Математичне моделювання як засіб розв’язування прикладних задач в математиці

Математичне моделювання як засіб розв’язування прикладних задач в математиці

Обґрунтування  актуальності досвіду

У наш час математична наука проникла в усі сфери наукової та практичної діяльності і стала наряду з іншими науками безпосередньо виробничою силою суспільства. Тому в підготовці школярів на рівні сучасних вимог важлива роль відводиться математиці. Об’єктивні труднощі вивчення математики, що  пов’язані зі специфікою предмета, обумовлюють необхідність урахування психологічних закономірностей мислення, індивідуальних особливостей пізнавальної діяльності учнів. Уміння застосовувати отримані математичні знання на практиці є однією з суттєвих завдань політехнічного навчання. Актуальність проблеми практичної активності математичних знань підвищується на сучасному етапі. Крім того, в останній час загальна тенденція зацікавленості в навчанні ставить перед шкільним викладанням серйозні проблеми. За словами К.Д.Ушинського, «вихователь на повинен забувати, що навчання, позбавлене будь-якого інтересу і взяте лише силою примушування... вбиває в учня охоту до навчання, без якого він далеко не піде.» (1).

Успішне застосування отриманих математичних знань на практиці пов’язано з переходом від абстрактних теоретичних знань до практичних дій в умовах практичних ситуацій. Цей перехід можна здійснити за допомогою математичного моделювання. Воно широко застосовується в фізиці, хімії, біології, фізіології, у розкритті механізму психічної діяльності та в пізнанні соціальних явищ. Сьогодні важко назвати область діяльності людини, де не застосовується моделювання. Створені, наприклад, моделі механізмів виробництва і вирощування рослин, функціонування окремих органів людини і наслідків катаклізмів. У перспективі для кожної сфери діяльності людини можуть бути створені свої моделі, перш ніж реалізовувати кожен технічний чи організаційний проект треба проводити моделювання.

Сучасна педагогічна наука розглядає моделювання як засіб розвитку творчих здібностей та наукового осмислення практики, як форму навчання  та контролю знань. Моделювання глибоко проникає в теоретичне мислення. Розуміння процесів - це перший крок до самостійної дослідницької діяльності учнів.

  Формулювання авторського підходу

Моделювання виступає як процес поглиблення пізнання, повніше розкриває сутність явищ дійсності, що досліджуються.

Дослідження психологів свідчать про те, що вміння теоретично міркувати, виконувати  розумові і практичні дії при розв’язуванні навчальних задач з абстрактними даними з математики не завжди забезпечують уміння виконувати адекватну систему дій в реальних практичних ситуаціях. У зв’язку з цим не можна не погодитися з твердженням Д.Н. Богоявленського та Н.А.Менчинської (2) тому, що заключним етапом в розвитку операцій мислення учнів є не становлення розумової дії, а реалізація  або втілення розумової дії в практичній діяльності. Переді мною, як перед вчителем математики, стоїть важлива задача - навчити школярів математизувати життєві практичні ситуації, навчити їх аналізувати і будувати математичні моделі. Тільки за цих умов знання можуть стати рухливими і активними.

  Провідна педагогічна ідея досвіду

Практика показує, що перехід від абстрактного до конкретного для багатьох учнів стає не менш важким, ніж перехід від конкретного до абстрактного, у наслідок чого виникає потреба використовувати можливості моделювання для вдосконалення процесу навчання. Бажано було б, щоб в основі змісту шкільних підручників було передбачено створення і розробка схем, моделей та їх варіантів, складання моделей за відомими схемами, застосування вже розроблених схем безпосередньо в навчанні. У широкому спектрі запропонованих підручників, особливо в старшій школі, уже можна знайти такі, що відповідають висунутим вимогам(3).  Але якщо виникає дефіцит такого матеріалу, тоді метою педагога стає формування вмінь в учнів будувати математичні моделі найпростіших реальних явищ, досліджувати явища за заданими моделями, конструювати доданки моделей; залучення дітей до досвіду творчої діяльності та формування у них умінь цей досвід застосовувати. Це і є провідна ідея моєї діяльності.

