Вище професійне училище №29

м.Львова

 

 

 

 

 

 

 

 

«Основне рівняння МКТ. Газові закони»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                   Підготував:

вчитель фізики

Шевчук Михайло Леонідович

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Львів-2025

 

 

Деякі підходи до вивчення теми «Основне рівняння МКТ», «Газові закони»

Не секрет, що виведення формули основного рівняння МКТ викликає в учнів певні труднощі як фізичного так і математичного характерів. В зв’язку з цим, пропоную свою, дещо спрощену модель виведення основного рівняння МКТ та його застосування до вивчення газових законів ідеального газу.

Нехай маємо сферу радіусом R. 

З курсу математики, відомо, що об’єм сфери визначається за формулою V=4/3πR³, а площа поверхні – S=1/3 πR².

Відношення об’єму до площі поверхні  становить V/S = 1/3*R,  (таке співвідношення нам занадобиться пізніше) -  (1).

Нехай молекули ідеального одноатомного газу вилітають з центра сфери радіусом R (умовна молекулярна гармата), досягають внутрішньої поверхні сфери та повертаються назад в центр з наступним поворотом (умовний «батут», розміщений в центрі сфери).

За час  дії Δt=2R/υ0  в сфері перебуває N–молекул, які встигли вилітіти з

центра сфери та повернутись назад.    (2)                                        

Оскільки, імпульс сили дорівнює зміні імпульсів молекул, то:

F Δt = 2m₀υ₀*N              (3)

Врахувавши, що N=n*V, (n – концентрація молекул), тиск p= F/S, дістаємо:

pΔt=2m₀υ₀ nV/S        (4)

Враховуючи співвідношення (1), одержуємо:

pΔt=2/3m₀υ₀nR, а з врахуванням формули часу дії (2), остаточно

одержуємо:

  p=1/3 nm₀ υ²₀           (5)

Зрозуміло, що потрібно враховувати не сталу швидкість υ0  а, так звану, середню квадратичну швидкість руху молекул:

               

                

 

Враховуючи, що середня кінетична енергія поступального руху молекул 

<E>= m₀ υ²_с/2, одержуємо:           p=2/3 n <E>     (6)

Обов’язково наголошуємо, чому рівняння (5) є «основним»? 

Воно показує, як «макросвіт», представлений в даному випадку макроскопічним параметром «тиск», який вимірюється манометром, формується «представниками мікросвіту» - сумарною дією молекул. Крім того, дане рівняння є основою для виведення рівнянь газових законів.

 

Після подачі даної теми варто використати метод генералізації знань та випереджуючого навчання. Можна подати газові закони одночасно, сформувавши матеріал в узагальнюючу таблицю.

                Вводимо     співвідношення     між     середньою     кінетичною     енергією

поступального руху молекул та абсолютної температури T (K)

<E>=3/2*kT    (7),  де k=1,38*10^-23 Дж/К – стала Больцмана.

Звертаємо увагу, що з фізичної точки зору температуру тіл треба було б вимірювати в Дж (енергетичних одиницях), але, історично склалося по іншому, та й вимірювання температури в Дж було б незручним.

Тоді, коефіцієнт k – це «перехідний місток» між енергією та температурою. Можна вважати, що на стільки змінюється середня кінетична енергія поступального руху молекул одноатомного ідеального газу при зміні температури на 1 градус К.

З врахуванням формули (7) основне рівняння МКТ набуває вигляду: P=nkT, а з врахуванням n= N/V =ʋ N_А /V, дістаємо: pV= ʋк N_АT.

Оскільки, R=к*N_А=8,31 Дж/моль*К – універсальна газова стала, одержуємо рівняння Клапейрона – Менделєєва (рівняння стану для довільної маси ідеального газу) pV= ʋRT,   де ʋ=m/M – кількість речовини

Чому R називають «універсальною газовою сталою»?

Тому що для 1-го моля будь-якого ідеального газу співвідношення  pV/Т = const=R=8,31 Дж/моль*К. Можна вважати, що саме на стільки змінюється внутрішня енергія 1-го моля ідеального газу із зміною температури на 1 градус К. 

За співвідношенням pV/Т= const робимо висновок, що при зміні будьякого параметра (p,V,T), як мінімум, має змінитися хоча б один інший параметр.

В загальному випадку, для сталої маси газу записуємо:

p₁ V₁ /Т₁= p₂V₂ /Т₂ - рівняння Клапейрона (1834р)

Використовуючи дане співвідношення, подаємо всі газові закони (ізопроцеси), заповнюючи послідовно таблицю:

 

 

Звертаємо увагу на необхідність «штрихів» на графіках і чому графіки не перетинають координатні осі: при низьких температурах газ втрачає свою «ідеальність» і може перетворитись на рідину, тому газові закони в даному випадку застосовувати не можна.

Для практичного застосування рівнянь ізопроцесів можна розглянути наступну задачу.

Під водою знаходиться цистерна об’ємом 20м³ заповнена водою. До люка цистерни вгорі приєднано балон об’ємом 200л, в якому знаходиться стиснуте повітря під тиском 1Мпа. Який об’єм води можна витиснути з цистерни, відкривши кран між балоном і цистерною, якщо спускний кран цистерни знаходиться в нижній частині на глибині 10м? Зміною температури та гідростатичним тиском в середині цистерни можна знехтувати. Записуємо скорочену умову

Дано: V= 20 м3 υ =200л=0,2 м3 P=106 Па PА=105 Па H=10v

Розвязок: 1.Зясовуємо, з яким процесом маємо справу? Ізотермічний. 2.До яких пір буде витискатись вода з цистерни? Поки тиск в цистерні не зрівняється з тиском на спускний кран ззовні. 3.Застосовуємо закон Бойля-Маріотта

Δ V-?

P_1* υ = P_2* (ΔV+υ), 

де P₁₌ P , P₂= P_А+ƿgh, де P_А-атмосферний тиск, ƿgh-гідростатичний тиск,  ƿ=10³ кг/м³ – густина води. Тоді: Pυ= (P_А+ƿgh) ^/(ΔV+υ), звідси:

ΔV=(P/(P_А+ƿgh) - 1)

Підставляючи значення, знаходимо: ΔV=4 м³

Додатково пропонуємо з’ясувати,який тиск має бути в балоні, щоб повністю витиснути воду з цистерни.

 

 

Використана література:

1.     Зачек І.Р. та ін. Курс фізики: навч.підруч.– Львів: вид. "Бескид Біт", 2002.– 376 с.

2.     Воловик П.М. Фізика: для ун-тів.–К.: Ірпінь: Перун, 2005.–864 с.

3.     Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П.  Загальний курс фізики. Т.1,2,3.– К.:

Техніка, 1999.