Конспект уроку "Інтеграл та його застосування"

Тема уроку: Інтеграл та його застосування.

ЦІЛІ:

Формування предметних компетентностей:

• поглибити й розширити знання учнів про інтеграл;

• відпрацювати навички знаходження інтегралів та їх застосування до розв’язування задач;

• формувати особисте ставлення до діяльності, яка вимагає математичних знань.

Формування ключових компетентностей:

• розвивати навики самостійного мислення, інтелектуальні навики(аналіз, синтез, порівняння, співставлення),

• розвивати психологічні якості учнів: мислення, вмінь застосовувати отриманні знання на практиці; творчі інтелектуальні здібності учнів;

• пізнавальні вміння (виділяти головне при розв’язуванні задач);

• вміння навчальної праці (робота з додатковою літературою, з мережею Інтернет);

• виховувати вміння раціонально використовувати робочий час;

• математичну культуру учнів;

• підвищувати інтерес до предмету;

• комунікативні та інформаційні риси в учнів, активність та спостережливість,

• вміння співпрацювати в групі, висловлювати свою точку зору, опанувати, узагальнювати.

Тип уроку: урок-захист проектів.

Обладнання: комп’ютер, телевізор.

„ Той, хто серйозно прямує до пізнання істини,

не повинен займатися якоюсь однією наукою,

бо всі вони взаємозв’язані ”

Рене Декарт

ХІД УРОКУ:

І. Організаційний момент (привітання)

ІІ. Формулювання теми та мети уроку. Мотивація

Доброго дня, дорогі одинадцятикласники та присутні! Вітаю всіх вас з першим днем зими!!! Півроку залишилось до того моменту, коли ви підете в самостійне життя. І доки сплине цей час ви повинні обрати, а дехто це вже зробив, свій шлях, свою професію.

Саме сьогодні на цьому уроці «Інтеграл та його застосування» вам буде надана можливість зануритись у світ професій, відчути себе у ролі економіста, будівельника, радіометриста, бактеріолога, еколога, фізика, а також відчуєте складність деяких побутових проблем, що стають на шляху домогосподарки, або господаря дому.

На попередніх уроках я об'єднала учнів у 6 груп, які отримали індивідуальне домашнє завдання. Кожна група буде презентувати свій проект, і, я сподіваюсь, запропонує для розв’язання ряд нестандартних задач з даної теми. Перед уроком я парті кожної групи залишила «Лист оцінки проекту», в якому ви маєте оцінити роботу своїх однокласників по таким критеріям:

• Актуальність,

• Якість розробки ідеї,

• Оригінальність і творчий підхід,

• Оформлення роботи,

• Захист проекту,

• Практичність у використанні.

За кожен пункт – максимум 2 бали. Тож слухайте уважно і будьте об'єктивними.

Основна ціль нашого уроку – розглянути різні типи прикладних задач та методи їх розв’язування за допомогою визначеного інтеграла; формувати уміння застосовувати знання та способи дій у змінених і нових навчальних ситуаціях; поглибити знання про моделювання процесів дійсності за допомогою апарата інтегрування.

Ключова ціль – впевнено себе почувати під час НМТ де досить прості в розв’язанні задачі мають достатньо нестандартний зміст. Отож, нам потрібні будуть навички колективної праці, вміння проводити аналогію, робити узагальнення, висновки.

ІІІ. Актуалізація опорних знань

1. Що таке первісна?

(Функція називається первісною функції на деякому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку виконується рівність )

2. Невизначеним інтегралом функції f(x) на проміжку Х називають (сукупність усіх первісних для функції f(x) на проміжку Х)

3. Визначеним інтегралом функції f на проміжку [a,b] називають ( різницю F(b)-F(a), де F первісна функції f на проміжку І, і числа а і b належать цьому проміжку)

4. Назвіть, будь ласка, формулу Ньютона – Лейбніца. ( )

5. Яка головна відмінність визначеного інтегралу від невизначеного?

