Підбірка задач на логіку

ЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ

1. У гаманці лежать дві монети на загальну суму 15 копійок. Одна з них не п’ятак. Що це за монети?
2. У сім’ї троє дітей: два хлопчики і дівчинка. Їх імена починаються з літери А, Б, В. Серед А та Б тільки одна є початковою літерою імені хлопчика. Серед Б та В тільки одна є початковою літерою імені хлопчика. З якої літери починається ім’я дівчинки?
3. Четверо хлопців Андрій, Борис, Василь та Григорій – змагалися з бігу. Наступного дня на запитання, хто яке місце посів, вони відповіли так:

Андрій. Яне був першим, ні останнім.

Борис. Я не був останнім.

Василь. Я був першим.

Григорій. Я був останнім.

Відомо, що три з цих відповідей правильні, а одна – неправильна. Хто сказав неправду? Хто був першим?

    4.   У коробці з олівцями є олівці різної довжини і різного кольору. Доведіть, що є два олівці, які відрізняються і за кольором, і за довжиною.

5.   У трьох урнах лежать кулі: у першій – дві білі, у другій – дві чорні, у третій – біла і чорна. На урнах висять таблички: ББ, ЧЧ і БЧ, але вміст кожної з урн не відповідає табличці. Як, діставши тільки одну кулю, визначити, в якій урні що лежить?

6.   Тетянка сказала: «В Андрійка більше ста книг».

Данилко заперечив: «Ні, менше».

Марійка сказала: «Ну, хоча б одна книга в нього, напевне, є». Скільки книг може бути в Андрійка, якщо з цих трьох тверджень рівно одне істинне?

7. Джин перетворив чотирьох розбійників у тварин.

Одного – у свиню, другого – в осла, третього – у верблюда, четвертого – в козла.

1.      Ахмед – не став ні свинею, ні козлом.
2.      Шариф – ні верблюдом, ні свинею.
3.      Якщо Ахмед не був верблюдом, то Омар не був свинею.
4.      Абу не обернувся ні свинею, ні козлом.
5.      Омар – ні козлом, ні верблюдом.

У кого перетворився кожен з братів?

8.   Червона Шапочка показала трьом поросятам п’ять беретиків – три червоних і два білих, зав’язала їм очі і одягла на кожного по беретику. Після цього вона розв’язала Ніф-Ніфу очі і спитала його, якого кольору в нього беретик. Ніф- Ніф не зміг відповісти. Потім вона розвzзала очі Наф- Нафу і задала йому те саме запитання. Наф- Наф також не зміг відповісти. Нарешті Нуф- Нуф заявив: «Можете не знімати з мене пов’язку, я і так знаю, якого кольору мій беретик». Якого кольору беретик Нуф- Нуфа?

КОНСТРУКЦІЇ ТА ЗВАЖУВАННЯ

1. Маємо два пісочні годинники: на 7 хвилин і на 11 хвилин, яйце вариться 15 хвилин. Як відміряти цей час з допомогою годинників?
2. Сказав Змій Івану-Царевичу: «Жити тобі до завтрашнього ранку. Вранці прийдеш до мене. Я задумаю три цифри a, b, c, а ти назвеш мені три числа – x, y, z. Після цього я скажу, чому дорівнює значення виразу ax+by+cz. Тоді мусиш вгадати, які цифри a, b, c я задумав. Не вгадаєш голова з пліч». Допоможіть Івану-Царевичу.
3. Лікар повинен оглянути трьох хворих з різними інфекційними хворобами. Як це зробити, якщо він має тільки дві пари гумових рукавичок?
4. Чи існують два послідовні натуральні числа такі, що сума цифр кожного з них ділиться на 7?
5. Чи існують декілька додатних чисел, сума яких дорівнює 1, а сума квадратів яких менша від 0,01?
6. За один хід число, записане на дошці, дозволяється або замінити на подвоєне, або стерти в нього останню цифру. Спочатку на дошці було написане число 458. Чи можна за декілька ходів дістати число 14?
7. Складіть із цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 три тризначних числа так, щоб сума двох чисел дорівнювала третьому і при цьому в одного з цих чисел цифра десятків дорівнювала б 8 (кожну цифру треба використовувати один раз).
8. Потяг рухався в одному напрямку 5,5 годин. Відомо, що за будь-який відрізок часу довжиною в одну годину він покривав відстань 100км.

      а) Чи правда, що поїзд рухався рівномірно?

      б) Чи правда, що середня швидкість поїзда дорівнює 100км/год?

      9.   Один чоловік щомісяця записував свої прибутки і видатки. Чи може бути так, що за будь-які 5 місяців поспіль його загальні видатки перевищили прибутки, а в цілому за рік його прибутки перевищили його видатки?

      10. Чи може бути так, що довжина всіх сторін одного трикутника менші  від 1см, довжина всіх сторін другого трикутника  більші від 100м, а площа першого трикутника більша від площі другого?

