Основи статистичного аналізу даних. Ряди даних. Обчислення основних статистичних характеристик вибірки

КОНСПЕКТ УРОКУ

Предмет: Інформатика | Клас: 11 | Урок № 12

Тема: Основи статистичного аналізу даних.

Ряди даних. Обчислення основних статистичних характеристик вибірки

Мета уроку

• Навчальна: ознайомити з поняттями генеральної сукупності та вибірки; навчити

обчислювати x̄, Me, Mo, σ вручну та в табличному процесорі.

• Розвивальна: розвивати вміння аналізувати числові дані та робити статистично

обґрунтовані висновки.

• Виховна: формувати розуміння практичної цінності статистики.

Тип уроку: комбінований (засвоєння нових знань + практичне закріплення).

Обладнання: комп'ютери з MS Excel / LibreOffice Calc / Google Таблицями, проєктор.

Міжпредметні зв'язки: математика (статистика), фізика, географія, економіка.

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент (2 хв)

Привітання. Перевірка присутніх. Оголошення теми, мети та структури уроку.

2. Актуалізація опорних знань (5 хв)

Фронтальне опитування:

• Що вивчає статистика як наука?
• Де у повсякденному житті ви зустрічали статистичні дані?
• Що таке середнє арифметичне? Як його обчислити?

Мотивація: «Середня зарплата в країні — 25 000 грн. Чи означає це, що більшість
отримує саме стільки? Сьогодні дізнаємось, чому одного «середнього» часто
недостатньо.»

3. Вивчення нового матеріалу (22 хв)
3.1. Основні поняття

Статистика — наука про збирання, систематизацію, аналіз та інтерпретацію числових
даних.

Генеральна сукупність — повна множина об'єктів дослідження. Вибірка —
досліджувана частина, n — її обсяг. Варіант (xᵢ) — окреме значення в ряді.

3.2. Міри центральної тенденції

Відповідають на питання: «Яке значення найкраще представляє вибірку?»

• Середнє арифметичне (x̄) = Σxᵢ / n — для рівномірних даних без викидів.
• Медіана (Me) — середина впорядкованого ряду — при асиметрії або викидах.
• Мода (Mo) — найчастіше значення — для дискретних і категорійних даних.

3.3. Міри розсіювання

Два ряди можуть мати однакове середнє, але різний «розкид». Міри розсіювання
показують однорідність вибірки.

• Розмах: R = x_max − x_min
• Дисперсія: D = Σ(xᵢ − x̄)² / n
• Стандартне відхилення: σ = √D (в одиницях даних)
• Коефіцієнт варіації: CV = σ / x̄ · 100% (< 10% — однорідна, > 30% — неоднорідна)

3.4. Функції в табличних процесорах

Характеристика

Excel / LibreOffice

Google Таблиці

Середнє (x̄)

=СРЗНАЧ(A1:A10)

=AVERAGE(A1:A10)

Медіана (Me)

=МЕДИАНА(A1:A10)

=MEDIAN(A1:A10)

Мода (Mo)

=МОДА(A1:A10)

=MODE(A1:A10)

Дисперсія (D)

=ДИСП(A1:A10)

=VAR(A1:A10)

Стандарт. відх. (σ)

=СТАНДОТКЛОН(A1:A10)

=STDEV(A1:A10)

Розмах (R)

=МАКС(…)−МІН(…)

=MAX(…)−MIN(…)

3.5. Приклад: ряд оцінок 7, 9, 8, 6, 9, 10, 8, 7, 9, 8 (n=10)

• Впорядкований: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10
• x̄ = 81 / 10 = 8,1
• Me = (8 + 8) / 2 = 8 (n парне, беремо 5-те і 6-те)
• Mo = 8 і 9 (бімодальний)
• R = 10 − 6 = 4 | σ ≈ 1,04 | CV ≈ 12,8% — помірна однорідність

4. Первинне закріплення (8 хв)

Учні отримують картки з рядами даних. Завдання: обчислити x̄, Me, Mo, R. Перевірка з
сусідом. Обговорення: «Коли медіана краща за середнє?»

5. Підсумок. Рефлексія (5 хв)

• Яку характеристику обрати для «типового» доходу — x̄ чи Me? Чому?
• Що означає велике σ?

Рефлексія «Незакінчене речення»: «Сьогодні я дізнався(лась)…» / «Мені було
складно…»

6. Домашнє завдання (1 хв)

Опрацювати с. 62–66 підручника. Обчислити x̄, Me, Mo для 10 власних числових даних.
Висновок про однорідність.

ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ ДЛЯ УЧНІВ

Тема: Основи статистичного аналізу даних | 11 клас

1. Основні поняття

Статистика — наука про методи збирання, систематизації та аналізу числових даних.

