Посібник для позакласної роботи з математики у 5 класі

Смілянська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №11

Смілянської міської ради Черкаської області

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Посібник для позакласної роботи

з математики у 5 класі

 

 

 

 

 

 

                         Математика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м. Сміла

2021

Автор: Довга Т.Г., учитель математики Смілянської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №11 Смілянської міської ради Черкаської області

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Анотація

 

    Розвиток навичок розв'язування задач, безумовно, сприяє підвищенню рівня інтелекту учнів, а під час дозвілля - це дуже корисне тренування.

    Посібник містить задачі різних типів та зразки їх розв’язання, а також завдання для самостійної роботи учнів. Він стане у пригоді п’ятикласникам, які цікавляться математикою.

    Дані матеріали можуть використовувати вчителі математики при підготовці учнів до олімпіади з математики, конкурсу «Кенгуру»,  для гурткової роботи з предмета.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зміст

1. Анотація………………………………………………………….3
2. Задачі на розгляд крайнього випадку………………………….6
3. Рівноправна участь………………………………………………8
4. Задачі на зважування…………………………………………...11
5. Нестача й лишок………………………………………………..17
6. Цікаві обчислення………………………………………………19
7. Комбінаторні задачі………………………………………….…21
8. Логічні задачі………………………………………………...…23
9. Розв′язування задач за допомогою діаграм……………….…..27
10. Задачі на кмітливість……………………………………….…30
11. Різні задачі………………………………………………….….32
12. Цікаві задачі та різноманітні інтелектуальні ігри………..…34
13. Використана література………………………………………47

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Любий друже!

Якщо ти любиш математику, то цей посібник саме для тебе.

З чого почати?

• Читаючи задачу, застосовуй всю свою спостережливість і вміння   зосередитися, відбирай з неї ті факти, які потрібні для розв'язування;
• Визнач їх складові елементи;
• Намагайся виявити якусь модель,  або закономірність, а потім подумки перебери відповіді, що відповідають цій моделі або закономірності;
• Шляхом міркувань  відкидай ті відповіді, які здаються хибними;
• Перевір відповідь, яку вважаєш правильною, співставляючи свою гіпотезу з відомими даними. Якщо гіпотеза і дані відповідають одне одному, то можна взяти її як правильну. Якщо ж гіпотеза не відповідає даним задачі, відхили її та починай спочатку, формулюючи нову гіпотезу.
• Так роби доти, поки не отримаєш правильну відповідь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачі на розгляд крайнього випадку

Розглянемо задачу:

Чоловік підійшов до клітки, в якій сиділи фазани й кролі. Спочатку він порахував голови – їх виявилось 15. Потім він порахував лапи – їх було 42. Скільки кролів і скільки фазанів було в клітці?

Розв’язання.

 Якби в клітці були тільки фазани, то їх було б 42 : 2 = 21. Заміна двох фазанів на одного кроля не змінює кількості лап, але зменшує кількість голів на одну. Кількість голів треба зменшити на 21 – 15 = 6. Отже, в клітку замість 6 • 2 = 12 (фазанів) треба помістити 6 кролів. Після цього в клітці залишиться 15 – 6 = 9 (фазанів). Відповідь: В клітці було 9 фазанів і 6 кролів.

Можна розв’язати цю задачу, почавши з іншого боку. Якби в клітці було 15 кролів, то чоловік нарахував би 15 • 4 = 60 (лап). Це на 60 – 42 = 18 (лап) більше, ніж насправді. Отже, треба замінити 18 : 2 = 9 кролів на 9 фазанів (ділимо на 2, бо кожна заміна кроля на фазана зменшує кількість лап на дві). Після такої заміни в клітці залишиться 15 – 9 = 6 кролів.

Розв'яжи наступні завдання, використовуючи

розв'язану задачу як зразок

Задача 1. Закупили 138 м чорної і синьої тканини на 540 грн. Скільки метрів закупили однієї і скільки іншої тканини, якщо один метр синьої коштував 5 грн., один метр чорної – 3 грн.?

Задача 2. На лузі паслися 90 телят і гусей. Всього в них було 256 ніг. Скільки було телят і скільки було гусей?

Задача 3. У стоквартирному будинку є тільки три- і двокімнатні квартири. Площа трикімнатної квартири 80 м², а двокімнатної – 50 м². Скільки квартир кожного виду в будинку, якщо їх загальна площа 6890 м²?

Задача 4. Для туристів закуплено 100 білетів на поїзд на загальну суму 340 грн. Білети вартістю по 3 грн. і по 4 грн. Скільки закуплено білетів по 3 грн. і скільки по 4 грн.?

Задача 5. В установі стоїть 14 канцелярських столів з одною, двома і трьома шухлядами. Всього в столах 25 шухляд. Столів з одною шухлядою стільки, скільки столів з двома і трьома шухлядами разом. Скільки столів з трьома шухлядами?

Перевір себе.

Розв′язання задач 1-5.

Задача 1.

1) 138 · 5=690 (грн.) коштують 138 м синьої тканини;

2) 690-540=150 (грн.) – на стільки гривень треба зменшити вартість покупки;

3) 5-3=2 (грн.) - на стільки зменшується вартість тканини, якщо 1 м синьої замінити на 1 м чорної;

4)150:2=75 (м) синьої тканини треба замінити на 75 м чорної;

5)138-75=63 (м) синьої тканини.

Відповідь: 75 м чорної і 63 м синьої тканини.

Задача 2. Відповідь: 38 телят і 52 гуски.

Задача 3.

1)80 · 100=8000 (м²) площа сотні трикімнатних квартир;

2)8000-6890=1110 (м²) – на стільки загальна площа менша від площі 100 трикімнатних квартир;

3)80-50=30 (м²) – на стільки площа трикімнатної більша від площі двокімнатної квартири;

4)1110:30=37 (квартир) – стільки трикімнатних квартир треба замінити на двокімнатні, щоб загальна площа дорівнювала 6890 м²;

5)100-37=63 (квартири).

