Задачі на зважування

Розв'язування таких задач сприяє розвитку математичної інтуїції, стимулює допитливість учнів, виробляє вміння застосовувати свої знання на практиці. Послідовні, правильні логічні міркування сприяють вихованню алгоритмічної культури, розвитку логічного мислення, математичних здібностей, інтелекту учнів. Відомо, що важливим фактором успішної роботи над задачею є впевненість учня в тому, що він зможе її розв'язати. Інтерес до задачі, бажання в ній розібратися і впевненість в тому, що вона йому «по силах», є необхідними передумовами успішного розв'язання задачі.

      Задача 1.  Є десять стовпчиків однакових на вигляд        монет,     по     10     у

кожному стовпчику. Відомо, що   кожна монета має масу з точністю до грама. Один стовпчик складається із однакових за масою фальшивих монет, кожна із яких відрізняється на  1 г від справжніх монет. Як, за допомогою одного лише зважування, виявити стовпчик з фальшивими монетами і дізнатися важчі чи легші вони від

справжніх?

Розв’язання

Покладемо на терези із 1-го стовпця 1 монету, з 2-го – 2 монети, з 3-го – 3 монети  і т.д.,  із 10- го - 10 монет, всього 55 монет. Якби всі монети були справжні, то вага монет була б числом, кратним 55, тобто дорівнювала 55 г. Якщо б результат зважування виявився більшим 55 г, наприклад на 5г, то фальшиві монети важчі справжніх, і знаходяться в стовпці з номером 5, якщо вага менша 55 к, наприклад, на 8 г, то фальшиві монети легші справжніх і лежать у стовпці з номером 8.

Задача 2^. У 10 мішках знаходяться монети, причому в 9 мішках - справжні, а в одному - фальшиві. Маса справжніх монет 10г, фальшивих – 11г. Як за одне зважування виявити мішок з фальшивими монетами?

Розв’язання

 Пронумеруємо мішки числами від 1 до 10. З першого візьмемо 1 монету, з другого - дві, з

третього - три монети і так далі. Знайдемо масу всіх відібраних монет. Якби всі монети були справжні, то маса була б 10+20+30+...+100=550 г. Але маса виявиться більшою: від неї віднімемо 550г і розділимо результат на 10.

Отримаємо номер мішка з фальшивими монетами.

 Задача 3. В коробці лежить 242 діаманти, один із діамантів природного  походження, інші — його копії, виготовлені   в лабораторії (штучні).  

Маси штучних  діамантів однакові,  маса природного дещо менша. Придумайте систему дій для виділення природного діаманту за  допомогою п’яти зважувань  на шалькових терезах без гир. 

Розв’язання

Кладемо на шальки терезів  по 81 діамантів, в коробці залишиться 80 діамантів. Це зважування виділить групу з 81 чи  80 діамантів. Другого  разу на шальки терезів кладемо по 27 діамантів із групи виділених. Це зважування виділить 27 або 26 діамантів. Третього разу на шальки терезів кладемо по 9 діамантів із групи виділених. Так виділяємо 9 або 8 діамантів. Четвертого разу на шальки терезів кладемо по 3 діаманти і виділяється 3 або 2 діаманти.

Нарешті,  п’ятого разу кладемо на шальки терезів  по одному діаманту і дізнаємося, який із  них природній.

Задача 4. На столі лежить десять пронумерованих капелюхів. У кожному капелюсі лежить по десять золотих монет. В одному з капелюхів фальшиві монети. Справжня монета важить 10 грамів, а підроблена тільки 9. У допомогу надані ваги зі шкалою в грамах. Як визначити в якому з капелюхів знаходяться фальшиві монети, використовуючи ваги тільки для одного зважування? Ваги можуть зважувати не більше 750 грам.

Розв’язання

З першого капелюха беремо одну монету, з другого дві, з третього три й т.д., кладемо всі ці монети на ваги.

           Якби      всі      монети      були      справжніми,      то      вага      була      б:

10*(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10). Разом: 550 грам. Але кілька монет є фальшивими, а скільки - легко довідатись. Досить із 550 відняти ту вагу, що ми одержали і ми побачимо «погрішність», рівну кількості фальшивих монет. Кількість монет вкаже на капелюх.

Задачі для самостійного розв'язування

1. Є 6 монет, одна з яких фальшива.  Як двома   зважуваннями  визначити фальшиву монету? 

2.У 10 мішках знаходяться монети, причому в 9 мішках - справжні, а в одному - фальшиві. Маса справжніх монет 10г, фальшивих – 9 г. Як за одне зважування виявити мішок з фальшивими монетами?

3. Із 12 монет одна фальшива. Вона має масу, відмінну від маси справжньої монети (але невідомо — легша чи важча). Необхідно  трьома  зважуваннями визначити фальшиву монету.