Дидактичні матеріали з алгебри для 7 класу "Лінійне рівняння з параметрами"

 

Лінійне рівняння з параметрами

Якщо в рівнянні буква х – змінна, а буква а – деяке число, то це рівняння з параметром а.

Щоб розв’язати таке рівняння, потрібно розглянути такі випадки:

1. При , ;
2. При , .

Відповідь:  якщо , х – будь-яке число;

   якщо  , .

Лінійні рівняння з параметрами можна розв’язувати так само, як звичайні лінійні рівняння, тільки до тих пір, поки кожне перетворення можна виконати однозначно. Якщо ж якесь перетворення не можна виконати однозначно, то розв’язання потрібно розбити на декілька випадків і кожний випадок пояснити.

 

Схема дослідження лінійного рівняння

Схему розв’язків лінійного рівняння виду можна представити у вигляді сукупності трьох систем:

    (1)

   (2)

   (3)

Схему розв’язків лінійного параметричного рівняння можна представити у вигляді сукупності трьох систем:

    (1)

   (2)

   (3)

Приклади розв’язання лінійних рівнянь з параметрами.

Приклад 1.

 Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

,

.

 Якщо , то ;

 якщо , то , х – будь-яке число.

Відповідь:  якщо , ;

     якщо  , х – будь-яке число.

 

Приклад 2.

 Розв’язати рівняння

Розв’язання.

,

.

 Якщо , то ;

 Якщо , то , х – будь-яке число.

Відповідь:  якщо  , ;

   якщо , х – будь-яке число.

Приклад 3.

 Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

,

.

 Якщо , то .

Якщо , то , рівняння розв’язків не має.

Відповідь:  якщо , ;

   Якщо  , розв’язків немає.

Приклад 4.

 Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

,

.

Якщо , тобто , то .

Якщо , тобто , то рівняння розв’язків не має.

Відповідь:  якщо, ;

   Якщо  , розв’язків немає.

Приклад 5.

Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

,

.

Якщо , то х – будь-яке число.

Якщо , то рівняння розв’язків немає.

Відповідь:  якщо , х – будь-яке число;

   якщо , рівняння розв’язків не має.

 

Приклад 6.

При якому значенні параметра а рівняння має безліч розв’язків?

Розв’язання.

Застосовуючи схему дослідження лінійного параметричного рівняння, одержимо таку систему:

  

Звідси маємо .

Відповідь:  якщо  рівняння має безліч розв’язків.

Приклад 7.

При якому значенні параметра а рівняння не має розв’язку?

Розв’язання.

Рівняння не має розв’язку, якщо

Звідки

Відповідь:  .

Приклад 8.

При яких значеннях параметра а рівняння має від’ємні розв’язки?

Розв’язання.

Зведемо рівняння до загального вигляду. Отримаємо:

,

,

,

.

За умовою , то , звідки .

Відповідь: .

Приклад 9.

Визначити, при яких значеннях параметра а корені рівняння кратні 5.

Розв’язання.

Зведемо рівняння до загального виду. Отримаємо:

,

,

.

Якщо , то рівняння має розв’язок: .

За умовою, корені рівняння кратні 5, тобто

, де , .

Звідси , , де , .

Відповідь: , де , ,

Приклад 10.

Розв’язати рівняння: .

Розв’язання.

,

,

.

Якщо , b – будь-яке число, то .

Якщо , b – будь-яке число, то рівняння має безліч розв’язків.

Відповідь:  якщо , , то ;

   якщо , , то рівняння має безліч розв’язків.

Приклад 11.

Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

При і дане рівняння не існує, а тому розв’язків також немає. Всі інші значення а утворюють область допустимих значень параметра а: .

Після певних перетворень маємо:

Якщо , тобто і , то .

Якщо , то , . Рівняння розв’язків немає.

Якщо , то рівняння матиме вигляд , а таке рівняння має безліч розв’язків.

Відповідь:  якщо , то ;

   якщо , то розв’язків немає;

   якщо , то .

Приклад 12.

Розв’язати рівняння:

 

.

Розв’язання.

ОДЗ: .

Маємо:

,

,

Якщо , тобто , то .

Якщо , тобто , то і рівняння не має розв’язків.

Оскільки , то знайдемо ті а, при яких рівняння матиме корінь . Ці значення а треба виключити.

,

.

Відповідь:  якщо , то ;

   якщо , то розв’язків немає.

Приклад 13.

При яких значення параметра а число є коренем рівняння .

Розв’язання.

Підставимо у рівняння замість х число і розв’яжемо його відносно а.

.

Відповідь: .

 

Приклад 14.

Дано рівняння .

1. Розв’язати рівняння при .
2. Знайти значення параметра а, при яких число є коренем рівняння.
3. Розв’язати рівняння відносно х.
4. При яких значеннях а рівняння має невід’ємний корінь?

Розв’язання.

1. Якщо , то рівняння набуде вигляду:

,

,

,

.

2. Число буде коренем рівняння, якщо при підстановці його в рівняння отримаємо правильну рівність. Отже, маємо:

ОДЗ:

,

,

,

,

; .

3. ,

, 

,

,

.

Якщо і , то ;

якщо або , то рівняння розв’язків не має;

якщо , то рівняння має безліч розв’язків.

4. Корінь рівняння є невід’ємним, якщо .

.

Слід врахувати, що при , рівняння не має розв’язків, а при - безліч розв’язків. Ці числа виключаємо із числового проміжку.

Отже, .

Відповідь:

 1. ;

 2. ; ;

 3.  якщо , то ;

  якщо , то рівняння розв’язків не має;

  якщо , то рівняння має безліч розв’язків;

 4. .

 

Тренувальні вправи.

Розв’язати рівняння

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. .

8. При якому значенні параметра а рівняння не має розв’язку?

9. При якому значенні параметра а рівняння має безліч розв’язків?

10. Визначити, при яких значеннях параметра а рівняння має додатні розв’язки?

11. При яких значеннях параметра а число є коренем рівняння .

12. Знайти всі дійсні значення параметра а, при яких рівняння має корінь, що задовольняє умові .

13. При яких значення параметра а рівняння має від’ємний корінь?