Матеріал до уроку "Наближені обчислення"

НАБЛИЖЕНІ ОБЧИСЛЕННЯ

(Алгебра 7 клас, до профільний рівень)

Наближене число α – це  число, яке трохи відрізняється від точного χ і замінює його при обчисленнях.

Наприклад:

Точне число - 12,364

Наближене - 12,4.

Якщо α < χ, то а це наближене значення числа χ з недостачею, а у випадку коли α > χ, кажуть, що а це наближене значення числа χ з надлишком.

 

ПОХИБКА НАБЛИЖЕНОГО ЧИСЛА

Похибкою ∆α наближеного числа α є різниця між точним числом χ, і наближеним α:
∆α = χ – α

Наприклад:

Точне число - 34,621

Наближене - 34,6

∆α = 34,621 - 34,6 = 0.021

АБСОЛЮТНА І ВІДНОСНА ПОХИБКИ

Абсолютна похибка

Під час обчислень дуже часто важко визначити знак похибки, зважаючи на це, у таких випадках використовують поняття абсолютної похибки.

Абсолютна похибка - це абсолютна величина різниці між точним числом х і його наближеним значенням а:

∆α = |α - χ|

Наприклад:

Точне число - 5,482

Наближене - 5,5

∆α = |5,482-5,5| = 0,018

Відносна похибка

У випадку коли потрібно оцінити якість обчислювання або вимірювання використовують поняття відносної похибки.

Відносна похибка δα наближеного числа α – це  відношення абсолютної похибки ∆α цього числа до модуля відповідного точного значення χ(χ ≠ 0):

Наприклад:

χ = 5,482

α = 5,5

∆α= |5,482-5,5| = 0,018

= 0,0033 або 0,33%

ГРАНИЧНА АБСОЛЮТНА І ВІДНОСНА ПОХИБКИ

Гранична абсолютна похибка

У випадку коли точне число χ відоме, не виникне жодних проблем під час знаходження абсолютної похибки, проте якщо точне число χневідоме, використовують поняття граничної абсолютної похибки ∆α.

Гранична абсолютна похибка ∆α наближеного числа α – це  число, яке не менше абсолютної похибки цього числа.

|χ - α|≤∆α

Розкривши дріб у цій нерівності - отримуємо таку нерівність:

α - ∆α≤χ <α+ ∆α

Значення точного числа х записується так:

χ= α ± ∆α
Гранична відносна похибка

Гранична відносна похибка δα- це число яке не менше відносної похибки цього ж числа.

δₐ≥δα

Або ж

δₐ=

Виходячи з формули ...

∆α= δₐ* |χ|

Наприклад:

Знайти граничну відносну похибку числа а = 2,89574±0,00053

δₐ == 0,00018 або 0,018%

ДЕСЯТКОВИЙ ЗАПИС НАБЛИЖЕНИХ ЧИСЕЛ

Будь-яке додатне число можна подати у вигляді:

α = αₘ* 10^m + а_m₋₁ *10ᵐ⁻¹ + ... + αₘ₋ₙ₊₁* 10^{ᵐ⁻ⁿ₊¹} + ...

де αᵢ - цифри числа α.

Проте на практиці користуються скінченними дробами.

Кожне додатне число можна подати у вигляді:

b = βₘ * 10ᵐ + βₘ₋₁*10ᵐ⁻¹ +…+βₘ₋ₙ₊₁* 10ᵐ⁻ⁿ⁺¹(βₘ≠0)

Значущими цифрами наближеного числа називаються усі десяткові знаки (Зі, що зберігаються при написанні.

Значущі цифри наближеного числа - цифри в його десятковому поданні, відмінні від нуля і нуль, якщо він стоїть між значущими цифрами.

