КІНЕМАТИКА. Прямолінійний рівноприскорений рух

МЕХАНІЧНИЙ РУХ. КІНЕМАТИКАПрямолінійний рівноприскорений рух

ПРИСКОРЕННЯЯкщо швидкість тіла під час руху змінюється, виникає питання: якою є «швидкість зміни швидкості»? Ця величина, яку називають прискоренням, відіграє дуже важливу роль у всій механіці: незабаром ми побачимо, що прискорення тіла визначається діючими на це тіло силами. Нехай швидкість тіла в момент часу 𝒕𝟏 дорівнювала 𝒗𝟏 , а в момент часу 𝒕𝟐 стала рівною 𝒗𝟐 . Позначимо зміну швидкості 𝜟𝒗=𝒗𝟐−𝒗𝟏, а проміжок часу 𝜟𝒕=𝒕𝟐−𝒕𝟏 Прискоренням називають відношення зміни швидкості тіла до проміжку часу, за який ця зміна відбулася.𝒂=𝜟𝒗𝜟𝒕 Це визначення середнього прискорення за час 𝜟𝒕. Миттєвим прискоренням називають середне прискорення за дуже малий 𝜟𝒕. 

ПРИСКОРЕННЯЯк випливає з визначення, прискорення — величина векторна. Напрям прискорення збігається з напрямом вектора зміни швидкості 𝜟𝒗. Приклади: Коли автомобіль розганяється, його прискорення напрямлене в той же бік, що і швидкість. Коли автомобіль гальмує, його прискорення напрямлене протилежно швидкості. 

ПРИСКОРЕННЯОдиниця прискорення в SI: 1 м/c2. Якщо тіло рухається в певному напрямі з прискоренням 1 м/c2, його швидкість змінюється щосекунди на 1 м/с. Термін «прискорення» використовують у фізиці, коли мова йде про будь-яку зміну швидкості, у тому числі й тоді, коли модуль швидкості зменшується або коли модуль швидкості залишається незмінним і швидкість змінюється тільки за напрямом.  Прямолінійним рівноприскореним рухом називають прямолінійний рух тіла з постійним прискоренням. Прикладами такого руху є падіння тіл зі стану спокою, якщо можна знехтувати опором повітря, а також рух тіла вздовж похилої площини. ПРЯМОЛІНІЙНИЙ РІВНОПРИСКОРЕНИЙ РУХПрямолінійний рівноприскорений рух називають іноді рівнозмінним. Рух з прискоренням, яке дорівнює нулю, ми будемо розглядати як рівномірний прямолінійний рух.

ШВИДКІСТЬ ПРЯМОЛІНІЙНОГО РІВНОПРИСКОРЕНОГО РУХУПід час прямолінійного рівноприскореного руху швидкість тіла за будь-які рівні проміжки часу змінюється на ту ж саму величину. Позначимо 𝒗𝟎 швидкість тіла в початковий момент (при t = 0), а 𝒗 — швидкість тіла в момент часу t. Тоді 𝜟𝒗=𝒗−𝒗𝟎, а 𝜟𝒕=𝒕 тому формула 𝜟𝒗=𝒂𝒕 набуде вигляду 𝒗−𝒗𝟎 = 𝒂𝒕. Звідси випливає: 𝒗=𝒗𝟎+𝒂𝒕 Якщо направити вісь х уздовж прямої, по якій рухається тіло, то в проекціях на вісь х отримаємо: 𝒗𝒙=𝒗𝟎𝒙+𝒂𝒙𝒕 

ШВИДКІСТЬ ПРЯМОЛІНІЙНОГО РІВНОПРИСКОРЕНОГО РУХУТаким чином, за умови прямолінійного рівноприскореного руху проекція швидкості лінійно залежить від часу. Це означає, що графіком залежності 𝒗𝒙(𝒕) є відрізок прямої. На рис. 3.3 наведено графік швидкості автомобіля, що розганяється, а на рис. 3.4 — автомобіля, що гальмує. Для першого автомобіля 𝒗𝟎𝒙 = 10 м/с, 𝑎𝑥=𝑣𝑥−𝑣𝑜𝑥𝑡=5м𝑐2 ,  𝑎𝑥 > 0. Для другого автомобіля 𝒗𝟎𝒙 = 30 м/с, 𝑎𝑥=𝑣𝑥−𝑣𝑜𝑥𝑡=−2м𝑐2 , 𝑎𝑥 < 0. 

