Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь.

Розв’язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь. Урок 22.05.2026

Відео пояснення матеріалу для розміщення в клас румі:https://www.youtube.com/watch?v=xc-7q6 E2hx8

Побудувати математичну модель задачі:

Задача. Сума двох чисел дорівнює 108. Одне число більше від іншого на 7,4. Знайдіть ці числа. Розв’язання Нехай х – перше число , а у – друге число Оскільки сума двох чисел дорівнює 108, то одержимо рівняння: х + у=108. На основі другої частини умови задачі одержимо таке рівняння: х – у=7,4. Маємо систему: х + у=108, х – у =7,4; 2х = 115,4 , х + у=108; х=57,7, 57,7 + у =108, х=57,7, у=50,3. Отже, перше число 57,7 , а друге - 50,3. Відповідь: 57,7; 50,3.

Позначити невідомі величини буквами (наприклад, х і у) ;2) За умовою задачі скласти систему рівнянь;3)Розв’язати отриману систему (будь-яким зручним способом);4) Проаналізувати знайдені значення змінних відповідно до умови задачі;5) Дати відповідь на запитання задачі. Алгоритм розв'язання задач за допомогою системи рівнянь

Сума двох чисел дорівнює 108. Одне число більше від іншого на 7,4. Знайдіть ці числа. Розв’язання Нехай х – перше число , а у – друге число Оскільки сума двох чисел дорівнює 108, то одержимо рівняння: х + у=108. Оскільки одне число більше від другого на 7,4, то одержимо таке рівняння: х – у=7,4. Маємо систему: х + у = 108, х – у =7,4. 2х = 115,4 ; х = 57,7.х + у = 108; 57,7 + у = 108, у=50,3. Відповідь: 57,7; 50,3 + Задача

№1245 У легкоатлетичній секцій тренується 32 спортсмени, причому дівчат на 4 більше, ніж хлопців. Скільки хлопців та дівчат тренується в цій секції?Розв’язування. Нехай х – кількість дівчат, а у – кількість хлопців. Тоді,

№1245 У легкоатлетичній секцій тренується 32 спортсмени, причому дівчат на 4 більше, ніж хлопців. Скільки хлопців та дівчат тренується в цій секції?Розв’язування. Нехай х – кількість дівчат, а у – кількість хлопців. Тоді,𝒙+𝒚=𝟑𝟐,𝒙−𝒚=𝟒;   у=32−𝑥, 𝑥−(32−𝑥)=4;  Відповідь: 14 хлопців та 18 дівчат.

. Задача . Вкладник поклав у банк 1400 грн на два різних рахунки. За першим із них банк виплачує 4 % річних, а за другим — 6 % річних. Через рік вкладник одержав 68 грн відсоткових грошей. Скільки гривень він поклав на кожний рахунок?Нехай вкладник поклав у банк на перший рахунок х грн., а на другий – у грн. Розв’язання

. Задача . Вкладник поклав у банк 1400 грн на два різних рахунки. За першим із них банк виплачує 4 % річних, а за другим — 6 % річних. Через рік вкладник одержав 68 грн відсоткових грошей. Скільки гривень він поклав на кожний рахунок?Нехай вкладник поклав у банк на перший рахунок х грн., а на другий – у грн. х + у = 1400, 0,04х + 0,06у = 68; х + у = 1400, 4х + 6у = 6800; х + у = 1400, 2х + 3у = 3400; – 2х – 2у = – 2800, 2х + 3у = 3400; Відповідь: 800 грн; 600 грн. + у = 600; х = 1400 – 600 = 800 Розв’язання

Нехай ціна зошита х грн., а олівця – у грн.

Нехай ціна зошита х грн., а олівця – у грн. За 1 олівець заплатили х грн., а за 3 зошити – 3у грн. Разом за них заплатили 32 грн.: х + 3у = 32 За 3 олівці заплатили 3х грн., а за 1 зошит – у грн. Разом за них заплатили 24 грн.: 3х + у = 24

Нехай в касі залишилося х монет по 0,5 грн., і по 1 грн. – у монет. Разом в касі було 12 монет : х + у = 12 Монет по 0,5 грн. було на суму 0,5∙ х грн., і по 1 грн. – на 1· у грн. Всього на 8 грн. Разом на суму : 0,5х + у = 8

Нехай ціна футольного м’яча х грн., а одного волейбольного м’яча – у грн, тоді:

Нехай ціна футольного м’яча х грн., а одного волейбольного м’яча – у грн, тоді за 3 футольні м’яча і 2 волейбольні м’яча заплатили Тоді : 3х +2у =1088 Два волейбольні м’яча дорожчі за 1 футольні м’яч на 192 грн. Тоді: 2у - х - = 192 Складаємо систему:

Нехай х (км/год) – власна швидкість човна, у (км/год) – швидкість течії. Тоді швидкість човнах за течією - (х + y) км/год, а проти течії - (х – у) км/год. 3(х + у) + 2(х - у) = 92, 9(х + у) = 5 · 2х;  3х + 3у + 2х - 2у = 92, 9х + 9у = 10х; 5х + у = 92, 9у = х; 5· 9у + у = 92,  х = 9у; 46у = 92, х = 9у; у = 2, х = 9 · 2;  у = 2, х = 18. Відповідь: власна швидкість човна 18 км/год, швидкість течії 2 км/год.