Відповідь: 63 трикімнатні й 37 двокімнатних квартир.

Задача 4.

1)100 · 4=400 (грн.) коштують 100 квитків по 4 грн.;

2)400-340=60 (грн.) – на стільки треба зменшити вартість покупки;

3)4-3=1 (грн.) заміна дорожчого квитка на дешевший зменшує всю суму на 1 грн., не змінюючи кількості білетів;

4)60:1=60 (квитків) по 4 грн. треба замінити на квитки по 3 грн.;

5)100-60=40 (квитків) по 4 грн.

Відповідь: 60 квитків по 3 грн. і 40 квитків по 4 грн.

Задача 5.

1)14:2=7 (столів) з одною шухлядою;

2)25-7=18 (шухляд) у семи столів з двома й трьома шухлядами;

3)7 · 2=14 (шухляд) у семи столів з двома шухлядами;

4)18-14=4(столи).
Відповідь: 4 столи з трьома шухлядами.

Рівноправна участь

Розглянемо задачу:

Жильці Трійкіна, П’ятіркіна, й Безпаливний вирішили зварити обід. Трійкіна поклала у спільну плиту 3 поліна, П’ятіркіна – 5 полін, а Безпаливний на відшкодування витрат заплатив сусідкам 40 копійок. Як вони мають поділити між собою ці гроші?

Розв’язання.

Безпаливний заплатив третину вартості палива, тобто, 40 копійок становлять третину вартості восьми полін. Отже, 40•3=120 (копійок) коштують 8 полін. 120:8=15 (копійок) коштує одне поліно. Трійкіна внесла палива на 3•15=45 (копійок). Їй треба повернути 45-40=5 (копійок). П'ятіркіна внесла палива на 5•15=75 (копійок). Їй треба повернути 75–40=35 (копійок).

 Відповідь: 5 к. і 35 к.

Розв'яжи наступні завдання, використовуючи

розв'язану задачу як зразок

Задача 1. Після роботи чоловік сів у таксі, щоб поїхати додому. Коли він проїхав половину шляху, у таксі підсів його сусід, який також повертався додому. Коли вони приїхали, лічильник показував 8 грн.. Скільки гривень має заплатити кожен пасажир?

Задача 2. Олег і Микола купили чіпси: за пакет масою 27 г Олег заплатив 1 грн. і 8 копійок, а Микола за пакет масою 18 г заплатив 90 к.. Кожен з них поділився чіпсами зі своїм другом Володею і вийшло, що всі троє з’їли однакову кількість (за масою) чіпсів. Скільки грошей Володя має віддати кожному з хлопців?

Задача 3. Терещенко й Павлюк – співвласники фірми. Терещенку належать акції фірми на суму 34 тисячі гривень, а Павлюку – 56 тисяч гривень. Вони вирішили частину акцій продати Якименку, так щоб кожний володів рівно третиною фірми. Скільки гривень Якименко має заплатити Терещенку і скільки - Павлюку, щоб кожен володів третьою частиною акцій?

Задача 4. Андрій з Віктором організували платну бібліотеку: Андрій приніс 48 книг по 6 грн. кожна, а Віктор – 27 книг по 8 грн. кожна. До них вирішив приєднатися Сергій, але книг для бібліотеки в нього не було, тому він вніс свою частину грошима. Скільки гривень Сергій заплатив Андрію і скільки - Віктору, щоб усі троє стали рівноправними власниками бібліотеки?

Задача 5. Максим, Руслан і Володя вирішили до Нового Року прибрати в класі ялинку. Максим приніс 25 ялинкових прикрас, Руслан 35 прикрас, а Володя приніс ялинку за 21 грн.. Підрахувавши вклад кожного, хлопці прийшли до висновку, що Володя і Максим винні Руслану гроші. Володя розрахувався, віддавши Руслану 2 грн.. Скільки грошей має віддати Руслану Максим, щоб вклад кожного був однаковим?

Перевір себе

Розв′язання задач 1-5.

Задача 1. Половину шляху чоловік має оплачувати сам – це становить 8:2=4 (грн.); другу половину шляху він має оплатити з сусідом пополам, тобто, кожен має заплатити по 4:2=2 (грн.). Всього чоловік має заплатити 4+2=6 (грн.). Відповідь: Чоловік має заплатити 6 грн., а сусід – 2 грн.

Задача 2. Хлопці з’їли по (27+18):3=15 г чіпсів кожний. Олег віддав другові 27-15=12 г чіпсів, а Микола = 18-15=3 г. Чіпси Олега коштують по 108:27=4 копійки за 1 грам, тому Володя має віддати йому 12 · 4=48 копійок; чіпси Миколи коштують по 90:18=5 копійок за 1 грам, Володя йому винний 3 · 5=15 копійок. 
Відповідь: Володя має віддати Олегу 48 коп., а Миколі – 15 копійок. 
У цієї задачі може бути ще один розв’язок, якщо хлопці змішали чіпси в суміш і поділили утворену суміш порівну. В цьому випадку вони поділять чіпси порівну не тільки за масою, але й за вартістю. Тоді кожен з’їсть суміші на (108+90):3=66 копійок, так що Олегові Володя має віддати 108-66=42 копійки, а Миколі 90-66=24 копійки.

Задача 3. Після поділу акцій порівну на трьох кожен став власником акцій на суму (34 000+56000):3=90000:3=30000 (грн). Отже, Якименко має заплатити Терещенку 34000-30000=4000 грн, а Павлюку 56000-30000=26000 грн.

Задача 4. Андрій зробив внесок на суму 48 · 6=288 грн, а Віктор – 27 · 8=216 грн. Доля кожного становить (288+216):3=168 грн. Отже, Сергій заплатив Андрію 288-168=120 грн, а Віктору – 216-168=48 грн.