ПЕРЕМІЩЕННЯ ТІЛА ПІД ЧАС ПРЯМОЛІНІЙНОГО РІВНОПРИСКОРЕНОГО РУХУНагадаємо спочатку, що за умови рівномірного руху проекція переміщення 𝒗𝒙 чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої графіком 𝒗𝒙(𝒕) і віссю x. Це справедливо і для нерівномірного руху. Увесь час руху можна розбити на такі малі проміжки часу, що протягом кожного з них рух тіла можна вважати практично рівномірним. Схематично це показано на рисунку.  

ПЕРЕМІЩЕННЯ ТІЛА ПІД ЧАС ПРЯМОЛІНІЙНОГО РІВНОПРИСКОРЕНОГО РУХУСкористаємося цим, щоб знайти, як залежить переміщення від часу за умови прямолінійного рівноприскореного руху. Якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю, фігура, обмежена графіком 𝒗𝒙(𝒕) і віссю t, — трикутник площею 𝒂𝒙𝒕𝟐𝟐. Користуючись формулою для площі прямокутного трикутника, отримуємо, що при прямолінійному рівноприскореному русі без початкової швидкості:𝒔𝒙=𝒂𝒙𝒕𝟐𝟐 

ПЕРЕМІЩЕННЯ ТІЛА ПІД ЧАС ПРЯМОЛІНІЙНОГО РІВНОПРИСКОРЕНОГО РУХУЯкщо ж початкова швидкість тіла не дорівнює нулю, то фігура, обмежена графіком 𝒗𝒙(𝒕) і віссю t, є трапецією, що складається з прямокутника площею 𝒗𝒙𝒕 і трикутника площею 𝒂𝒙𝒕𝟐𝟐. Отже, за умови прямолінійного рівноприскореного руху з початковою швидкістю 𝒗𝟎 : 𝑺𝒙=𝒗𝟎𝒙𝒕+𝒂𝒙𝒕𝟐𝟐 Залежність координати від часу. Оскільки 𝒙=𝒙𝟎+𝒔𝒙, отримуємо 𝒙=𝒙𝟎+𝒗𝟎𝒙𝒕+𝒂𝒙𝒕𝟐𝟐 

ПЕРЕМІЩЕННЯ ТІЛА ПІД ЧАС ПРЯМОЛІНІЙНОГО РІВНОПРИСКОРЕНОГО РУХУСередня швидкість під час прямолінійного рівноприскореного руху. Користуючись виведеними вище формулами, легко довести, що 𝒗𝒄𝒙=𝒗𝒐𝒙+𝒗𝒙𝟐 . Це співвідношення спрощує розв’язання багатьох задач.  Співвідношення між переміщенням і швидкістю. Для розв’язування задач, в умові яких не задано часу руху, корисні формули, що пов’язують переміщення з початковою і кінцевою швидкостями. З формул 𝒔𝒙=𝒗𝟎𝒙+𝒗𝒙𝟐𝒕 і 𝒕=𝒗𝒙−𝒗𝟎𝒙𝒂𝒙 отримуємо: 𝑺𝒙=𝒗𝒙𝟐−𝒗𝟎𝒙𝟐𝟐𝒂𝒙 

ШЛЯХИ, ЯКІ ПРОХОДИТЬ ТІЛО ЗА ПОСЛІДОВНІ РІВНІ ПРОМІЖКИ ЧАСУОсновні властивості прямолінійного рівноприскореного руху визначив Ґалілей. Наприклад, він установив таку чудову властивість: за умови прямолінійного рівноприскореного руху без початкової швидкості шляхи, які проходить тіло за послідовні рівні проміжки часу, відносяться як послідовні непарні числа (1:3:5:7...)

ШЛЯХИ, ЯКІ ПРОХОДИТЬ ТІЛО ЗА ПОСЛІДОВНІ РІВНІ ПРОМІЖКИ ЧАСУДоведемо її для трьох перших послідовних проміжків часу (якщо бажаєте, продовжіть доведення самостійно). Скористаємося тим, що шлях чисельно дорівнює площі фігури під графіком залежності модуля швидкості від часу. А шляхи, пройдені за кожний із трьох перших послідовних рівних проміжків часу (для визначеності ми взяли по 1 с кожний), чисельно дорівнюють площам жовтої, зеленої та синьої фігур. Розіб’ємо всі фігури, крім першої, на трикутники, площа кожного з яких дорівнює площі першої фігури. Ця розбивка наочно показує, що шляхи, які проходить тіло за три перші послідовні рівні проміжки часу, відносяться як 1:3:5