Нехай х (км/год) – власна швидкість човна, у (км/год) – швидкість течії. Тоді швидкість човнах за течією - (х + y) км/год, а проти течії - (х – у) км/год.

У спортивному залі є легкі гирі масою х кг кожна і важкі гирі масою у кг кожна. Бодібілдер Борис Качок зауважив, що 2 легкі гирі та 3 важкі гирі разом мають масу 65 кг, а 3 легкі гирі та 4 важкі гирі разом мають масу 90 кг. Знайдіть х і у. Розв’язання 2х+3у=65, 3х+4у=90; 6х+9у=195, -6х-8у=-180; у=15, 2х+3у=65; Отже, маса легкої гирі 10 кг, а важкої - 15 кг. Відповідь: 10 кг, 15 кг. Задачаˣ 3ˣ(-2)у=15,2х+3·15=65;у=15,2х+45=65;у=15,2х=20;у=15,х=10.

За 6 наборів олівців і 5 циркулів заплатили 144 грн. Скільки коштує набір олівців і скільки — циркуль, якщо 3 набори олівців дорожчі за один циркуль на 30 грн?Розв’язання. Задача

За 6 наборів олівців і 5 циркулів заплатили 144 грн. Скільки коштує набір олівців і скільки — циркуль, якщо 3 набори олівців дорожчі за один циркуль на 30 грн?Нехай ціна одного набору олівців х грн., а одного циркуля – у грн, тоді за 6 наборів олівців і 5 циркулів заплатили 6х +5у =144 (грн). Три набори олівців дорожчі за 1 циркуль на 3х - у = 30 (грн). Складаємо систему:6х +5у =144, 3х - у = 30; 6х +5у =144, 15х - 5у = 150. 5 + 21х = 294, х = 14, 3х - у = 30; 3 14 - у = 30; у = 12. Відповідь: набір олівців коштує 14 грн., а циркуль – 12 грн. Задача

Задача. Із села до станції вийшов пішохід. Через 30 хв із цього села до станції виїхав велосипедист, який наздогнав пішохода через 10 хв після виїзду. Знайдіть швидкість кожного з них, якщо за 3 год пішохід проходить на 4 км більше, ніж велосипедист проїжджає за півгодини. Нехай х (км/год) – швидкість пішохода, у (км/год) – швидкість велосипедиста. 3х− 12𝑦 = 4,  16𝑦= 12х + 16х; 6х− 𝑦 = 8, 𝑦= 3х + х; 6х− 𝑦 = 8, 𝑦= 4х; 6х−4х = 8, 𝑦= 4х; 2х = 8, 𝑦= 4х; х = 4, 𝑦= 16.  Відповідь: швидкість пішохода 4 км/год, швидкість велосипедиста 16 км/год. Розв’язання

Задача. У двох бідонах було молоко. Якщо з першого бідона перелити в другий 10 л молока, то в обох бідонах молока стане порівну. Якщо з другого бідона перелити в перший 20 л молока, то в першому стане у 2,5 раза більше молока, ніж у другому. Скільки літрів молока було в кожному бідоні?х – 10 = у + 10, х + 20 = 2,5(у – 20); Нехай в I бідоні було х л молока, а в II бідоні – у л молока. Відповідь: в I бідоні було 80 л молока, а в II бідоні – 60 л молоках – у = 20, х – 2,5у = – 70; х – у = 20, - х + 2,5у = 70; х – у = 20, 1,5у = 90; у = 60. х = 80, Розв’язання

Задача. Син 6 років тому був у 4 рази молодший від батька, а через 12 років він буде молодшим від батька у 2 рази. Скільки років батькові та скільки — синові?Нехай батькові х років, а синові у років. х – 6 = 4(у – 6), х + 12 = 2(у +12); х – 4у = – 18, х – 2у = 12; Відповідь: батькові 42 роки, а синові 15 роківх = 4у– 18, 4у – 18 – 2у = 12; х = 4у– 18, 2у = 30; у = 15. х = 60– 18, х = 45, у = 15. Розв’язання

Задача. Дві майстерні мали пошити 75 костюмів. Коли перша майстерня виконала 60 % замовлення, а друга — 50 %, то виявилося, що перша майстерня пошила на 12 костюмів більше, ніж друга. Скільки костюмів мала пошити кожна майстерня?х + у = 75, 0,6х – 0,5у = 12; х + у = 75, 6х – 5у = 120; 5х + 5у = 375, 6х – 5у = 120; Відповідь: перша майстерня мала пошити 45 костюмів, друга – 30 костюмів. Нехай перша майстерня мала пошити х костюмів, а друга – у костюмів. 5х + 5у + 6х – 5у = 375 + 120, 6х – 5у = 120; 11х = 495 , 6х – 5у = 120; х = 45 , 270 – 5у = 120; х = 45 , у = 30. Розв’язання