Лекція «Добуток різниці і суми двох виразів»

Те, що незрозуміло, потрібно з’ясувати

Конфуцій

Юний друже!

 З лекції  «Добуток різниці і суми двох виразів» ти дізнаєшся про ще одну формулу скороченого множення і навчишся самостійно її використовувати.

Будь уважним/уважною!

 Після засвоєння змісту теми ти:

• матимеш уявлення про альтернативний спосіб помножити многочлен на многочлен в деяких випадках, навчишся використовувати формули при розв’язуванні конкретних математичних задач;
• дослідиш доведення формули;
• зможеш розв’язувати якісні завдання на спрощення виразів, раціоналізувати дії з числами;

• розвинеш самостійність, уважність, логічне мислення, пам’ять, уміння вчитися, впевненість у власних силах;
• навчишся використовувати формули скороченого множення, застосовувати свої знання і вміння для розв’язування прикладних математичних задач у повсякденному житті.

План лекції

1. Добуток різниці і суми двох виразів
2. Застосування формул скороченого множення
3. Для тих, хто бажає дізнатися про ВСЕ

1. Добуток різниці і суми двох виразів.

Юний друже, ти вже вмієш помножити многочлен на многочлен. Виконай множення:

(a-b)(a+b)=

(3x-5y)(3x+5y)=

Досліди, як пов’язані між собою початковий вираз і відповідь.

Спробуй розшукати закономірність.

Пригадай правило множення многочлена на многочлен:

щоб помножити многочлен на многочлен, можна кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого многочлена й отримані добутки додати.

Маємо:

(a-b)(a+b)=а²+ab-ab-b²=а²-b²

(3x-5y)(3x+5y)=(3х)²+3х·5у-3х·5у-(5у)²=(3х)²-(5у)²=9х²-25у²

Зверни увагу! Ти отримав/отримала різницю квадратів тих самих двох виразів.

Отже, маємо тотожність:

Це ще одна формула скороченого множення у твою скарбничку. Тепер при множенні різниці двох виразів на їх суму можна одразу записувати результат — різницю квадратів двох виразів. Таким чином можна не виконувати зайвих обчислень, що зберігає твій дорогоцінний час.

Підсумуємо:

добуток різниці двох виразів та їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів.

2. Застосування формул скороченого множення

Таким чином можна виконувати множення різниці будь-яких двох виразів на їх суму. За допомогою формул скороченого множення виконати цю дію простіше ніж виконувати множення двох многочленів.

Розглянемо декілька прикладів.

Пприклад 1. Подай у вигляді многочленів вирази:

1) (3a+2b)(3a-2b);

2) (2c³-3b⁴)(2c³+3b⁴);

3) (-5ab³c-4d)(5ab³c-4d).

Зауваження! Оскільки маємо справу з добутком, то дужки можуть розташовуватися в будь-якому порядку, але ми дивимося саме на різницю.

Розв’язання:

1) (3a+2b)(3a-2b)=(3a)²-(2b)²=9a²-4b².

2) Трапляється, що ці два вирази вже мають степінь. Тут тобі в пригоді стають властивості степеня. Ти пригадував/пригадувала їх на першому уроці. В твоєму довіднику ці правила також мають бути.

(2c³-3b⁴)(2c³+3b⁴)=(2c³)²-(3b⁴)²=4c⁶-9b⁸.

3) Доданки у сумі також записуються  в будь-якому порядку. Пам’ятай, що доданки також бувають від’ємними.

(-5ab³c-4d)(5ab³c-4d)=(-4d-5ab³c)(-4d+5ab³c)=(-4d)²-(5ab³c)²=16d²-25a²b⁶c².

Приклад 2. Доведи, що значення виразу 0,2(4т-1)(4т+1)+0,8(5+2т)(5-2т) не залежить від т.

Зауваження! Якщо вираз має декілька дій, звертай увагу на їх пріоритетність, на знаки перед дужками або виразами.

В даному випадку можна використати формулу добутку різниці і суми двох виразів. Спочатку застосуй зазначену формулу, а потім перемнож результат на число. Таких “вузликів” у виразі два.

0,2(4т-1)(4т+1)+0,8(5+2т)(5-2т).

Можна опрацьовувати їх одночасно.

Розв’язання:

0,2(4т-1)(4т+1)+0,8(5+2т)(5-2т)=0,2(16т²-1)+0,8(25-4т²)=

3,2т²-0,2+20-3,2т²=19,8.

Протилежні вирази взаємознищуються. Результатом є число, яке не залежить від значення т. Що і треба було довести.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 14х+29=8х(3+2х)-(4х+3)(4х-3).

Зауваження! В лівій частині рівняння бачимо  формулу добутку різниці і суми двох виразів, а перед нею знак мінус. Тому різницю квадратів обов’язково беремо у дужки.

Розв’язання:

14х+29=8х(3+2х)-(4х+3)(4х-3);

14х+29=24х+16х²-(16х²-9);

14х+29=24х+16х²-16х²+9.

Після взаємознищення протилежних виразів можна перенести вирази зі змінними в одну частину, а числа в іншу. В ліву частину рівняння чи праву перенести числа обираєш ти. Як тобі зручніше. Результат від цього не змінюється, бо ліва частина дорівнює правій. Їх у будь-який момент можна поміняти місцями.

29-9=24х-14х;

20=10х;

х=2.

Відповідь: 2.

3. Для тих, хто бажає дізнатися про ВСЕ

“А що, так можна було?”

Деякі числові приклади набагато легше обчислювати з використанням формул скороченого множення. Наприклад:

199·201=(200-1)(200+1)=40000-1=39999

2023²-2022²=(2023-2022)(2023+2022)=1·4045=4045

Шукай і пробуй пізнати цей світ! Ти зможеш!