Задача 5. 21+2=23 (грн.) вніс Володя – це третина від вартості всіх предметів. Все коштує 23 · 3=69 (грн.). Максим і Руслан принесли прикрас на суму 69-21=48 (грн.). 25+35=60 (прикрас) коштують 48 грн., тоді ціна 1 прикраси становить 4800:60=80 (к.). Максим приніс прикрас на суму 25 · 80=2000(к.)=20 (грн.)

Задачі на зважування

Задачі на зважування різко відрізняються від звичайних шкільних задач, які є в шкільному підручнику. Щоб розв’язати таку задачу, необхідно уявити відповідну ситуацію і проаналізувати всі можливі варіанти. В розв’язанні необхідно описати певні дії і зроблені з них висновки. В задачах на зважування часто йде мова про терези без гир. Ними можна порівнювати предмети (важчий, легший, однакові) але не можна виміряти точну їх вагу. Розглянемо кілька таких задач.

Розглянемо задачі:

Задача 1.

На одній шальці терезів лежить цеглина, а на другій – половина такої самої цеглини і ще дві гирі: 1 кг і 500 г. Терези зрівноважені. Знайди масу цеглини.

Розв’язання.

Якщо з обох шальок терезів зняти по половині цеглини, вони залишаться зрівноваженими. Тоді гирі 1 кг і 500 г врівноважують другу половину цеглини. Отже, вся цеглина важить в 2 рази більше, тобто 3 кг.

Задача 2. Серед трьох монет одна фальшива (легша від двох інших, однакових за масою). За допомогою одного зважування на терезах без гир виділити фальшиву монету.

Розв’язання.

 Одну монету покладемо на одну шальку терезів, а другу – на іншу шальку. Якщо вони зрівноважаться, то третя монета – фальшива. Якщо не зрівноважаться, то фальшива монета лежить на тій шальці, яка піднялася догори.

Задача 3. Відомо, що монети 1, 2, 3, і 5 копійок важать відповідно 1, 2, 3 і 5 грам. Серед чотирьох монет (по одній кожного ґатунку) одна бракована. Як за допомогою зважувань на шалькових терезах без важків знайти браковану монету?

Розв’язання.

Позначимо монети по 1, 2, 3 і 4 копійки відповідно М1, М2, М3 і М4. Зважимо монети М1 і М2 з монетою М3. Можливі три результати зважування: терези зрівноважаться, М1 і М2 легші від М3, М1 і М2 важчі від М3. Розглянемо кожен з випадків.

Якщо М1 і М2 зрівноважилися з М3, то М5 – фальшива.

Якщо М1 і М2 легші від М3, то М5 – справжня і зробимо ще одне зважування: з одного боку покладемо М2 і М3, а з іншого М5:

якщо терези зрівноважаться, то М1 – фальшива;

Якщо М2 і М3 легші від М5, то М1 – справжня і фальшива монета легша від справжньої: оскільки М1 і М2 легші від М3 і М1 – справжня, то фальшивою є монета М2;

Якщо М2 і М3 важчі від М5, М1 – справжня і фальшива монета важча від справжньої: оскільки М1 і М2 легші від М3 і М1 – справжня, то фальшивою є монета М3.

Якщо М1 і М2 важчі від М3, то М5 – справжня і зробимо ще одне зважування: з одного боку покладемо М2 і М3, а з іншого М5:

якщо терези зрівноважаться, то М1 – фальшива;

Якщо М2 і М3 легші від М5, то М1 – справжня і фальшива монета легша від справжньої: оскільки М1 і М2 важчі від М3 і М1 – справжня, то фальшивою є монета М3;

• Якщо М2 і М3 важчі від М5, М1 – справжня і фальшива монета важча від справжньої: оскільки М1 і М2 важчі від М3 і М1 – справжня, то фальшивою є монета М2.

Розв'язання цієї задачі добре видно з малюнка:

 

 

 

Розв'яжи наступні завдання, використовуючи

розв'язану задачу як зразок

Задача 1. У пакеті 9 кг крупів, За допомогою терезів з гирями 50 г і 200 г треба розкласти ці крупи у два пакети: в один – 2 кг, в другий – 5 кг. Спробуйте це зробити за три зважування. Знайдіть два способи розв’язання цієї задачі.

Задача 2. У пакеті 3 кг 600 г крупів. Є шалькові терези і гиря 200 г. Як поділити крупи на три пакети: 800 г, 800 г і 2 кг – за допомогою трьох зважувань?

Задача 3. З дев’яти однакових на вигляд монет виділити одну фальшиву (важчу за справжні) за два зважування.

Задача 4. Є 5 монет, серед яких одна фальшива (невідомо, легша вона чи важча від справжньої). Маса справжньої монети 5 г. Як за допомогою двох зважувань на терезах можна визначити фальшиву монету, маючи одну гирю масою 5 г?

Задача 5. Є 9 монет, серед яких одна фальшива (невідомо, легша вона чи важча від справжньої). Як за допомогою трьох зважувань на терезах без гир виділити фальшиву монету?

Розв′язуючи останні дві задачі, намалюй до них схеми, як в поясненні до задачі 3.

Перевір себе.

Розв′язання задач 1-5.

Задача 1. Перше зважування: розділимо 9 кг у два пакети по 4500 г, розваживши крупу порівну на обох шальках терезів. Друге зважування: один із пакетів розважимо пополам в два пакети по 2250 г у кожному. Третє зважування: із пакета масою 2250 г відсиплемо 250 г, зваживши їх за допомогою гир.

В пакеті залишиться 2кг крупи.
Відважимо 5 кг таким способом: перше зважування – 4500 г і 4500 г;  друге зважування: відважимо 250 г з одного пакета і всиплемо їх в другий, одержимо 4250 г і 4750 г; третє зважування – із пакета масою 4250 г відважимо 250 г і знову висиплемо в інший пакет, в ньому одержимо 5 кг крупи.

Задача 2. Перше зважування: 1800 г і 1800 г. Друге зважування: відважимо 200 г за допомогою гирі й висиплемо їх в пакет масою 1800 г – одержимо в одному пакеті 2 кг. Третє зважування: розважимо пакет масою 1600 г пополам по 800 г.