(Невизначений інтеграл – це функція, а визначений – число)

А зараз перевіримо, чи добре ви пам’ятаєте таблицю первісних.

Вставте пропущені символи, щоб рівність була правильною.

Після виконання роботи учні перевіряють правильність виконання, звіряючи написане в зошиті з правильними відповідями, що висвітлені на екрані:

ІV. Удосконалення вмінь і навичок

Якими мудрими Ньютон із Лейбніцем були,

Якими барвами їх формули заграли,

Яку могутність побачили, коли

Зійшлись їх похідні та інтеграли!

Зійшлись - немов злилися два струмки

В стократ потужнішу ріку єдину.

Їх теоремі давній завдяки те,

Що колись долали вчені за віки,

Тепер школяр долає за годину.

Математика – потужна зброя в руках фізика, економіста, біолога, еколога. Адже багато наслідків можна одержати математично, використовуючи перевірені дослідом формули. Зараз ваші однокласники покажуть, як використовуючи цю зброю, вони виконали своє завдання.

Давайте розглянемо, чи зможе нам знадобитися визначений інтеграл при розв’язуванні задач з економіки.

Творча група учнів підготувала нам виступ «Використання визначеного інтегралу в економіці».

УЧЕНЬ 1: Ви всі знаєте, що наша економіка зараз переживає не найкращі часи. Спробуємо розібратися коли ж інвестиції почнуть давати прибуток.

Розглянемо задачу знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями . Чисті інвестиції (капіталовкладення)- це загальні інвестиції, які були зроблені за певний проміжок часу, за винятком інвестицій на відшкодування основних фондів (капіталу), які виходять з ладу. Таким чином, за одиницю часу капітал збільшується на суму чистих інвестицій.

Якщо капітал розглядати як функцію часу , а чисті інвестиції, відповідно, як , то викладене вище можна записати у вигляді:

.

Часто вимагається знайти приріст капіталу за період з моменту часу до , тобто величину . Враховуючи, що - первісна для функції , маємо:

.

Задача. Чисті інвестиції задано функцією .

Визначити:

а) приріст капіталу за три роки;

б) термін часу (у роках), після якого приріст капіталу складає 50000.

Розв’язок. а) Скористаємося формулою для обчислення , врахувавши, що = К(3) – К(0),

поклавши =0; =3.

- приріст капіталу за три роки.

б)Дізнаємося термін, коли приріст капіталу складатиме 50000. Позначимо шукану тривалість часу через Т, тоді

.

Підставляємо і .

УЧЕНЬ 2: Ще одна з економічних проблем нашого сьогодення – це дороге паливо. Нас теж зацікавило це питання

Експериментально встановлено, що залежність витрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою
Q = 18 – 0,3v + 0,003v², де 30  v  110. Визначити середню витрату бензину при швидкості руху 50-60 км/год.

Розв’язання

Середня витрата бензину становить

(л).

Отже, автомобіль на 100 км шляху, рухаючись зі швидкістю 50-60 км/год, витрачає в середньому 10,6 л бензину. А це, погодьтеся, не малі гроші.

УЧЕНЬ 3: А ще, звичайно, нас, як і вас, турбує подорожчання електроенергії. Цікаво, скільки витрачається електроенергії протягом доби на одній теплоелектростанції?

З інтернету ми дізналися, що навантаження на Ташлицьку теплоелектростанцію задається функцією

f(x) = 3x² + 4x – 2. Визначити витрати електроенергії протягом доби.

Розв’язання:

( кВт·год)

Відповідь: 14343 кВт·год.

І це тільки на одній станції, уявіть яка кількість електроенергії по всій Україні!

Вчитель:Тут, я думаю, що пора в розмову вступити фізикам

УЧЕНЬ 4: Раз мова зайшла про електроенергію, то хотілося б сказати, що Сила струму в провіднику з часом змінюється за законом . Яка кількість електрики пройде через поперечний переріз провідника за час від третьої до шостої секунди?