Наприклад:

b = 3*10⁻³ + 0*10⁻⁴ + 8*10⁻⁵ + 0*10⁻⁶ = 0,003080(цифри виділені жирним шрифтом є значущими цифрами)

b = 7*10⁷ + 0*10⁶ + 8*10⁵ + 9*10⁴ + 0*10⁴ = 70890000(останній виділений нуль є значущою цифрою, бо він вказує, що збережено десятковий розряд)

Правильне число

Правильними є п цифр наближеного числа, за умови якщо абсолютна похибка цього числа є меншою ніж половина одиниці розряду, який виражається n-тою значущою цифрою, рахуючи зліва направо.

∆ = |χ-α|≤0,5 * 10ᵐ⁻ⁿ⁺¹

Перші n цифр αₘ, αₘ₋₁, …, αₘ₋ₙ₊₁ цього числа є правильними.

Наприклад:

χ = 758,63, тоді а - 758,60

∆α= |758,63 - 758,60| = 0,03 ≤0,5 * 10⁻¹

Тоді значущими є чотири цифри числа(758,60).

ОКРУГЛЕННЯ ЧИСЕЛ

Округленням числа а називають перетворення цього числа на число аі, але з меншою кількістю значущих цифр.

Правила округлення чисел

Щоб округлити число до п значущих цифр, потрібно відкинути усі наступні значущі цифри, проте при цьому необхідно дотримуватися деяких правил, а саме тих, що наведені нижче:

• Якщо перша зі значущих відкинутих цифр є меншою за 5, то остання цифра, яку ми залишаємо при округленні числа залишається такою самою, якою була до округлення
• Якщо ж перша зі значущих відкинутих цифр є 5 або ж більшою, то в такому разі остання цифра, яку ми залишаємо при округленні числа збільшується на одиницю.

Наприклад:

Округлення числа я = 3,141592653589793 до тисячних, стотисячних і мільйонних: 3,142 - до тисячних;

3,14159 - до стотисячних;

3,141593 - до мільйонних.

Зайві цифри називаються сумнівними.

 

При роботі з наближеними числами використовують поняття похибки, абсолютної та відносної похибок, а також граничних абсолютної та відносної похибок.

Похибкою ∆α наближеного числа α є різниця між точним числом χ і наближеним α.

∆α = χ – α

Абсолютна похибка - це абсолютна величина різниці між точним числом χ і його наближеним значенням α

∆α = |α - χ|

Відносна похибка δα наближеного числа α - це відношення абсолютної похибки ∆α цього числа до модуля відповідного точного значення χ(χ ≠0).

δₐ=

Гранична абсолютна похибка ∆α наближеного числа α – це  число, яке не менше абсолютної похибки цього числа.

|χ - α|≤∆α

Гранична відносна похибка δₐ - це число яке не менше відносної похибки цього ж числа.

δₐ≥δα

Окрім вище наведеного матеріалу у розділі також була розкрита тема з подання наближеного числа у десятковому вигляді;

b = βₘ * 10ᵐ + βₘ₋₁*10ᵐ⁻¹ +…+βₘ₋ₙ₊₁* 10ᵐ⁻ⁿ⁺¹(βₘ≠0)

Значущі цифри числа: значущими цифрами наближеного числа називаються усі

десяткові знаки βᵢ, що зберігаються при написанні. Значущі цифри наближеного числа – цифри  в його десятковому поданні, відмінні від нуля і нуль, якщо він стоїть між значущими цифрами.

Окрім цього, було розглянуто поняття правильного числа.

Правильними є n цифр наближеного числа, за умови якщо абсолютна похибка цього числа є меншою ніж половина одиниці розряду, який виражається n - тою значущою цифрою, рахуючи зліва направо.

∆ = |χ-α|≤0,5 * 10ᵐ⁻ⁿ⁺¹

У кінці розділу також була розглянута тема округлення чисел:

Округленням числа αназивають перетворення цього числа на число α₁, але з меншою кількістю значущих цифр.