Задача 3. Розділимо 9 монет на три групи по 3 монети. На терези покладемо перші дві групи. Якщо шальки зрівноважаться, то фальшива монета в третій групі. Якщо шальки не зрівноважаться, то фальшива монета в групі, яка переважила іншу групу. Отже, ми виділили 3 монети, серед яких одна фальшива. ЇЇ можна виділити ще за одне зважування, як у задачі Б пояснювальної частини.

Задача 4. Позначимо монети №1, №2, №3, №4 і №5. Покладемо монети №1 і №2 на одну шальку, а монету №3 з гиркою – на другу. Якщо шальки зрівноважені, то фальшива знаходиться серед відкладених (№4 або №5). За друге зважування на одну шальку покладемо монету №4, а на другу – гирю. Якщо терези зрівноважені, то фальшивою є монета №5; якщо не зрівноважені, то фальшивою є монета №4. Якщо при першому зважуванні шальки не зрівноважені , то можливі два випадки:

переважує шалька з монетами №1 і №2 – тоді фальшива монета або №1 чи №2 (тоді вона важча від справжньої), або №3 (тоді вона легша від справжньої). Відкладені монети №4 і №5 – справжні. Для другого зважування на одну шальку покладемо монети №1 і №3, а на іншу - №4 і №5. Якщо переважать №1 і №3, то фальшива - №1, якщо переважать №4 і №5, то фальшива - №3, якщо вони зрівноважаться, то фальшива - №2;

переважує шалька з монетою №3 і гирею – тоді фальшива монета або №1 чи №2 (тоді вона легша), або №3 ( тоді вона важча); при другому зважуванні фальшивою буде монета №3, якщо переважує шалька з монетами №1 і №3; фальшивою буде монета №1, якщо переважують №4 і №5; фальшивою буде – №2, якщо №1 і №3 зрівноважені монетами №4 і №5.

Задача 5. Розділимо монети на три групи по три монети в кожній. Якщо монети №1, №2 і №3 зрівноважені монетами №4, №5 і №6, то вони справжні, а фальшива - серед монет №7, №8 і №9. Для другого зважування на одну шальку покладемо справжні монети (наприклад №1,№2 і №3), а на другу – монети №7,№8 і №9. Якщо переважать справжні монети, то фальшива – легша, якщо переважать монети №7,№8 і №9, то фальшива – важча. При третьому зважуванні легко визначити фальшиву монету, як у задачі №14.4.
Якщо монети №1, №2 і №3 переважать монети №4, №5 і №6, то монети №7, №8 і №9 – справжні. Для другого зважування на одну шальку покладемо монети №1, №2 і №3, а на другу - №7, №8 і №9. Якщо монети не зрівноважені, то фальшива – серед монет №1, №2 і №3, причому вона важча, якщо №1, №2 і №3 переважать – і легша, якщо переважать монети №7,№8 і №9. Якщо при другому зважуванні №1, №2 і №3 зрівноважать групу монет №7, №8 і №9, то фальшива монета серед монет №4, №5 і №6, причому вона легша, якщо при першому зважуванні монети №1, №2 і №3 переважили монети №4, №5 і №6, і важча, якщо при першому зважуванні монети №4, №5 і №6 переважили монети №1, №2 і №3. Таким чином, після другого зважування ми визначили трійку монет, серед яких є фальшива, і знаємо важча вона чи легша. При третьому зважуванні визначимо фальшиву монету, як у задачі В.

 

Нестача й лишок

Розглянемо задачу:

Кілька кружечків однакового розміру розклали у вигляді квадрата. При цьому п’ять кружечків виявилися зайвими. Якщо кожну сторону квадрата збільшити на один кружечок, то не вистачить 8 кружечків. Скільки було кружечків?

Розв’язання.

При збільшенні кожної сторони квадрата на один кружечок, їх кількість збільшиться на 5 + 8 = 13. Це кількість кружечків у двох сторонах квадрата, причому кутовий кружечок врахований двічі. Тому сторона меншого квадрата дорівнює (13 – 1) : 2 = 6 (кружечків). Тоді менший квадрат складається з 6 · 6 = 36 (кружечків). Оскільки при складанні 5 кружечків були зайвими, то всього було 36+5=41 (кружечок).

Розв'яжи наступні завдання, використовуючи

розв'язану задачу як зразок

Задача 1. Якби Івась купив 6 зошитів, то у нього залишилось би 70 к, а якби він захотів купити 10 зошитів, то йому б не вистачило 50 к. Скільки грошей було в Івася?

Задача 2. Солдати вишикувалися в 6 рядів, але три солдати виявилися лишніми. Тоді з кожного ряду по одному солдату стали в сьомий ряд, і тепер уже двох солдатів не вистачало, щоб заповнити останній ряд. Скільки було солдатів?

Задача 3. Кілька учнів, бажаючи купити футбольний м’яч, склались по 10 грн., але виявилось, що зібрана сума менша від вартості м’яча на 30 грн. Коли кожний учень додав ще по 2 грн., то вся зібрана сума грошей перевищила вартість м’яча на 14 грн. Скільки було учнів і скільки гривень коштував м'яч?

Задача 4. Один чоловік вирішив продати картоплю, щоб на виручені гроші купити дочці магнітофон. Коли він продав 70 кг картоплі, то на магнітофон ще не вистачало 12 грн., а коли він продав 90 кг картоплі, то виявилося, що в нього вже на 6 грн. більше, ніж треба на магнітофон. Скільки гривень коштує магнітофон?

Задача 5. Поле треба зорати в установлений строк. Якщо трактор витратить на 2 дні більше від строку, а якщо він оратиме по 6 га за день то закінчить роботу за 1 день до строку. Яка площа поля і за скільки днів по плану мають його зорати?

Перевір себе.

Розв′язання задач 1-5.

Задача 1.