      11.Чи можна розташувати на площині шість точок і з’єднати їх відрізками  без само-перетинів так, щоб кожна точка була з’єднана рівно: а) з трьома іншими точками;

б) з чотирма іншими точками?

     12. На площині розміщена певна опукла фігура. Відомо,що будь які дві паралельні прямі, що мають з цією фігурою кожна лише по одній спільній точці, розміщена на відстані a одна від одної. Чи обов’язково задана фігура є кругом з діаметром а?

     13. Чи існує чотирикутна піраміда, дві протилежні бічні грані якої перпендикулярні до площини основи?

     14. Є 9 монет, одна з них фальшива( легша від справжньої ). За два зважування на шалькових терезах без гир знайдіть фальшиву монету.

     15. Є 101 монета. Серед них 100 однакових справжніх монет і одна фальшива, що відрізняється від них вагою. Необхідно дізнатися, легша чи важча фальшива монета від справжньої. Як це зробити з допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир?

     16. Серед 20 металевих кубиків однакових за розмірами і зовнішнім виглядом, є алюмінієві й дюралеві( важчі ). Як за допомогою 11 зважувань на шалькових терезах без гир визначити число дюралевих кубиків?

    17. Є 101 монета. Серед них 50 фальшивих. Кожна фальшива відрізняється від справжньої на один грам. За допомогою одного зважування на терезах зі стрілкою (показує різницю мас на чашах) визначити, чи є монета фальшивою.

ПАРНІСТЬ . ЧЕРГУВАННЯ. РОЗБИТТЯ НА ПАРИ.

     1.Кінь вийшов з поля а1 і через декілька ходів повернувся на нього. Доведіть, що він зробив парну кількість ходів.

     2. На площині розміщені 11 зубчастих коліс, з’єднаних у вигляді замкненого ланцюжка. Чи зможуть вони всі обертатись одночасно?

    3. Чи може пряма, що містить вершини замкненої 11- ланкової ламаної, перетинати всі її ланки?

    4. Катруся та її друзі стали в коло. Виявилося, що обидва сусіди в кожної дитини однієї статі. Хлопчиків серед Катрусиних друзів 5. А скільки дівчаток?

    5. Дано осьосиметричний опуклий 101- кутник. Доведіть, що вісь симетрії проходить через одну з його вершин.

    6. Чи можна опуклий 13- кутник розрізати на паралелограми?

    7. Автобусні квитки мають номери від 000000 до 999999. Квиток вважається щасливим, якщо сума перших трьох цифр його номера дорівнює сумі решти трьох. Доведіть, що загальна кількість щасливих квитків є парною.

   8. Петрик купив зошит обсягом 96 аркушів і занумерував сторінки: 1,2,3, … ,192. Василько вирвав із зошита 25 аркушів (не обов’язково по порядку ) і склав усі 50 чисел, які на них написані. Чи міг він дістати число 2004?

   9. Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює: а) 0; б) 1.

   10. Чи можна всі натуральні числа від 1 до 65 розбити на кілька груп так, щоб у кожній групі найбільше число дорівнювало сумі інших?

   11. Дано шість чисел: 1,2,3,4,5,6. Дозволяється до будь-яких двох з них додати 1. Чи можна зробити всі числа рівними?

   12. Чи можна скласти магічний квадрат із перших 36 простих чисел?

   13. У ряд вписані числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки «+» і «-» так, щоб значення здобутого виразу дорівнювало 0?

   14. У банці лежать білі і червоні зернята. Навмання виймають два з них. Якщо вони одного кольору, то замість них у банку кладуть чорне зернятко, якщо різних – то чорне зернятко забирають, а біле кладуть назад у банку. Врешті-решт у банці залишилось одне зернятко. Якого воно кольору, якщо спочатку білих зернят було 100?

   15. 100 фішок поставлено в ряд. Дозволяється міняти місцями будь-які дві фішки, що стоять через одну. Чи можна таким способом переставити всі фішки у зворотньому порядку?

   16. Чи існує многогранник, у якого 777 граней – трикутники, решта граней – чотирикутники і шестикутники?

   17. Одну з вершин правильного 2004-кутника пофарбовано в чорний колір, а решту його вершин – білий. За один крок дозволяється вибрати будь-яку зафарбовану в чорний колір вершину та змінити колір на протилежний у неї та ще у двох сусідніх із нею вершин. Чи можливо за декілька зазначених кроків перефарбувати всі вершини даного 2004-кутника в білий колір?

   18. На координатній площині накреслено коло з центром у точці (0;0) та радіусом 2004. У кожній з точок площини, що лежать в середині кола та обидві координати яких є цілі числа, сидить павук. У якийсь момент кожен з павуків переповзає на одиничну відстань праворуч, ліворуч, вгору або вниз, залишаючись в середині кола ( різні павуки можуть рухатись у різні боки). Чи обов’язково після переповзання два павуки зустрінуться в одній точці?