Великокаленицька ЗОШ І-ІІІ ступенів

Відділ освіти, молоді та спорту Полонської міської ради об’єднаної територіальної громади

 

 

 

 

 

 

Цікавинки

на уроках математики

 

5-11 класи

 

 

вчитель математики

Лобай Галина Адамівна

 

 

 

 

 

 

2018

 

 

Нині дуже часто дискутується проблема здорового суспільства. А воно, безперечно, неможливе без здорової, сильної, неординарної особистості, справжнього інтелігента – розумом розвиненої людини, підготовленої до сприймання та розуміння всіх поставлених життям питань.

Формування особистості – цілісний, поступальний процес, який виражається у залученні її до соціального досвіду, у засвоєнні нею вже існуючих у суспільстві форм і видів діяльності. Розвинена і сформована особистість – це активний творець свого життя.

Зв’язок особи і суспільства завжди досить тісний. Особистість формується суспільством, а людина, закони суспільства, діючи активно і цілеспрямовано, може перетворювати його і саму себе.

Однією з найнеобхідніших умов виховання людини відкритого суспільства є розвиток її унікальності та індивідуальності.

Реалізація цього неможлива без правильної мотивації навчання та розвитку інтересу до нього.

Значний інтерес до вивчення математики дає деякий додатковий, не викладений у стабільних підручниках матеріал, який дещо пожвавлює виучуваний матеріал, робить його цікавішим. Матеріал “Елементи цікавої математики на уроках математики” охоплює історичні довідки, оскільки постійні екскурси в галузь історії науки, сприяють підвищенню загальної культури учнів, дуже пожвавлюють виклад матеріалу.

Ніколи математика не була ще такою неосяжною і такою потрібною людям наукою, як сьогодні. А якою вона буде завтра? Можна напевно сказати, що завтра вона стане ще могутнішою, ще більш потрібною людям, ніж сьогодні.

В п’ятому класі починається вивчення математики з теми “Натуральні числа і дії над ними”. Початкові знання з цієї теми люди мали вже кілька тисячоліть тому. Потреба в них виникла з практичної діяльності людини: треба  було лічити предмети, виконувати найпростіші вимірювання.

Слід зауважити, що в стародавній Греції вважали, що числа створили боги, а тому вони мають начебто магічну силу. Церковники пізніших часів всіляко підтримували таку думку, надаючи числам містичного характеру. З давніх часів і по сьогодні вважали, що 13 – нещасливе число. Згодом його вважали чортовою дюжиною.

Віра в те, що з числом 13 пов’язані неприємності, життєві невдачі поширена в багатьох країнах.

Наприклад, у 1930 році в Лондоні кілька тисяч чоловік підписали петицію з вимогою зняти з будинків усі тринадцяті номери. Французький журнал “Я’Експрес” розповідає, що деякі високопоставлені державні чиновники США та інших країн ніколи не входять до кімнати з номером 13.

Число 12 у стародавньому Вавілоні вважалося “священним”, тому що це число має багато дільників (2; 3, 4, 6, 1 і 12), ним зручно користуватись при вимірюванні. Звідси й поділ року на 12 місяців, доби – на 24 години (двічі по 12), години – на 60 хвилин (п’ять раз по 12) і т.д.

Чисел існує безліч. Яке б велике число ми не назвали, додавши до нього лише одиницю і матимемо, ще більше число. Космонавт Г.С. Титов, зробивши 17 обертів навколо Землі, пролетів відстань майже в 1 млн. км, що значно перевищує довжину шляху від Землі до Місяця і назад. Але мільйон можна назвати карликом порівняно з таким числовим велетнем, як мільярд. Якщо почати лічити підряд до мільярда – 10-річним хлопчиком, працюючи по 9 годин на добу, то закінчиш лічбу людиною похилого віку. А те, що організм людини дорослої складається приблизно з 20 тисяч мільярдів клітин, навіть важко собі уявити.

Хвилина – це зовсім малий проміжок часу, а мільярд хвилин – це більш як 19 століть.

Секунда порівняно з годиною нам здається миттю. А мільярд секунд – це близько 32 років.