70+50=120 (к.) коштують 10-6=4 (зошити);

120:4=30 (к.) коштує1 зошит;

6 · 30+70=250 (к.) було в Івася.

Відповідь: 2 грн. 50 к..

Задача 2. Сьомий ряд складався з трьох лишніх солдат, шістьох солдат по одному від кожного ряду і ще двох солдат не вистачало. Отже, в сьомому ряді мало стояти 3+6+2=11 (солдат). В семи рядах мало стояти 7 · 11=77 (солдат). Оскільки двох солдат не вистачало, то насправді було 77-2=75 (солдат). 
Відповідь: 75 солдат.

Задача 3. Учні додатково зібрали 30+14=44 (грн). Оскільки кожен учень дав по 2 грн., то учнів було 44:2=22. Спочатку вони зібрали 22 · 10=220 (грн). Отже, м’яч коштував 220+30=250 (грн).
Відповідь: Учнів було 22, м'яч коштував 250 грн.

Задача 4. 90-70=20 (кг) коштують 12+6=18 (грн). 1 кг картоплі коштує 1800:20=90 (копійок). 70*90=6300 (к) = 63 (грн). Магнітофон коштує 63+12=75 (грн). 
Відповідь: 75 грн.

Задача 5. Виорюючи по 6 га за день, трактор виконає роботу на 1+2=3 (дні) швидше. Якби він орав по 4 га за день, то йому залишилося б ще 4 · 3=12 (га). Ця різниця накопилася за 12:2=6 (днів) по 6-4=2 (га) щодня. Отже, площа поля становить 6 · 6=36 (га), а строк, виділений для роботи дорівнює 6+1=7 (днів).

 

Цікаві обчислення

Різноманітні задачі на обчислення на перший погляд можна розв’язати тільки методом проб та помилок. Хочу зауважити, що це потужний метод, але дуже трудомісткий і непевний. Тому цінуються більш надійні методи. Спробую показати, які міркування можуть допомогти в обчисленнях.

Розглянемо задачу:

Між цифрами 7 9 2 3 4 8 6 розставити арифметичні знаки + та – так, щоб в результаті вийшло число 15.

Розв’язання.

Іншими словами сума всіх чисел, які треба додати, більша від суми чисел, які треба відняти, на 15. Сума цих двох сум дорівнює сумі всіх чисел: 7+9+2+3+4+8+6=39.

Друга сума дорівнює (39-15):2=12, а перша 12+15=27. Отже перед числами, сума яких дорівнює 12, треба поставити знак мінус. Зрозуміло, що в цю суму не може входити перше число. Знайдемо всі можливі варіанти: 9+3=12, 2+4+6=12, 4+8=12. Варіант 7-9+2-3+4+8+6 не задовольняє умову, бо від 7 не можна відняти 9; інші два варіанти відповідають умові: 7+9-2+3-4+8-6 і 7+9+2+3-4-8+6.

Розв'яжи наступні завдання, використовуючи

розв'язану задачу як зразок

Задача 1. Розставити дужки, щоб рівність була правильною 9664 : 32 – 2 • 195-37*5 = 3000.

Задача 2. Поставити у записі 4 • 12 +18 : 6 + 3 дужки так, щоб отримати найбільше можливе число.

Задача 3. Замість зірочок поставити знаки дій , щоб одержати вірну рівність (8 * 8) * (6 *6) = 100.

Задача 4. Між цифрами 9 1 6 3 4 5 7 розставити арифметичні знаки + та – так, щоб в результаті вийшло число 15.

Задача 5. Чому дорівнює число (1901+1902+1903+...+1996)-(101+102+103+...+196)?

 

Перевір себе.

Розв′язання задач 1-5.

Задача 1. (9664 : 32 – 2 )• (195-37*5) = 3000.

Задача 2.

Множники мають бути найбільшими. Із виразів (12+18):6, (12+18:6) і (12+18:6+3) найбільше значення приймає останній.                   Тому 4 • (12 +18 : 6 + 3) приймає найбільше можливе число.

Задача 3.

(8*8)+(6*6)=100.

Задача 4.

Відповідь:

9-1+6+3-4-5+7=15; 9+1-6+3-4+5+7=15; 9+1+6-3+4+5-7=15.

Задача 5.

Можна помітити, що 1901-101=1800, 1902-102=1800 і т.д. Можна утворити 96 таких різниць: 96•1800=172800.

 

Комбінаторні задачі.

Розглянемо задачу:

 У шаховому турнірі брали участь 7 чоловік. Кожний з кожним зіграв по одній партії. Скільки партій вони зіграли?

Розв’язання.

Два гравці зіграли одну партію. Третій гравець зіграв з кожним з цих двох по партії. Отже, 3 гравці зіграли (1+2) партії. Четвертий зіграв з кожним з трьох попередніх по партії отже, 4 гравці зіграли (1+2+3) партії. Продовжуючи подібні міркування, прийдемо до того, що 7 гравців зіграли 1+2+3+4+5+6=21 партію.

Можна міркувати інакше. Кожен гравець зіграв по 6 партій – по одній партії з кожним з решти учасників. Оскільки учасників було 7 і кожну партію грають два учасники, то всіх партій було 7 • 6 : 2 = 21.

Розв'яжи наступні завдання, використовуючи

 розв'язану задачу як зразок

Задача 1. Є 5 валіз і 5 ключів від цих валіз, але невідомо, який ключ від якої валізи. Скільки спроб доведеться зробити в найнесприятливішому випадку, щоб підібрати до кожної валізи відповідний ключ

Задача 2. У коробці лежить сотня прапорців –червоних, зелених, жовтих і синіх. Яку найменшу кількість прапорців треба вийняти з коробки, не дивлячись, щоб серед них було не менш як десять одного кольору?

Задача 3. У касира є монети по 5 копійок і по 10 копійок. Скількома способами він може дати здачу 50 копійок?

Задача 4. Скількома способами можна записати число 10 у вигляді суми чотирьох непарних чисел? Записи, що відрізняються порядком доданків, вважати однаковими.

