДПОВІДЬ: 63 СПОСОБИstroke.colorstroke.on

Задача3. Скількома способами можна дібрати пару з однієї голосної і однієї приголосної букви у слові “стежка”?С Т Е Ж К АПРИГОЛОСНІ: С, Т, Ж, К – 4 букви. ГОЛОСНІ: Е, А – 2 букви. СЕАТЕАЖЕАКЕАВІДПОВІДЬ: 8 СПОСОБІВ

Задача 2. Скількома способами можна скласти розклад трьох перших уроків у 5 класі з предметів: математика, українська мова, історія? СПОСІБ ПЕРЕБОРУ

Розв'язання. Введемо позначення: математика - М, українська мова - У, історія - І. Бачимо, що вже утворилась перша комбінація. Запишемо її в один ряд і обведемо кожну літеру квадратиком. МУІ

Розв'язання. Від кожного квадратика проведемо 2 гілки, які показують, що перебирати залишилось із 2 літер. На кінцях гілок розмістимо квадратики, в які впишемо позначення цих літер. МУІІІУУММ

Розв'язання. Залишилось перебрати по одній літері. Від кожного квадратика другого рівня проводимо по 1 гілці з квадратиком і вписуємо в них відповідну літеру. Тепер порахуємо кількість квадратиків у третьому рівні. Їх виявилось 6. Отже, розклад можна скласти 6 способами. Відповідь. 6. МУІІІУУММІІУУММ

Зверніть увагу: У дереві можливих варіантів:стільки рівнів, скільки задано елементів;на кожному рівні проводять стільки гілок,скільки елементів залишилось перебрати. МУІІІУУММІІУУММЗадача 3. Скільки трицифрових чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, за умови, що кожну цифру можна використати лише один раз?

Приклад 3 Скільки можна скласти чотирицифрових кодів для банківської картки?Розв'язання 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Кількість способів скласти код:_ ∙ _ ∙ _ ∙ _ - ?10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10 4 = 10 000 Відповідь: 10 000 варіантів кодів

Приклад 4 Із міста А до міста В ведуть 4 дороги, а з міста В до міста С ведуть 3 дороги. Скількома способами можна проїхати з міста А до міста С?Розв'язання4 ∙ 3 = 12 Відповідь: 12 способів

Розглянемо далі задачу, у якій треба полічити кількість способів, якими можна розмістити в ряд певну кількість предметів. Задача 4. Скількома способами можна викласти в ряд червону, білу, чорну та зелену кульки?Отже, якщо першою буде в ряду червона кулька, то таких способів буде 6. Але на першому місці може бути і зелена, і чорна, і біла кульки. Для кожного з цих варіантів буде 6 способів. А загальна кількість – 24 способи.

Такі розміщення називають перестановками. Позначають перестановки буквою Р. У задачі 4 кількість перестановок з чотирьох елементів дорівнює Р= 1*2*3*4 = 24. Аналогічно кількІсть перестановок з двох елементів : Р = 1 • 2; із трьох елементів Р = І *2 • 3 = 6; з п’яти Р, = 1 • 2 • 3 • 4 *5 = 120

Задача 5 Скільки різних трицифрових чисел можна написати цифрами: 1) 2, 5 і 5; 2) 0, 1 і 8?255255552255525251)108801081802)80110801810

Приклад 5 Батьки купили Петрові 4 пригодницькі романи, 3 художні книги та 2 енциклопедії.а) скільки існує способів обрати одну книгу для читання?б) скількома способами може обрати комплект Петро, до складу якого входить по одній книзі кожного виду?

Задача 4. На пошті у продажу є п'ять різних конвертів і три різні марки. Скількома способами можна купити конверт з маркою? ПРАВИЛО ДОБУТКУ

Розв'язання Оберемо конверт. У комплект до нього можна вибрати будь-яку з трьох марок. Маємо 3 комплекти з обраним конвертом. Оскільки конвертів у 5 разів більше, то кількість різних способів становить 15 (3  5 = 15). Відповідь. 15. Задача 5. Скільки трицифрових чисел можна утворити з цифр 3, 4, 6?

Задача 6. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білу й чорну тури, щоб вони не били одна одну?Розв'язання. Модуль 11. Комбінаторика та ймовірність. Заняття 1: Комбінаторні задачі. 13.14 - 15.58. https://www.youtube.com/watch?v=voz. VBk. Es. Ps. I

Правило суми. Якщо елемент А можна обрати m способами, а елемент В – n способами, то або елемент А або елемент В можна обрати m + n способами. Правило добутку Якщо елемент А можна обрати m способами, а після кожного такого вибору інший елемент В можна обрати (незалежно від вибору елемента А) n способами, то пару елементів А і В можна обрати m  n способами. Приклад. Від селища А до селища В можна доїхати трьома дорогами, а від В до С – двома. Скільки існує маршрутів, щоб виїхати із селища В?Скільки існує маршрутів, щоб дістатися від селища А до селища С?Знайди відповіді на три запитання, що на слайді 2. Щасти тобі!

Обчисли зручним способом: 1) 211 + 173 + 789; 2) 517 + 321 + 179 + 283; 3)50 * 17 * 2; 4)25*11*4*7.

Рефлексія

Розшифруй. Не важливо, з якою швидкістю ти рухаєшся до своєї мети. Головне – не зупиняйся! Конфуцій. РЕФЛЕКСІЯ

Бажаю успіхів!

Доашнє завдання№471, №477, №481, №521