В даному уроці дається поняття: множини, підмножини, операції над множинами, доповнення, об'єднання, переріз.
Департамент освіти і науки України
Дніпропетровської обласної державної адміністрації
Управління освіти і науки виконкому Криворізької міської ради
Відділ освіти виконкому Покровської районної у місті ради
Підготували:
Вчитель математики,
КЗШ І-ІІІ ступенів №97
Люта Ганна Петрівна.
м. Кривий Ріг - 2021
Тема уроку: Підмножина. Операції над множинами.
Формування компетентностей:
Тип уроку: засвоєння нових знань.
Обладнання та наочність: презентація, множини, операції над множинами
Хід уроку
І. «Дерево знань»
ІІ. «Заморочки із бочки» (самостійна робота, робота в парах)
1. Дано функцію f(x) = x2+1. Поставте замість зірочки знак або так, щоб отримати правильне твердження:
1) 3 * D(f); 3) 0 * E(f); 5) 1,01 *E(f).
2) 0 * D(f); 4) ½ * E(f);
Розв’язки:
1. f(3) = 32 + 1 = 10; 3 D(f). 5. 1,01 = x2 + 1; x = 0,1; 1,01 E(f)
2. f(0) = 1; 0 D(f). 4. ½ = х2 + 1; х2 = -½; ½ Е(f).
3. 0 = x2 + 1; x2 = -1; 0 Е(f).
2. Запишіть множину коренів рівняння:
1) х(х – 1) = 0; 3) х = 2;
2) (х – 2)(х2 – 4) = 0; 4) х2 + 3 = 0.
Розв’язки:
1. х(х – 1) = 0; х = 0 або х =1; В: {0;1}.
2. х – 2 = 0 або (х – 2)(х + 2) =0; В: {-2;2}.
3. В: {2}.
4. х2 = – 3. В: Ø .
3. Записати множини, перелічивши їхні елементи:
Додатні числа, кратні числу 7 і менші від 60.
В: {7,14,21,28,35,42,49,56}.
Сьогодні ми маємо познайомитися з поняттям підмножини, її елементами, навчитися виконувати операції над ними
Якщо кожен елемент однієї множини A є елементом множини B, то кажуть, що перша множина A є підмножиною множини B. Це записують так: A ⊂ B.
Наприклад, {1; 2} ⊂ {0; 1; 2; 3}, N ⊂ Z (оскільки будь-яке натуральне число — ціле), Z ⊂ Q (оскільки будь-яке ціле число — раціональне), Q ⊂ R (оскільки будь-яке раціональне число — дійсне).
Вважають, що завжди ∅ ⊂ A, тобто порожня множина є підмножиною будь-якої не порожньої множини.
Інколи замість запису A ⊂ B використовують також запис A ⊆ B, якщо множина A або є підмножиною множини B, або дорівнює множині B. Наприклад, A ⊆ A.
Співставимо означення рівності множин з означенням підмножини.
Якщо множини А і В рівні, то:
А — підмножина В
(A ⊆ B);
В — підмножина А
(B ⊆ A).
Таким чином, дві множини рівні, якщо кожна з них є підмножиною іншої. Інколи співвідношення між множинами зручно ілюструвати за допомогою кругів (які часто називають кругами Ейлера-Венна).
Наприклад:
Записати всі підмножини М = {5;12;6}.
М = {5;12;6}.
Ø ⊂ М, {5}⊂М, {12}⊂М, {6}⊂М,
{5,12}⊂М, {5,6}⊂М, {12,6}⊂М, М⊆М.
Перетином множин А і В називають їхню спільну частину, тобто множину C усіх елементів, що належать як , так і множині В. Перетин множин позначають знаком ∩ (на рисунку наведено ілюстрацію означення перетину множин).
Наприклад, якщо A = {2; 3; 4}, B = {0; 2; 4; 6}, то A ∩ B = {2; 4}.
Нехай А множина розв’язків рівняння х + у = 5, а В – множина розв’язків рівняння х – у = 3. Тоді множина С розв’язків системи рівнянь
2х = 8; х = 4; у = 1. В: {(4;1)}.