Перевір себе.

Розв′язання задач 1-4.

Задача 1.

Підберемо ключ до першої валізи: в найгіршому випадку до неї не підійшли 4 ключі; зрозуміло , що 5-й ключ буде від цієї валізи. До другої валізи ключ можна підібрати за 3 спроби, до третьої - за дві, до другої – за одну й залишиться ключ від останньої валізи. Отже, нам треба зробити 4+3+2+1=10 (спроб).

Задача 2.

Якщо взяти по 9 прапорців кожного кольору, то наступний прапорець буде десятим. Отже, треба взяти 9•4+1=37 (спроб).

Задача 3.

5•10=50, або 4•10+2•5=50, або 3•10+4•5=50, або 10•5=50. Шістьма способами.

Задача 4.

1+1+1+7=1+1+3+5=1+3+3+3. Трьома способами.

Логічні задачі

Розглянемо задачу:

 Дівчата Береза, Верба і Тополя посадили три дерева: березу, вербу й тополю. Жодна з них не посадила дерева, від якого пішло її прізвище. Яке дерево посадила кожна дівчинка, якщо відомо, що Береза посадили не тополю.

Розв’язання.

Умови подібних задач зручно записувати в таблицю:

Дівчина\ Дерево	береза	верба	тополя
Береза	1 -	5 +	4 -
Верба	8 -	2 -	9 +
Тополя	7 +	6 -	3 -

Оскільки жодна дівчина не посадила дерева, від якого пішло її прізвище, то Береза не посадила березу, Верба не посадила вербу, а Тополя – тополю ( в клітинках 1, 2, 3 поставимо знак “ – “). Оскільки Береза не садила тополю, то в клітинці 4 поставимо ”–”. З першого рядочка таблиці видно, що Береза могла посадити лише вербу (в клітинці 5 поставимо „+„). В другому стовпчику тільки одна вільна клітинка – 6. Так як вербу посадила Береза, то Тополя її не садила, тому в клітинці 6 ставимо „-„. З третього рядка видно, що Тополя посадила березу: „+” в клітинку 7. Отже, Верба березу не садила й ставимо „-„ в клітинку 8. Їй залишається тополя.

Відповідь: Береза посадила вербу, Верба – тополю, Тополя березу.

Розв'яжи наступні завдання, використовуючи

розв'язану задачу як зразок

Задача 1. В черзі в шкільному буфеті стоять Юра, Коля, Володя, Саша та Олег. Юра стоїть перед Колею, але після Олега. Володя і Олег не стоять поруч, а Саша не знаходиться поруч ні з Олегом, ні з Юрою, ні з Володею. В якому порядку стоять хлопчики?

Задача 2. Бровченко, Мороз, Петренко і Савченко живуть на одній вулиці. Один з них кравець, другий – тесляр, третій – тракторист, четвертий – швець. Одного разу кравець прийшов до свого друга – теслі, щоб попросити його полагодити двері, але йому сказали, що тесля допомагає Морозу лагодити дах. Визнач професію кожного, якщо відомо, що: 1) Петренко не тесля, а Савченко майже не знайомий з теслею;
2) Мороз не вміє водити трактора.

Задача 3. Зустрілися скульптор Белов, скрипаль Чернов і художник Руденко. „Чудово, що один з нас блондин, другий - брюнет, а третій - рудий, але в жодного волосся не того кольору, про який свідчить його прізвище” – зауважив брюнет. „Ти маєш рацію” – сказав Белов. Якого кольору волосся художника?

Задача 4. Вздовж алеї , що простяглася з півночі на південь, ростуть вишня, груша, горіх, персик слива та яблуня. Відомо, що яблуня міститься на північ від груші, але на південь від горіха. Груша росте поруч зі сливою, а горіх – поруч із персиком. Між яблунею і персиком – два дерева; стільки ж дерев між грушею і вишнею. Між вишнею і персиком є ще одне дерево. В якому порядку ростуть дерева?

Задача 5. Олена, Тетяна, Микола і Дмитро збирали ягоди. Тетяна зібрала ягід найбільше, Олена – не менше від усіх. Чи правильно, що дівчата Зібрали ягід більше від хлопців?

Перевір себе.

Розв′язання задач 1-5.

Задача 1. Юра стоїть перед Колею, але після Олега, тому не може бути ні першим, ні останнім. Перед Колею стоять Юра й Олег, тому він не може бути ні першим, ні другим. Після Олега стоять Коля і Юра, тому Олег не може бути ні четвертим, ні п’ятим.
Саша не знаходиться поруч ні з Олегом, ні з Юрою, ні з Володею. Отже в нього є лише один сусід – Коля. Тому він не може бути ні другим, ні третім, ні четвертим. Якби він був першим, то друге місце мав би зайняти Коля, але це неможливо. Таким чином Саша стояв останнім, а Коля поруч, тобто четвертим.
Олег і Володя не стоять поруч, тому жоден з них не може зайняти друге місце. Таким чином, воно залишається для Юри.
Оскільки Юра стоїть після Олега, то Олег був першим. Володі залишається третє місце.
Відповідь: Хлопці стояли так: Олег, Юра, Володя, Коля, Саша.

Задача 2. Оскільки тесля допомагає Морозу, то Мороз не тесля і не кравець. Петренко не тесля, Савченко не тесля, бо він майже з ним не знайомий. Отже теслею може бути тільки Бровченко. Оскільки Мороз не вміє водити трактора, то він не тракторист. Значить, він швець. Савченко майже не знайомий з теслею, а кравець – друг теслі, так що Савченко – не кравець – він може бути лише трактористом. Отже, Петренко – кравець.

Задача 3. Скульптор Бєлов не блондин за зауваженням брюнета, і не брюнет, бо брюнет – співрозмовник Бєлова. Отже, Бєлов – рудий. Тоді скрипаль Чернов – блондин, а художник Руденко – брюнет.