Технологія досвіду

На своїх уроках на прикладах добре складених задач прикладного змісту учні переконуються в значенні математики для різних сфер діяльності людини, в її користі і необхідності для практичної роботи, бачать широту можливих застосувань математики, розуміють її роль в сучасній культурі. А моделювання дозволяє сполучати теоретичні знання з практичними діями. При цьому включення в процес навчання питань і задач практичного змісту є тільки необхідною умовою такого навчання. Окрім цього, учу школярів спеціальним засобам розумової роботи, які необхідні для застосування теоретичних знань.

Прикладом такого спеціального засобу є складання «ментальних карт». Якщо теоретичного матеріалу багато, він насичений правилами, наслідками, доречно його систематизувати. Отже, малюємо схему з центром і «гілками», що від нього розходяться. На гілках ми розміщуємо ключові слова означень, приклади, малюнки. Такий спосіб запису  дозволяє ментальній карті необмежено рости і доповнюватися. Ментальні карти я використовую для створення, візуалізації, структуризації, класифікації ідей, а також як засіб для навчання, організації, розв’язання задач. Застосовувала цей засіб у темах:  «Числові вирази. Буквені вирази. Формули.»(для учнів 5 класів).,  «Вектори» (для учнів 9 класів) тощо.

Певним успіхом на уроках користується схема «Фишбоун», що в перекладі означає «скелет риби». У «голові» цього скелету ми позначаємо проблему, яку обговорюємо. На самому скелеті є верхні та нижні кісточки. На верхніх учні відмічають теоретичні відомості (наприклад: формули для знаходження площ трикутників). Записи мають бути короткими, містити в собі ключові слова або фрази, що відображають суть, факти. Навпроти верхніх кісточок розташовані нижні, на яких учні виписують випадки їх застосування (фронтально аналізуючи умови задач підручника Мерзляк Г.А. Геометрія-9 з теми, розписують номери завдань). Це доцільно на етапі актуалізації своїх знань і досвіду. Більш того, можна запропонувати такий варіант роботи з «Фішбоуном», при якому на верхніх кісточках будуть виписуватися ті чи інші проблеми, а на нижніх доведення (аргументи).

Інколи практикую роботу з концептуальною таблицею. Вона використовується для систематизації інформації, характеристики суттєвих ознак явищ, подій, що вивчаються. У таблиці відомості немовби «кристалізуються» .

Можна виділити декілька шляхів розв’язання задачі навчання школярів застосуванню математичних знань на практиці.

Перший шлях - включення в процес навчання математиці задач практичного змісту. Можливості такого шляху обмежені бюджетом часу та пов’язані з перевантаженням учнів.  І все ж таки. Якими ж бувають задачі, що ми розв’язуємо в школі? Задачі мають відмінність за характером своїх об’єктів. В одних задачах об’єктами є реальні предмети, в інших – усі об’єкти математичні числа (геометричні фігури, числа, функції тощо). Перші задачі, в яких хоч би один об’єкт  є реальним предметом, називають практичними (життєвими, текстовими, сюжетними); другі, усі об’єкти яких математичні, називають математичними задачами. Наведу приклади.

     Задача 1.Телефонна проволока завдовжки 15м протягнута від стовпа, де вона закріплена на висоті 8м від поверхні землі, до дома,де її закріпили на висоті 20м. Знайти відстань між домом і стовпом, припускаючи, що проволока не провисає.

Об’єктами цієї задачі є цілком реальні предмети: проволока, стовп, дім. Тому це практична задача. Щоб її розв’язати за допомогою математики, треба побудувати відповідну їй математичну задачу, яку отримаємо шляхом відволікання від конкретних особливостей реальних предметів та заміною їх математичними об’єктами. У даному випадку проволоку, стовп, дім можна розглядати  як відрізки. Вважаючи, що поверхня землі є пряма, а відрізки, що зображують стовп та дім, перпендикулярні до цієї прямої, отримуємо таку математичну задачу.

    Задача 2. Відрізки завдовжки 8м та 20м перпендикулярні до прямої, що сполучає їх кінці, та розташовані по один бік від цієї прямої. Відрізок, що сполучає інші кінці цих відрізків, мають довжину 15м. Знайти відстань між першими двома відрізками.