І було наведено правила округлення чисел:

Щоб округлити число до n значущих цифр, потрібно відкинути усі наступні значущі цифри, проте при цьому необхідно дотримуватися деяких правил, а саме тих, що наведені нижче:

• Якщо перша зі значущих відкинутих цифр є меншою за 5, то остання цифра, яку ми залишаємо при округленні числа залишається такою самою, якою була до округлення
• Якщо ж перша зі значущих відкинутих цифр є 5 або ж більшою, то в такому разі остання цифра, яку ми залишаємо при округленні числа збільшується на

одиницю.

 

ДІЇ НАД НАБЛИЖЕНИМИ ЧИСЛАМИ

ПОХИБКА СУМИ

Гранична абсолютна похибка суми

Щоб знайти абсолютну похибку алгебраїчної суми наближених чисел α₁, α₂,..., αₙ (алгебраїчна сума цих чисел - u = ±α₁±α₂±...± αₙ), очевидно, що потрібно додати абсолютні похибки усіх доданків ∆u = ∆α₁ ± ∆α₂ ± ... ± ∆αₙ . Спираючись на вище наведені факти можна стверджувати, що ∆u ≤ ∆α₁ ± ∆α₂ ± ... ± ∆αₙ.

Теорема: Абсолютна похибка суми наближених чисел завжди менше або дорівнює сумі абсолютних похибок усіх доданків.

∆u ≤ ∆α₁ ± ∆α₂ ± ... ± ∆αₙ

Наслідком з теореми є те, що як граничну абсолютну похибку суми наближених чисел можна вважати суму усіх граничних абсолютних похибок доданків

∆u = ∆α₁ ± ∆α₂ ± ... ± ∆αₙ

Зважаючи на вище наведені факти можна абсолютно точно стверджувати, що гранична абсолютна похибка найменш точного з доданків не може перевищувати граничну абсолютну похибку суми.

Також можна бути впевненими у точності висловлювання, що неважливо з якою точністю визначені інші доданки, бо ми все одно не зможемо підвищити точність суми за їх рахунок.

Звідси випливає нижче наведене правило, у якому наведені правила стосовно додавання чисел різної точності:

1. Знайти і відмітити числа десятковий запис у яких закінчується швидше, ніж у інших чисел;
2. Інші числа потрібно округлити за прикладом відмічених чисел, при цьому потрібно залишити один або два запасних десяткових знаків;
3. Затим провести додавання чисел, зважаючи на усі збережені знаки;
4. Потім отриманий результат необхідно округлити на один розряд.

Похибка суми у найгіршому випадку буде меншою або дорівнюватиме

∆_окр ≤ n * 0,5 * 10^m, при округленні усіх доданків цієї суми до m-го десяткового розряду.

Наприклад:

Потрібно знайти суму наближених чисел: 2,358; 0,0007201; 894,3; 0,785032; 204,59;

366,9.

Розв’язання:

1. Відмічаємо числа абсолютної точності. їхня абсолютна похибка може бути 0,05, оскільки у доданках ми маємо числа 894,3 і 366,9.
2. Тому округлюємо інші числа до сотих, бо беремо один запасний десятковий розряд.
3. Додаємо ці числа:

2,36 + 0,00 + 894,3 + 0,79 + 204,59 + 366,9 = 1468,94

4. Отриманий результат округлюємо до десятих: u = 1468,9

Щоб отримати повну похибку результату ми повинні визначити суму трьох доданків, а саме:

1.      суми граничних похибок доданків:

             ∆₁ = 10⁻³+ 10⁻⁷+ 10⁻¹ + 10⁻⁶ + 10⁻² + 10⁻¹ = 0,2110011 <0,212

2.      абсолютна величина суми похибок доданків(додаємо з урахування знакa похибки):

            ∆₂ = |-0,002 + 0,0007201 + 0 + (-0,004968) + 0 + 0| = 0,0062479

3.      залишкової похибки округлення результату:

            ∆₃ = 1468,94 - 1468,9 = 0,04

            ∆ = ∆₁ + ∆₂ + ∆₃≤0,212 + 0,0062479 + 0,04 = 0,2582479 < 0,3.

            u= 1468,9±0,3

Гранична відносна похибка суми

Формула відносної похибки суми:

δ = =

За умови, що доданки будуть одного і того ж знаку, то гранична відносна похибка їхньої суми не буде перевищувати найбільшої з граничних відносних похибок доданків (нехай δα₁).