Генеральна сукупність — повна множина об'єктів. Вибірка (n) — досліджувана частина.
Варіант (xᵢ) — значення в ряді. Статистичний ряд — впорядкований варіаційний ряд.

2. Міри центральної тенденції

Характеристика

Формула

Функція Excel

Застосування

Середнє (x̄)

x̄ = Σxᵢ / n

=СРЗНАЧ(…)

Рівномірний розподіл

Медіана (Me)

Центр упоряд. ряду

=МЕДИАНА(…)

Є викиди / асиметрія

Мода (Mo)

Найчастіше знач.

=МОДА(…)

Дискретні дані

3. Міри розсіювання

Характеристика

Формула

Функція Excel

Що означає

Розмах (R)

x_max − x_min

=МАКС(…)−МІН(…)

Повний діапазон

Дисперсія (D)

Σ(xᵢ−x̄)²/n

=ДИСП(…)

Середній кв. відхилень

Стандарт. відх. (σ)

σ = √D

=СТАНДОТКЛОН(…)

Типове відхилення

Коеф. варіації (CV)

σ/x̄·100%

Вручну

Відносний розкид (%)

4. Інтерпретація

Ситуація

Висновок

x̄ ≈ Me ≈ Mo

Розподіл симетричний, середнє надійне

x̄ >> Me

Є великі викиди вгору (напр., зарплати мільярдерів)

CV < 10%

Дані однорідні — середнє добре описує вибірку

CV > 30%

Дані різнорідні — середнє ненадійне

5. Повний приклад

Ряд: 5, 7, 7, 8, 9, 10, 7, 6, 8, 9 (n = 10)

• Впорядк.: 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10
• x̄ = 76/10 = 7,6
• Me = (7+8)/2 = 7,5
• Mo = 7 (3 рази)
• R = 5 | D = 2,24 | σ ≈ 1,50 | CV ≈ 19,7% — помірна однорідність

ПРАКТИЧНА РОБОТА

Клас: 11 | Предмет: Інформатика

Тема: Обчислення статистичних характеристик вибірки

Прізвище, ім'я: _____________________________________ Клас: ______ Дата: ____________

Мета роботи

Навчитися обчислювати статистичні характеристики вибірки вручну та засобами
табличного процесора; інтерпретувати результати.

Програмне забезпечення: MS Excel / LibreOffice Calc / Google Таблиці.

ЗАВДАННЯ 1. Обчислення вручну (3 бали)

Дано ряд — результати тесту 12 учнів (балів):

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Бали 68

74

91

55

74

88

74

60

95

82

74

79

Обчисліть вручну (показуючи хід):

• 1.1. Впорядкований ряд:

_______________________________________________________

• 1.2. x̄ = __________________________________________________ ≈ _______
• 1.3. Me = _______ (обґрунтування:

_____________________________________________)

• 1.4. Mo = _______
• 1.5. R = _______ − _______ = _______

ЗАВДАННЯ 2. Обчислення в табличному процесорі (4 бали)

Введіть дані у стовпчик A (A1:A12). Обчисліть характеристики за формулами:

Характеристика

Формула

Результат

Середнє арифметичне (x̄)

=СРЗНАЧ(A1:A12)

Медіана (Me)

=МЕДИАНА(A1:A12)

Мода (Mo)

=МОДА(A1:A12)

Мінімум

=МІН(A1:A12)

Максимум

=МАКС(A1:A12)

Розмах (R)

=МАКС(A1:A12)−МІН(A1:A12)

Стандартне відхилення (σ)

=СТАНДОТКЛОН(A1:A12)

• Чи збігаються результати із Завдання 1? _______
• Відформатуйте: заголовки — жирний шрифт, результати — 2 знаки після коми.

ЗАВДАННЯ 3. Аналіз та інтерпретація (3 бали)

На основі отриманих результатів дайте відповіді:

• 3.1. Порівняйте x̄ і Me. Чи надійне середнє для цього ряду?

___________________________________________________________________

• 3.2. CV = σ / x̄ · 100% = ______%. Чи однорідна вибірка?

___________________________________________________________________

• 3.3. Скільки учнів отримали бал вище за середнє? _______ з 12.
• 3.4. Поріг успішності x̄ ≥ 75. Чи успішний клас? _______ Обґрунтування:

_______________________________________________________

• 3.5. Який учень найбільше відхилився від середнього? |xᵢ − x̄| = _______

Критерії оцінювання

Завдання

Балів

Завдання 1: вручну (впорядкування, x̄, Me, Mo, R)

3

Завдання 2: формули в таблиці + форматування

4

Завдання 3: аналіз, інтерпретація, висновки

3

Разом

10

Оцінка: _______ Підпис учителя: _______________________