Думаю, що для дитячого сприйняття більш прийнятна перше формулювання. Тому деякі задачі з підручника я перефразую.

     Задача 3. Обчислити сторони прямокутника з периметром 200м, площа якого найбільша.                                                        Пропоную замінити на :

     Задача 4. На території птахофабрики для курчат треба відгородити металевою сіткою, довжина якої 200м, ділянку прямокутної форми, що примикає до прямолінійної частини загальної огорожі. Якими повинні бути розміри цієї ділянки, щоб мати найбільшу площу.

За роки роботи в школі в мене накопичилась добірка задач, які  умовно назвемо «Оточуючий світ очима математика». За необхідності я використовую задачі з різних її розділів: «Вода в природі та житті людини», « повітря та його значення в природі та житті людини», «Грунт», «Рослини навколо нас», «Тварини в нашому житті», «Людина та довкілля».

    Шкільні текстові задачі у своїй більшості описують однозначно сформульовані ситуації, тим самим ще більше віддалені від реальності, де навіть фіксована ситуація вимагає роботи по її формалізації. Тому відсутня реальна постановка проблеми, етап побудови моделі не тільки спрощений, а фактично спотворений. У зв’язку з цим доцільною та перспективною є робота з учнями з поступового наближення звичайних шкільних задач до задач, що виникають в практиці людей і вимагають побудови математичних моделей. Така робота може бути розпочата наприкінці навчального року в VII класі, коли в учнів є достатній багаж теоретичних знань, а продовжена в позакласній роботі, у старших класах та при підготовці до ЗНО. Хочу навести приклад, як можна працювати з задачею, поступово нарощуючи її змістовне навантаження. Ця задача є реальним відображенням практичної проблеми - ефективної організації виробничого процесу.

Задача 1. В господарстві працюють два тракториста. Продуктивність праці першого тракториста =15 га/год, а другого=20 га/год. Площа поля S =240 га. Через скільки годин після початку роботі першого тракториста до нього має приєднатися другий, щоб поле було оброблено за t = 8 год?

Зауважу, що таке формулювання задачі стандартне для підручника, і тому не зайве звернути увагу учнів на обмеження, що другий тракторист починає роботу не відразу. Пропоную цей момент прокоментувати учнів, пояснюю сама причині такої умови: він працював в нічну зміну і йому треба відпочити або мова йдеться про маневри ресурсами - треба перевести трактор з іншого поля. Учням треба показати, що навіть стандартна шкільна задача може бути близька до реальності.

Ця задача з конкретними числовими даними зовсім проста і тепер я починаю поступово разом з числовими даними вводити параметри. Саме наявність параметрів наближає задачу до реальної ситуації: в господарстві, як правило, більш ніж два тракториста, і тому треба обрати другого тракториста  таким чином , щоб розв’язати головну задачу - обробити поле за 8 год.

Задача 2. Продуктивність одного тракториста 15 га/год, другого - . Обчислити, через скільки годин після початку роботи першого тракториста до нього має приєднатися другий, щоб обробити поле площею 240 га за 8 год.

Така постановка задачі приводить до співвідношення 8∙15+(8 - t) =240, звідки t = 8 -. Ми отримали функцію  t від . Складаємо таблицю.                 

Цікавою стає ситуація при 10га/год маємо  t = - 4год. Пояснюємо: ясно, що продуктивність другого тракториста дуже мала, то її неможна використовувати для досягнення мети (з такою продуктивністю другий тракторист повинен розпочати роботу за 4 год раніше першого) Окрім того, за результатами бачимо, що з продуктивністю 15 га/год другий тракторист повинен розпочати роботу разом з першим, та взагалі, щоб виконати роботу за вказаний термін, продуктивність другого має бути не меньша15 га/год. Останнє твердження спирається на властивість зростання функції t = 8 -.

Більш проста ситуація виникає при виборі іншого параметра. Якщо другий тракторист є обов’язковою умовою задачі, ми обираємо першого, тоді маємо наступну задачу.