Вправа.

Скільки потрібно часу, щоб прочитати книжки, які разом становлять 1 млн. сторінок, якщо на читання кожної сторінки витрачати 6 хв.?

Легко підрахувати, що коли читати щодня по 8 годин і відпочивати тільки в неділю, то, щоб прочитати 1000000 сторінок, потрібно 40 років.

Арифметичні дії.

Потреба в запровадженні спеціальних знаків для виконання дій додавання і відніманні виникла дуже давно. Стародавні єгиптяни як знак додавання застосовували малюнок двох ніг, що рухалися вперед, а як знак віднімання малюнок двох ніг, що рухалися назад .

Сучасні знаки +, - здобули загальне визнання на початку ХVІІ століття. Крапку, як знак множення і двокрапку, як знак ділення запропонував німецький математики Г.Лейбніц у ХVІІ ст.

Числа прості і складені.

Прості числа привертали увагу математиків з давніх часів. Адже кожне число є або просте, або становить добуток простих чисел.

Виникло природне запитання: а чи існує найбільше просте число? На це дав відповідь старогрецький математик Евклід, який довів у своїй праці “Начала”, що за кожним простим числом іде ще більше просте число. Тобто існує нескінченна множина простих чисел.

Спосіб знаходження простих чисел, які не перевищують даного натурального числа, винайшов понад 2 тисячі років тому старогрецький учений Ератосфен. (близько 276-194 рр. до н.е.) – один з найосвіченіших людей свого часу. (Розповідь про “решето Ератосфена”).

Звичайні дроби.

Відомо, що натуральні числа виникли в результаті практичної діяльності людей, яким треба було лічити тварин, предмети, вимірювати довжини площі, об’єми. Але результат вимірювання не завжди можна позначати натуральним числом, бо внаслідок вимірювань найчастіше дістаємо частини прийнятої площі. Так на основі потреб практики виникло поняття дробу.

В Єгипті з дробами оперували ще 4000 років тому. Про це свідчать стародавні документи, які збереглися з тих часів. Проте загального способу для позначення всіх дробів, як це прийнято тепер, коли чисельник записують зверху, знаменник знизу, а між ними ставлять риску, в єгиптян не було. При виконанні обчислень стародавні єгиптяни застосовували лише так звані одиничні дроби – дроби з чисельником 1 і дріб . Такі дроби єгиптяни зображали, ставлячи крапку над знаменником. Усі інші дроби вони зводили до одиничних. Наприклад, дріб подавали у вигляді суми одиничних дробів і . Для зведення дробів до одиничних було складено спеціальні таблиці.

У стародавній Греції звичайні дроби були відомі. Понад 2,5 тисячі років тому греки вміли виконувати арифметичні дії з звичайними дробами. Вони користувались і одиничними дробами, і дробами загального виду.

У стародавній Русі дроби називали частками, а згодом ламаними числами. Окремі дроби мали спеціальні назви. Наприклад, - треть, - півтреть, - п’ятина, - десятина, тощо.

Запис дробів за допомогою риски став загальноприйнятим з ХVІ ст.

Колись дії із звичайними дробами завдавали людям надзвичайних труднощів.

Англійський чернець Беда, який був ученою людиною свого часу, писав: “ Усвіті є багато речей, але немає нічого важчого, як чотири дії арифметики”.

Тоді ж, мабуть, і виникло німецьке прислів’я “попасти в дроби”, що означало опинитися в скрутному становищі. А причина, звичайно, полягала в тому, що не було встановлено правил виконання дій з дробами, не було створено відповідної теорії.

Варто при діленні дробів звернути увагу на вірш вірменів:

Та ж дріб ділити – легко дуже,

Лиш дільника перевернеш, мій друже,

А потім – як при множенні робить,

І результат готовий в тую ж мить.

Жарт.

Великий російський письменник Л.М. Толстой казав, що людину можна оцінювати дробом, знаменник якого становить те хороше, що вона думає про себе сама, а чисельник – те хороше, що думають про цю людину інші. А як ви вважаєте? Чи правильно це?

Десяткові дроби.