(Кл)

УЧЕНЬ 5: Фізичний зміст інтегралу полягає в тому, щоб знайти шлях, який долає фізичне матеріальне тіло за певний проміжок часу.

Розглянемо одну з задач ЗНО.

Нехай швидкість тіла υ з часом t змінюється за наступним законом:

υ =20-3t. Знайти шлях, що пройшло тіло за четверту секунду свого руху.

Розв’язання:

υ(t) = , тоді

За четверту секунду

Вчитель: «Що за майстерне створіння людина! Вінець всього сущого!» Так писав великий гуманіст епохи Відродження – Вільям Шекспір і дійсно ж не перебільшував. Людина унікальна!!! Вона безмірно багата. Вона володіє цілою планетою, яка дана в дар людям! Але, чи завжди людина оберігає цей надзвичайний дар?

УЧЕНЬ 6: На деяких уроках ми також знайомилися з наслідками діяльності людини і факти проти людини. Я підготувала відео на, якому познайомимо вас з екологічною проблемою.

Відео «Мусорная свалка в Тихом океане»

Із 50-х років у всьому світі почався стійкий ріст інтересу до використання математики в екології.

Вчитель: Давайте спробуємо вирішити проблему. На які питання треба дати відповідь, щоб проблема почала вирішуватися.

УЧЕНЬ 6: 1.Визначити розміри сміттєвого острову.

2.Знайти площу сміттєвого острову.

Вчитель: Але ж острів не має певної геометричної форми. Як ми будемо вирішувати цю проблему?

УЧЕНЬ 7: Так можна використати формулу Ньютона - Лейбніца до обчислення площі криволінійної трапеції. Якщо проаналізувати форму острова та течії, які його створили можна прийти висновку, що за формою він нагадує трапецію утворену двома параболами, або двома синусоїдами.

Вчитель: Отже,

УЧЕНЬ 8: Завдання №1.

Обчислити площу сміттєвого острова, якщо він обмежений лініями:

у= х² ; у= 2х -х²; у=0.

( Побудуємо графіки функцій у = х² і у = 2х - х² і знайдемо абсциси то­чок перетину цих графіків із рівнян­ня: х² = 2х – х². Корені цього рівнян­ня х₁ = 0, х₂ = 1. Дана фігура зобра­жена на рис.

І з рисунка видно, що ця фігура складається з двох криволінійних трапецій: ОАВ₁ і В₁ АС.

Отже, шукана площа дорівнює сумі площ цих трапецій:

Відповідь: 1кв. од.

УЧЕНЬ 9: Завдання №2.

Обчислити площу ( а саме товщину) сміттєвого острова, якщо він обмежений лініями у = sin x; y = 2 sin x.

S = dx = dx= - cos х = - (-1-1) = 2 кв.од.

Вчитель: А як ви думаєте, а чи можна обчислити об’єм, який сміттєвий острів займає в океані? (є площа та є його висота) (ВІДПОВІДІ) Знайти об’єм,

Вчитель: Отже, як бачимо, проблеми дійсно існують. А чи можливо використати якісь хімічні процеси, щоб змінити дану ситуацію? Це питання до хіміків-біологів…

УЧЕНЬ 10: Швидкість зміни концентрації речовини, що вступила в реакцію, виражається функцією v = 3t + 1, де t – час (с), v – швидкість (моль/см³). Як зміниться концентрація речовини за час t₁=0 до t₂ =5 c?

Розв’язання

Задача розв’язується методом безпосереднього інтегрування. Оскільки v(t)=C ' (t) ,то C(t) – концентрація речовини і первісна для v(t), тому

(моль/м³). Тобто, якщо використати таку концентровану речовину, яка б змогла знешкодити цей острів, то це можна було б здійснити за декілька років.

УЧЕНЬ 11: А мені б хотілося показати вам, що інтеграл можна застосовувати і для обчислення площі квітки. Ось вам завдання:

Знайти площу пелюстки ромашки, яка розміщена між дугами парабол у=х² та у= .