Задача 3. Два тракториста, продуктивність першого га/год, а другого 20га/год повинні обробити поле площею 240 га. Через скільки годин роботи першого до нього має приєднатися другий, щоб обробити поле за 8 год.

Тоді виникає нове співвідношення: 8+20 ( 8 – t ) = 240 звідки  t= = = 0,4 – 4  .

З складеної таблиці бачимо,що продуктивність першого тракториста має бути не менш ніж 10га/год.

Послідовно розбираючи і узагальнюючи задачу 1, ми будували її математичні моделі. Інколи я практикую обернену ситуацію, на задану модель скласти  задачу. Умовно цю технологію можна назвати «Одягни сорочку на задачу».

        Розглянемо другий шлях - широке використання міжпредметних зв’язків, у першу чергу з такими предметами як фізика, хімія, креслення, географія, технології. Наведу приклади. У цих предметах широко використовуються вимірювання та обчислення з приблизними даними. Але відсутній єдиним підхід до виконання вимірювань і оформлення результатів, не ураховуються правила наближених обчислень з якими школярі знайомляться ще в V класі (правила округлення). З іншого боку, фізичні величини, закони, задачі можуть бути з успіхом використані при введені математичних понять (наприклад, окремих видів функції, похідної, інтеграла тощо) , математичні методи треба використовувати для розв’язання фізичних задач (векторний метод, метод диференціального та інтегрального числення, наближені обчислення тощо). Математична модель дозволяє розв’язати задачі з теми: «Інтеграл в механіці фізиці»

Усім відома теза: «Математика – це частина фізики». Погоджуючись з цим , я все ж таки хотіла доповнити: «А фізика - частина геометрії». І в цьому ми переконуємося на позакласному заході «Оптика в іграшках», де закони оптики демонструють, моделюють осьову симетрію, паралельне і ортогональне проектування, гомотетію в просторі .

    Третій шлях формування вмінь застосовувати теоретичні знання на практиці – проведення лабораторних та практичних  робіт з математики.

У зв’язку з цим  можу поділитися досвідом проведення лабораторної роботи в V класі з теми: «Об'єм і площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда». Учням запропоновано принести на урок моделі прямокутних паралелепіпедів різних розмірів, а на уроці виконати вимірювання довжини, ширини, висоти своєї моделі. Тепер можна виконати обчислення об’єм, площі правої передньої, верхньої грані, проаналізувавши при  цьому кількість граней з рівними площами, та  наприкінці площу повної поверхні. Треба познайомити дітей з поняттям розгортки паралелепіпеда, це надасть можливість розв’язувати задачі і самостійно виготовляти нові моделі. Доречно запропонувати задачі з практичним змістом: на знаходження об’єм акваріума, кількості фарби, необхідної для фарбування бака с внутрішнього та зовнішнього боку, кількість металевого куточка для виготовлення каркасу огорожі для тварин та інші. Отже, на кожному уроці я розкриваю прикладні можливості математики. Але не тільки урок – це місце для моделювання. Чудовою нагодою є літня практика (додаток 6). Зміст практичного заняття відповідає знанням восьмикласника і надає можливість працювати на рівні підвищених вимог, розвиваючи їх навчальну мотивацію. Тут демонструються можливості математичного моделювання з теми: «Подібність трикутників», застосовується математичний апарат для розв’язання виробничих проблем ( висотомір  лісівника; на будівництві для дослідження місця побудови об’єкта), проводиться зв'язок між математикою та іншими галузями знань: географією (картографією), військовою справою.

                                          Бібліографія

1. Ушинский К. Д. Материалы к 3-му тому «Педагогической антропологии». Собр. соч. М.-Л., 1950.
2. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знания в школе. - М., 1959. – С.253.
3. Мерзляк А.Г ., Полонський В.Б., Якір М.С.  Геометрія 9, Харьков  «Гимназия»  2009
4.  Оксана Бойко, Метод "Фишбоун" (Рыбий скелет): что это такое, формы работы на уроке и примеры
5.  Владимир Даров  16 Март 2012  Ментальные карты – подробная инструкции
6.  Риб К.А.    Физические задачи на экстремум функции                                         //Математика в школе.1993 №3