Десяткові дроби, як і звичайні, виникли на основі потреб практики. Розвиток науки і техніки, зростання промисловості, розширення торговельних відносин потребували дедалі складніших обчислень. Тому природно постало питання про спрощення дій з дробами. Так виникло поняття десяткового дробу. Воно народжувалось поступово. Ще в ІІ ст. до н.е. в деяких країнах Азії застосовувалась десяткова система мір довжини, а приблизно в ІІІ ст.н.е. десяткова лічба поширилась на міри ваги і об’єму.

Арифметичні дії з десятковими дробами набагато простіші, ніж із звичайними, тому ці дроби застосовуються частіше, ніж звичайні.

Відокремлювати цілу частину десяткового дробу від дробової пропонували по-різному. Ал-Кащі цілу і дробову частину писав в один рядок, або записував їх різним чорнилом, або ставив між ними вертикальну риску.

Прийняту в наш час кому запропонував німецький астроном Й.Кеплер (1572-1630 рр.)

Проценти (відсотки)

Ідея подання частин  цілого в одних і тих самих частинах застосовувалася ще в стародавньому Вавілоні, де були поширені шістдесяткові дроби.

Досить довго під процентами розуміли прибуток і збиток на кожні 100 крб. і застосовували їх лише при грошових розрахунках. Згодом проценти почали застосовувати в господарських розрахунках, на промислових підприємствах. У наш час проценти застосовуються душе широко.

Записи чисел у вигляді відсотків надзвичайно показові; вони дають наочне уявлення про розглядувану величину.

Раціональні числа.

Коли буде введено правила дій з раціональними числами, корисно навести учням цікаві міркування, якими керувалися арабські вчені, роблячи свої висновки: “плюс на плюс дає плюс” – “Друг мого друга мій друг”, “мінус на мінус дає плюс” – ворог мого ворога – мій ворог”, “мінус на плюс дає мінус” – “ворог мого друга – мій ворог”, “плюс на мінус дає мінус”, - “друг мого ворога мій ворог”.

Слово раціональний походить від латинського ratio – розум, відношення – буквально розумний, пов’язаний з відношенням.

Знак абсолютної величини модуля ІІ ввів у середині ХІХ ст. німецький математик Вейєрштрасс.

Від’ємні числа важко проникали в математику. Німецький математики М.Штіфель називав від’ємні числа “абсурдними”, бо все в них: навпаки: додавання їх зменшує суму, а віднімання збільшує.

Наука геометрія має стародавню історію і виникла на основі потреб практики: вимірювання відстаней, знаходження площ земельних ділянок, місткості посудин, об’ємів різних предметів, споруд тощо.

Документи, які збереглися з стародавніх часів, свідчать, що геометрія зародилася ще в стародавньому Єгипті понад 4000 років тому. Населення стародавнього Єгипту в основному займалось землеробством, але родючої землі було дуже мало – тільки в долині р. Нілу, а далі йшли безкраї пустелі. Ця вузька смуга землі вздовж р. Нілу і становила по суті територію стародавнього Єгипту. Розливи р. Нілу завдавали єгиптянам багато роботи.

Для поновлення меж ділянок і визначення нових треба було виконувати вимірювальні роботи, будувати на місцевості лінії, кути, фігури, треба було вміти обчислювати площі.

У стародавньому Вавілоні так само доводилося відновлювати межі ділянок після розливу двічі на рік річок Тигр і Євфрат.

Відомості в геометрії потрібні були не лише для вимірювання землі, а й для потреб архітектури. Будівництво стародавніх споруд, зокрема єгипетських пірамід, потребувало досить глибоких знань з геометрії.

Уміння обчислювати площі, об’єми, розв’язувати інші математичні задачі потрібні були для будівництва жител, виготовлення знарядь праці, меблів, посуду.

Як свідчать документи, що дійшли до нас вже за 2000 років до н.е. люди вміли визначати площі трикутників, прямокутників, трапецій, досить точно визначати площу круга.

Так поступово в процесі трудової діяльності людини нагромаджувались геометричні знання, які стали основою для створення геометрії як науки.