Дана фігура обмежена графіками двох функцій: у=х² та у= . Шукана площа за допомогою інтеграла обчислюється так:

S = = = – = (кв. од.)

Відповідь. кв. од.

А ще мене зацікавило питання: а чи зможу я обчислити об’єм тіла, утвореного в результаті обертання моєї пелюстки?

Застосовуємо формулу V= , маємо:

_V =

₌ ( ) = ( куб. од.)

Вчитель: Отже, дівчата показали нам, що застосовувати інтеграли можна не тільки з математичної точки зору, а, навіть, з хімічної та біологічної. Але мені цікаво чому мовчить 2 парта?

УЧЕНЬ 12: Я ось слухаю своїх однокласників і думаю про те, що хочу мати гарну родину, великий будинок. Але знання про інтеграл, я впевнена, мені теж знадобляться. Ось послухайте…

УЧЕНЬ 13: Я згодна з Вікою, знання з математики необхідні і домогосподарці. Пропоную вам обчислити

УЧЕНЬ 14: А я дуже полюбляю акваріумних рибок. Але досить часто доводиться міняти воду, і тому мене зацікавила така задача… Акваріум має форму прямокутного паралелепіпеда. Знайти силу тиску води (густина води 1000 кг/м³), яка наповнює акваріум, на одну з його вертикальних стінок, розміри якої 0,4 х 0,7 м.

Розв’язання. Візьмемо систему координат так, щоб осі Оу і Ох відповідно містила верхню основу і бічну сторону вертикальної стіни акваріума. Щоб знайти силу тиску, скористаємось формулою

Стінка має форму прямокутника, тому . Оскільки межі інтегрування a=0 i b=0,4, то дістанемо

.

Враховуючи, що м/с² , маємо

V. Підсумок уроку

Отже, сьогодні на уроці ви переконалися в тому, наскільки багатогранним є застосування визначеного інтеграла, а математичні теорії є надійним знаряддям в розкритті таємниць природи, законів економічних, хімічних, біологічних та інших процесів. Для розв’язування цілого ряду задач математики було створено багато спеціальних варіацій поняття інтеграла таких як: кратні, криволінійні, поверхневі інтеграли і т.і. З ними ви ознайомитесь в курсі вищої математики. А зараз на закінчення я пропоную вам відгадати кросворд:

Запитання до кросворда.

1. Першу букву якого слова нагадує знак інтеграла?(Сума)

2. Хто з відомих математиків-фізиків дослідив фізичний зміст інтеграла?(Ньютон)

3. Хто з відомих математиків дослідив геометричний зміст інтеграла? (Лейбніц)

4. Як називається трапеція, площу якої ми знаходимо за допомогою визначеного інтеграла?(криволінійна)

5. Як називається функція, яка стоїть під знаком інтеграла?(підінтегральна)

6. Як називається множник dx у підінтегральному виразі?(диференціал)

7. Як називається операція обернена до операції диференціювання? (інтегрування)

Закінчити наш урок мені хотілося б словами:

Математика - кібернетика,

Математика - кораблі,

Математика - мова техніки,

Математика – рух Землі.

Математика – філологія,

Математика – зореліт,

Математика – мова Всесвіту,

Математика – це політ.

Математика – літочислення.

Математика – майбуття.

Математика – мова числення.

Математика – сприйняття.

Математика – око хімії.

Математика – відкриття,

Математика – мова істини,

Математика – це життя.

Дякую вам за урок. Бажаю всім успіхів і гарного настрою!

Шановні одинадцятикласники, здайте мені листи оцінки проекту.

VІ. Домашнє завдання: продовжувати опрацьовувати матеріали НМТ

Додаток 1

ЛИСТ ОЦІНКИ ПРОЕКТУ

ЛИСТ ОЦІНКИ ПРОЕКТУ

ЛИСТ ОЦІНКИ ПРОЕКТУ

ЛИСТ ОЦІНКИ ПРОЕКТУ

ЛИСТ ОЦІНКИ ПРОЕКТУ

ЛИСТ ОЦІНКИ ПРОЕКТУ