Задача 4. Яблуня на північ від груші, але на південь від горіха, тому груша не може займати перше або друге місце, горіх – п’яте або шосте, яблуня - перше й шосте. Оскільки горіх поруч з персиком, то персик не займає шосте місце. Оскільки між Яблунею і персиком два дерева, то персик може бути першим другим або п’ятим. Між вишнею і персиком одне дерево, тому вишня може бути третьою або четвертою. Між грушею і вишнею два дерева, тому вишня не може бути четвертою. Значить вона третя. Тоді груша – шоста. Слива стоїть поруч з нею – п’ята. Персик - перший, яблуня – четверта, а горіх – другий. Відповідь: З півночі на південь дерева ростуть так: персик, горіх, вишня, яблуня, слива, груша.

Задача 5. Правильно, Олена зібрала найбільше, вона зібрала більше від кожного з хлопців, Так як Тетяна зібрала не найменше, але менше від Олени, то вона зібрала більше хоча б від одного з хлопців. Отже, разом дівчата зібрали більше від хлопців.

 

Розв′язування задач за допомогою діаграм

 

Розглянемо  задачу:

Приїхало 100 туристів. З них 10 чоловік не знали ні німецької, ні французької мов, 75 знали німецьку мову і 83 знали французьку. Скільки туристів знали і французьку, і німецьку мови?

Розв’язання.

Прямокутник – це всі 100 туристів (дивись малюнок), жовтим кольором зображені туристи, що не знають жодної мови, червоний круг – це 75 туристів, що знають німецьку мову, синій круг – це 83 туристи, що знають французьку мову. Перетин кіл – туристи, що знають обидві мови. Їх кількість треба знайти. 100 – 10 = 90 туристів знали хоча б одну мову. 90 – 83 = 7 туристів знали тільки німецьку. 75 – 7 = 68 туристів знали обидві мови.

Знайди інші способи розв’язання цієї задачі.

Розв'яжи наступні завдання, використовуючи

розв'язану задачу як зразок

Задача 1. Про учнів школи, які брали участь в міській олімпіаді, директор школи сказав: „7 з них добре розв’язують задачі з математики і з фізики”, учитель математики сказав: „11 з них добре розв’язують задачі з математики”, учитель фізики сказав: „9 з них добре розв’язують задачі з фізики». Скільки учнів приймало участь в міській олімпіаді?

Задача 2. За шапку і за шарф заплатили 30 грн.. Скільки коштує шапка, якщо вона дорожча від шарфа в 4 рази?

Задача 3. Мій заробіток за останній місяць разом з премією становить 130 грн. Основна плата на 100 грн. більша від премії. Яка моя зарплата (без премії)?

Задача 4. Дехто купив плащ, капелюх і калоші й заплатив за все 20 грн. Плащ коштує на 10 грн. більше, ніж капелюх, а капелюх і плащ разом на 16 грн. більше, ніж калоші. Скільки коштує кожна річ окремо?

Перевір себе.

Розв′язання задач 1-4.

Задача 1.

1) 11-7=4 (учні) розв’язують задачі тільки з математики;
2) 9+4=13 (учнів) брало участь в олімпіаді.

Задача 2.

1) 1+4=5 (шарфів) коштують 30 грн.;
2) 30:5=6 (грн.) коштує 1 шарф;
3) 6•4=24 (грн.) коштує шапка.

Задача 3.

 

1. (130-100):2=15 (грн.) – премія;
2.  15+100=115 (грн.) – зарплата.

Задача 4.

1)(20-16):2=2 (грн.) коштують калоші (мал. 18); 
2) 20-2=18 (грн.) коштують капелюх і плащ;
3) (18-10):2=4 (грн.) коштує капелюх;
4) 4+10=14 (грн.) коштує плащ.
 

 

Задачі на кмітливість

 

Багато задач не підлягають звичайному розв’язуванню. Їх особливістю є несподіваний поворот у міркуваннях. Традиційний підхід майже гарантує хибний результат. Щоб знайти вихід із на перший погляд неможливої ситуації, необхідно проявити неабияку винахідливість.

Розглянемо задачі:

Задача 1. У семи братів по дві сестри. Скільки всього дітей?

Розв’язання.

Найчастіше учні множать 7 на 2 і, звичайно, помиляються. Оскільки мова йде про одну сім’ю, дві сестри являться сестрами для кожного з братів. Отже, в сім’ї 7+2=9 дітей.

Задача 2.

На столі лежали цукерки в купці. Дві мами, дві дочки й бабуся з внучкою взяли по одній цукерці й купки не стало. Скільки цукерок було в купці?

Розв’язання.

На перший погляд, мова йде про 6 людей, отже, в купці має бути 6 цукерок. Якщо ж в задачі мається на увазі одна сім’я, то внучка може бути ще й дочкою, мама – дочкою, а бабуся – мамою, і стає зрозумілим, що мова йде про трьох людей. Отже, в купці 3 цукерки.

 

 

 

Розв'яжи наступні завдання, використовуючи

розв'язану задачу як зразок

Задача 1. По стовпу висотою 10 м повзе равлик. За день він піднімається на 5 м, а за ніч опускається на 4 м. Скільки днів треба равлику, щоб піднятися на верхівку стовпа?

Задача 2. В двох ящиках для уроків праці зберігалися ножиці по 20 штук в кожному. Перед уроком праці вчителька взяла кілька ножиць з одного ящика, а потім з другого ящика взяла стільки, скільки залишилося в першому ящику. Скільки ножиць залишилося в обох ящиках?

Задача 3. В токарному цеху заводу виточують деталі із свинцевих брусків. З одного бруска виходить одна деталь. При обробці деталей дістають стружку, яку переплавляють в нові бруски. Із стружок, одержаних при виготовленні 4 деталей, виплавляється один новий брусок. Скільки деталей можна зробити таким чином із 16 свинцевих брусків?

Задача 4. О третій годині настінний годинник відбиває три удари за 12 секунд. За скільки секунд цей годинник відбиває 6 ударів о 6 годині вечора?