Можна записати С = А∩В = {(х;у)|х + у = 5)∩{(х,у)|х – у =3} = {(4;1)}.
Об’єднанням множин А і В називають множину С, що складається з усіх елементів, які належать хоча б одній із цих множин (А або В). Об’єднання множин позначають знаком ∪ (на рисунку наведено ілюстрацію означення об’єднання множин).
Наприклад, для множин A і B з попереднього прикладу A∪B = {0; 2; 3; 4; 6}.
Якщо позначити множину ірраціональних чисел через M, то M∪Q = R.
Наприклад, щоб розв’язати систему рівнянь треба знайти перетин трьох множин
х = 5 – у; х = 3 + у; 5 – у = 3 + у, у = 1, х2 = 16, х = ±4.
В: А∪В∪С = {(х,у)|х + у = 5},{(х,у)|х – у =3} i {(x,y)|x2 + y2 = 17} = {(-4;1;4)}
Об’єднання множин А, В, С – це множина всіх елементів, які належать хоча б одній з цих множин: або множині А, або множині В, або множині С.
Об’єднання множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера.
Різницею множин А і В називається множина С, яка складається з усіх елементів, які належать множині А і не належать множині В.
Різницю множин позначають знаком \ (на рисунку наведено ілюстрацію означення різниці множин).
Розглянемо приклади.
а) Якщо А = {a, b, c, d}, В = {а, с, m, n, p}, то А\В = {b, d}, В\А = {m, п, р}.
б) Якщо А — множина учнів вашого класу, В — множина дівчаток вашого класу, С — множина хлопчиків вашого класу, то А\В = С, А\С = В. У випадку, якщо В — частина множини А (В А), то А\B називається доповненням до В у множині А і позначають СAВ.
в) Знайти різницю множин К={1,2,3,4,5,6,7} і L={2,4,6}:
К = {1,2,3,4,5,6,7};
L = {2,4,6};
K\L = {1,3,5,7}.
Якщо B — підмножина A, то різницю A \ B називають доповненням множини B до множини A (рис. 1).
Наприклад, якщо знову позначити множину ірраціональних чисел через M, то
R \ Q = M: кажуть, що множина M ірраціональних чисел доповненням множини A називається множина, яка складається з усіх елементів, які не належать множині А,але які належать універсальній множині U.
Доповнення множини А позначають Ā (читають: «А з рискою» або «доповнення А»).
Наприклад, якщо U = R і A = [0; 1], то Ā = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) (Для цього прикладу зручно використати традиційну ілюстрацію множини дійсних чисел на числовій прямій — рис. 3).
Сприймання і усвідомлення матеріалу про операції над множинами.
1. Нехай А – множина коренів рівняння х2 – 5х + 6 = 0. Які із поданих записів вірні?
а) -5 А; б) 6 А; в) 2 А; г) 3 А .
2. Задайте переліченням елементів множини:
а) А — множину голосних букв українського алфавіту; (А-Я)
б) В — множину коренів рівняння x4 - 4х2 = 0; (0; 2)
в) С — множину простих парних чисел; (2Z = {…, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, …})
г) D — множину пір року. (Весна, літо, осінь, зима)
3. Задайте кілька елементів кожної множини:
а) А = {х : х = 2т, де m — ціле число};
б) В = {x : x = 2n + 1, де n — ціле число};
в) С = {х : О < х < 1}.
3. Задано множини:
а) А — множина учнів вашого класу;
б) В — множина учнів вашої школи;
в) С — множина учнів України;
г) D — множина учнів країн земної кулі. Випишіть букви, що позначають вказані множини, в такому порядку, що кожна наступна буква позначала підмножину попередньої множини.
4. Задано множини:
а) множина А всіх трапецій;
б) множина В всіх прямокутників;
в) множина С всіх чотирикутників;
г) множина D всіх квадратів;
д) множина Η всіх паралелограмів;
є) множина F всіх багатокутників.
Запишіть за допомогою знаку с ці множини в такому порядку, що кожна наступна множина була б підмножиною попередньої.