Стародавні греки, які вели з єгиптянами жваву торгівлю, запозичили в них набуті ними знання з геометрії, доповнили їх, звели в систему і обґрунтували.

Першими грецькими математиками, про творчість яких до нас дійшли відомості, були Фалес Мілетський, Піфагор і його учні.

Дуже багато для створення геометрії як науки зробив грецький математик Євклід, який жив у 3 столітті до н.е. Він звів набуті на той час геометричні знання в структур систему і виклав їх у тринадцяти книгах, які назвав “Начала”. За зразком “Начал” Евкліда складені шкільні підручники з геометрії.

Коло.

Це одна з найважливіших геометричних фігур, найпростіша з кривих ліній. Колову форму люди з давніх-давен спостерігали в природі: форму кола має обрис Сонця, повного Місяця, коли в спокійну воду кинути камінь, то хвилі, поширюючись від точки падіння, набувають форми кіл, колову форму має перпендикулярний переріз стовбура дерева. Стародавні люди намагалися надавати посудинам, житлам форми, в основі якої лежав круг.

Цікаво, що людина з зав’язаними очима не може йти по прямій лінії. Вона обов’язково зіб’ється з прямого шляху на коловий. Є багато прикладів, коли люди, які заблудилися, поверталися у вихідне місце. Те саме спостерігається і в тварин. Собака з зав’язаними очима плаває по колу. Зацькований звір, що втратив від страху свідомість, рятуючись від переслідування. Біжить по колу. Цікаво, що, як свідчать зоологи, пуголовки, медузи, краби взагалі рухаються по колах.

Багато предметів, які нас оточують, мають відомі нам геометричні форми. Стіни, стеля, підлога – площини. Перетинаються вони по прямих. Форму паралелепіпеда має багато меблів, таку саму форму мають будинки. У шафі для посуду знаходимо склянку у формі прямої многокутної призми, чашку у формі циліндра.

Різні геометричні форми створено не тільки людиною, а й самою природою: кристали мають форму многогранників; форму, близьку до кульової, мають планети. У пам’ятках стародавньої архітектури Вавілону, Єгипту знаходимо такі геометричні фігури, як куб, призма. Цілком зрозуміло, що стародавні будівельники повинні були знати найпростіші властивості цих тіл, вміти знаходити їх об’єми.

У стародавньому Єгипті було споруджено славнозвісні єгипетські піраміди. Тіла пірамідальної форми досить поширені, зокрема в архітектурі.

Форму правильних восьмикутних пірамід мають гострокінцеві дахи на баштах Московського Кремля, що чудово його прикрашають. Частина даху Набатної башти має форму правильної зрізаної чотирикутної піраміди.

Дахи пірамідальної форми часто прикрашають різні кіоски, альтанки, “грибочки” на пляжі тощо.

Пам’ятник Вічної Слави, який споруджено в м. Києві, в парку на схилах Дніпра, - це обеліск, верхня частина  якого має форму правильної чотирикутної піраміди, а нижня – правильно зрізаної чотирикутної піраміди.

Форму правильної шестикутної піраміди (повної і зрізаної) часто мають бетонні стовпчики, які ставлять уздовж проїзної частини шляху в небезпечних для транспорту місцях – на поворотах з крутими схилами. Поблизу ярів.

Не можна не згадати також про найдивніші споруди – так звані єгипетські піраміди.

Це гробниці фараонів (єгипетських царів). Найбільші дві єгипетські піраміди – це піраміда Хеопса, що має висоту 146 м. (вона вища від сорокаповерхового будинку) а периметр основи – близько 1 км, і піраміда Хефрена (сина Хеопса), висота якої становить 143 м. Їх було споруджено в третьому тисячолітті до н.е.

Грані пірамід дуже точно орієнтовані по сторонах світу. Цікаво, що висота піраміди Хеопса, яку будували 30 років, становить 0,000000001 частини відстані від Землі до Місяця. Вона має ще ряд цікавих особливостей.

Наприклад, якщо довжину обводу основи піраміди поділити на її подвоєну висоту, то вийде 3,14159 – число П з великою точністю.