δ_u≤δα₁

ПОХИБКА РІЗНИЦІ

ГРАНИЧНА АБСОЛЮТНА ПОХИБКА РІЗНИЦІ

Враховуючи теорему про похибку суми можна стверджувати, що гранична абсолютна похибка ∆_u різниці u = α₁ - α₂:

∆_u = ∆α₁ + ∆α₂

Тоді гранична відносна похибка різниці:

δ_{u =}

u - точне значення різниці.

Через це гранична відносна похибка різниці буде досить великою при близьких за значеннямα₁ і α₂.

Наприклад:

α₁ = 782,35 і α₂ = 782,22

їхня різниця дорівнює u = 782,35 - 782,22 = 0,13

∆α₁= 0,005 ∆α₂ = 0,005

Знайшовши граничні абсолютні похибки зменшуваного і від’ємника, можемо знайти граничну абсолютну похибку різниці:

∆_u = ∆α₁ + ∆α₂ = 0,005 + 0,005 = 0,01

Тепер знайдемо граничні відносні похибки:

δα₁=      δα₂=       δ_u=

Бачимо, гранична відносна похибка різниці є дуже великою і приблизно у 128333 рази більша за граничну відносну похибку зменшуваного чи від’ємника.

Виходячи з цього, при наближених обчисленнях бажано перетворювати вирази обчислень числових значень, яких приводить до віднімання близьких чисел.

Наприклад:

За умови, що доданки будуть одного і того ж знаку, то гранична відносна похибка їхньої суми не буде перевищувати найбільшої з граничних відносних похибок доданків (нехай δα₁).

Δ_u≤δα₁

ПОХИБКА РІЗНИЦІ

ГРАНИЧНА АБСОЛЮТНА ПОХИБКА РІЗНИЦІ

Враховуючи теорему про похибку суми можна стверджувати, що гранична абсолютна похибка ∆_u різниці u = α₁ - α₂

∆_u = ∆α₁ + ∆α₂

Тоді гранична відносна похибка різниці:

Δ_u =

u - точне значення різниці.

Через це гранична відносна похибка різниці буде досить великою при близьких за значенням α₁ і α₂.

Наприклад:

α₁ = 782,35 і α₂= 782,22

Їхня різниця дорівнює u = 782,35 - 782,22 = 0,13

∆α₁ = 0,005 ∆α₂ = 0,005

Знайшовши граничні абсолютні похибки зменшуваного і від’ємника, можемо знайти граничну абсолютну похибку різниці:

∆_u= ∆α₁ + ∆α₂ = 0,005 + 0,005 = 0,01

Тепер знайдемо граничні відносні похибки:

δα₁=      δα₂=       δ_u=

Бачимо, гранична відносна похибка різниці є дуже великою і приблизно у 128333 рази більша за граничну відносну похибку зменшуваного чи від’ємника.

Виходячи з цього, при наближених обчисленнях бажано перетворювати вирази обчислень числових значень, яких приводить до віднімання близьких чисел.

Наприклад:

Потрібно знайти різницю з трьома правильними цифрами

u =√3,53 - √3,52

√3,53 = 1,87883...

√3,52 = 1,87617...

u = 1,87883 - 1,87617 = 0,00266 = 2,66 * 10⁻³

З цього випливає таке правило:

При наближених обчисленнях бажано по можливості уникати віднімання близьких чисел. Якщо ж доводиться проводити таке обчислення, потрібно брати зменшуване і від’ємник з достатньою кількістю правильних цифр.

 

ПОХИБКА ДОБУТКУ

Відносна похибка добутку декількох наближених чисел відмінних від нуля не буде перевищувати суму відносних похибок усіх множників.