5. Зобразіть за допомогою діаграми Ейлера: якщо А В і В С, то А С.
1. Дано: А = {а, b, с, 1, 3}, В = {b, d, б, 3}, С = {b, 1, 6}. Знайдіть:
а) АB;(b,3) б) АС; (b,1,) в) ВС; (b) г) АВС. (b)
2. Дано: А = {х: х2 – 5x + 6 = 0}, B = {x: x2 – 3х + 2 = 0}.
Знайдіть: А B. (2)
3. Доведіть: (АB)С = А(BС) = АВС.
4. Доведіть, якщо В А, то А В = В.
5. Доведіть: а) А А = А; б) А = ; в) АB = ВА.
1. Дано: А = {1, 3, 5, 7}, B = {1, 5, 7, 9}, C = {2, 4}. Знайдіть:
а) АUВ; (1, 3, 5, 7, 9) 6) AUC; (1, 2, 3, 4, 5, 7) в) BUC; (1, 2, 4, 5, 7, 9)
г) AUBUC. (1, 2, 3, 4, 5, 7, 9)
2. Дано: А = {x: x2 – 5x + 6 = 0}, В = {x: x2 – 3х + 2 = 0}. Знайдіть А U В. (1, 2, 3)
3. Доведіть:
а) АUА = А; б) АU = А; в) АUВ = ВUА; г) (АUВ)UС = АU(ВUС).
4. Доведіть: якщо B А, то AUB = А.
Виконання вправ на різницю множин
1. Дано: Μ == {a, b, с, d}, N = {b, d}. Знайдіть:
a) M\N; (a, b, c) б) N\M; (0) в) (Μ \ Ν) U (Ν \ Μ). (a,b,c)
2. Доведіть: а) А \ А = ; б) А \ = А.
V. Підведення підсумків уроку.
1. Що таке множина? (Сукупність будь-яких предметів, об'єктів, об'єднаних між собою деякою загальною для них усіх ознакою)
2. Що таке об’єднання множин? (Об'єднанням множин А і В називається множина, яка складається з усіх елементів, які містяться хоч в одній з двох множин А, В і тільки їх)
3. Що таке переріз множин? (Перерізом множин А і В називається множина, яка містить усі спільні елементи множин А і В, і тільки їх)
4. Що таке різниця множин? (Різницею множин А і В називається множина всіх таких елементів множини А, які не містяться у множині В)
5. Вкажіть серед вказаних нижче множин порожню:
а) множина коренів рівняння х2 - 4 = 0;
б) множина коренів рівняння х = х + 2;*
в) множина коренів рівняння х + 1 = 1 + x;
г) множина кіл, в яких діаметр менший від радіуса.
6. Доведіть, що, якщо А В, а В С, то А С
VI. Домашнє завдання.
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, Алгебра 8 клас, Підручник для класів з поглибленим вивченням математики.
п. 5, стор. 28, №№ 5.30, 5.23.
Для самостійного опрацювання: М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубинчук, Алгебра і початки аналізу, 10-11 клас. Розділ 12, сторінка 455, Рівень А, №№ 1-4, Рівень Б, №№ 5-8, Рівень В, №№ 9-12.
Використана література
1. Мерзляк А.Г. Алгебра: Підручник для 8 класів з поглибленим вивченням математики/ Мерзляк А.Г., Полонський В.Б, Якір М.С. - Х.: Гімназія, 2008. – 368 с.
2. Шкіль М.І. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10-11 кл. загальноосвітніх навчальних закладів/ М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубинчик. – 2-ге вид. – Зодіак-ЕК, 2001. – 656 с.
3. Алгебра і початки аналізу в таблицях. 7-11 клас. Навчальний посібник. Науково методичний центр, 2003. – 248 с.
4. Алгебра в таблицах (с приложеним). Учебное пособие для учащихся 7-11 классов. – Н49 Х.: Мир детства, 1998. – 116 с. Приложение 56 с.
5. Об`єднання вчителів математики [Електронний ресурс]/ http://matematik.org.ua/
7