δ_u ≤ δα₁ + δα₂ + … + δαₙ

З цієї формули можна виділити декілька наслідків:

• Гранична відносна похибка добутку дорівнює сумі граничних відносних похибок множників:

δ_u = δα₁ + δα₂ + …δα_n

• У випадку коли усі множники є достатньо точними за винятком одного, то у цій ситуації гранична відносна похибка добутку буде дорівнювати граничній відносній похибці найменш точного з них:

δ_u = δα₁

 

• За допомогою граничної відносної похибки добутку можна знайти абсолютну граничну похибку добутку:

∆u = |u| * δ_u

Наприклад:

Знайти граничну відно*сну і абсолютну похибки добутку наближених чисел

α₁ = 5,897 і α₂ = 89,21

Розв’язання:

Спочатку потрібно знайти граничні абсолютні похибки множників:

∆α₁ = 0,0005 і ∆α₂= 0,005

Потім можемо знайти граничну відносну похибку добутку:

δ_u = = 0,00014

Затим можемо знайти абсолютну граничну похибку добутку:

u = 5,897 * 89,21 = 526,07137

∆_u = 526,07137 * 0,00014 = 0,074

Отже, δ_u= 0,00014, а ∆_u= 0,74.

При множенні точного числа χ на наближене α гранична відносна похибка не буде змінюватись, а гранична абсолютна похибка збільшиться у |χ| разів.

∆_u = |χ|*∆α

Для того, щоб знайти добуток декількох наближених чисел різних ступенів точності, потрібно слідувати наступному правилу:

• спочатку потрібно округлити всі наближені числа до такої кількості значущих цифр, щоб їх було на 1 або 2 більше ніж у найменш точному з множників;
• добуток цих чисел потрібно округлити до такої кількості значущих цифр як у найменш точному з множників, або ж можна залишити одну запасну значущу цифру.

Наприклад:

Знайти добуток наближених чисел α₁= 98,2 і α₂ = 3,856.

Розв’язання:

Округляємо числа: α₁ = 98,2; α₂ = 3,87

Множимо їх: u = 98,2 * 3,87 = 380,034

Округляємо добуток: u.= 380,03

ПОХИБКА ЧАСТКИ

Гранична відносна похибка частки u = α/β не буде перевищувати суми граничних відносних похибок дільника і діленого:

δ_u ≤ δ_α + δ_β

З цієї теореми є декілька наслідків:

• гранична відносна похибка частки дорівнює сумі граничних відносних похибок дільника і діленого:

δ_u = δ_α + δ_β

• гранична абсолютна похибка частки буде дорівнювати добутку абсолютного значення частки та її граничної відносної похибки:

∆u = |u|*δ_u

Наприклад:

Знайти граничну відносну і абсолютну похибки частки u = 99,3/25,14

Розв’язання:

Спочатку знайдемо граничні абсолютні і відносні похибки діленого і дільника:

∆α = 0,05 ∆β = 0,005

δ_α = 0,05/99,3 = 0,0005 δ_β= 0,005/25,14 = 0,0002

Затим можемо знайти граничну відносну, а потім і абсолютну похибки частки:

δ_u= 0,0005 + 0,00002 = 0,0007

u = 3,94988... ≈ 4

∆_u = 4 * 0,0007 = 0,0028

ПОХИБКА СТЕПЕНЯ

Нехай u = α^m, тоді гранична відносна похибка цього степеня буде дорівнювати:

δ_u = m * δ_α

Виходячи з цього можна стверджувати, що гранична абсолютна похибка степеня буде дорівнювати добутку абсолютного значення степеня |u| і граничної відносної похибки цього степеня:

∆_u = |u| * δ_u

ПОХИБКА КОРЕНЯ

Гранична відносна похибка m-го кореня у т разів менша за гранично відносну похибку підкореневого числа:

u =

δ_{u = α}

Тоді гранична абсолютна похибка кореня буде дорівнювати:

∆_u = |u| * δ_u