Задача 5. Трійка коней, запряжена в карету, пробігла 15 км. Скільки кілометрів пробіг кожний кінь?

Перевір себе.

Розв′язання задач 1-5.

Задача 1. 15 км.

Задача 2. В обох ящиках залишилося 20 ножиць.

Задача 3. З 16 брусків одержують 16 деталей, а відходи переплавляють на 4 нові бруски. З них одержують ще 4 деталі, а з відходів виходить ще один брусок, з якого роблять одну деталь. Всього можна зробити 16+4+1=21 (деталь).

Задача 4. 12 секунд тривають 2 паузи між ударами. Тривалість однієї паузи 12:2=6 (с). О 6-й годині між шістьма ударами п’ять пауз. Їх тривалість 6•5=30 (с).

Задача 5. 15 км

Різні задачі.

Пропоную розв′язати  задачі на повторення. Їх розв’язати можна використовуючи методи, які ми розглянули раніше. Ти можеш скористатися раніше розглянутими нами задачами як зразком.

Задача 1. Учаснику гри було запропоновано 30 запитань. За кожну правильну відповідь він отримував 7 балів, а за кожну неправильну (або відсутність відповіді) знімали 12 балів. Скільки правильних відповідей дав учасник гри, якщо він отримав 77 балів?

Задача 2. На 100 крб. купили 100 голів худоби: коней, корів і овець. За коней заплатили по 10 крб., за корів по 5 крб., а за овець по 50 коп. за голову. Скільки було голів кожної худоби?

Задача 3. Група з чотирьох дівчат на уроці праці готували салат: Юля принесла на салат майонез, яйця і цибулю; Наташа огірки й зелений горошок; Оля ковбасу й картоплю; Леся продуктів не принесла – вона мала свою частку внести грошима. Скільки грошей Леся має віддати кожній з дівчат, якщо огірки коштують 1грн. 10 к., зелений горошок - 2 грн. 40 к., цибуля - 70 к., майонез - 1 грн.60 к., яйця - 1 грн.50 к., картопля - 80 к. і ковбаса - 3 грн. 10 к.?

Задача 4. В кімнаті стоять стільці й табуретки. В кожної табуретки по три ніжки, в кожного стільця по чотири. Коли на всіх табуретках і стільцях сидять люди, то в кімнаті 39 „ніг”. Скільки стільців і скільки табуреток у кімнаті?

Задача 5. Дві дівчинки чистили картоплю. Одна очищала за хвилину 2 картоплини, а друга 3 картоплини. Разом вони очистили 400 картоплин. Скільки часу працювала кожна з дівчат, якщо друга працювала на 25 хвилин більше, від першої?

Перевір себе.

Розв′язання задач 1-5.

Задача 1.

Якби всі відповіді були правильними, то учасник набрав би 30•7=210 балів, але це на 210-77=133 бали більше, ніж насправді. Заміна однієї правильної відповіді на неправильну зменшує кількість балів на 7+12=19. Треба зробити 133:19=7 таких замін.

Таким чином, насправді було 7 помилкових відповідей і 30-7=23 правильні відповіді. 
Відповідь: 23 правильні відповіді й 7 неправильних.

Задача 2.

Якщо на 100 крб. купити коней, то вийде всього 100:10=10 (голів). Потрібно збільшити кількість голів худоби на 100-10=90, не змінивши вартості покупки. Отже, частину коней треба замінити дешевшою худобою. Якщо 1 коня замінити 1 коровою і 10 вівцями, то кількість худоби збільшиться на 10 голів, а вартість не зміниться. Необхідно здійснити 90:10=9 (таких замін). Після цього залишиться 10-9=1 (кінь), 9•1=9 (корів) і 9•10=90 (овець).

Задача 3.

Всі продукти коштують 110+240+70+160+150+80+310=1120 (к.). Кожна з дівчат має вкласти суму 1120:4=280 (к.). Отже, Леся повинна 2 грн. 80 к. розподілити між дівчатами наступним чином: оскільки Юля принесла продуктів на суму 160+150+70=380 (к.), то їй припадає 380-280=100(к.)=1 (грн.), Наташа вклала 110+240=350 (к.), то їй припадає 350-280=70 (к.), Оля вклала 310+80=390 (к.), то їй припадає 390-280=110 (к.).
Відповідь: 1 грн., 70 к., 1 грн.10 к..

Задача 4.

Відповідь: 3 табуретки й 4 стільці.

Задача 5.

 1)25•3=75 ( картоплин) обчистила друга дівчинка за 25 хвилин;
2)400-75=325 ( картоплин) обчистили обидві дівчинки, працюючи однаковий час;
3) 3+2=5 ( картоплин) обчистили дівчата за 1 хвилину;
4) 325:5=65 (хв.) працювала перша дівчинка;
5) 65+25=90 (хв.) працювала друга дівчинка.
Відповідь: 65 хв., 90 хв.

Цікаві задачі та різноманітні

інтелектуальні ігри

                   1. У ПОЇЗДІ

З Москви до Петербурга їдуть Сидоров, Іванов, Петров. Прізвища в цих пасажирів такі звичайні, що виявилось, так само звуть осіб чоловік із поїзної бригади (кочегара, кондуктора і машиніста).

Відомо, що:

усі пасажири живуть у різних місцях по Жовтневій залізниці;

адреса пасажира Іванова - Москва;

кондуктор живе на півдорозі між Москвою і Петербургом;

пасажир - однофамілець кондуктора - проживає в Петербурзі;

найближчий за місцем проживання сусід кондуктора заробляє за рік рівно втричі більше кондуктора;

пасажир Петров заробляє за рік 7000 карбованців;

Сидоров - з поїзної бригади - виграв у кочегара партію в більярд.

Як прізвища машиніста? 

Розв’язання.

Відомо, що пасажир - сусід кондуктора - заробляє втричі більше за нього. Порівнюючи це із заробітком пасажира Петрова (7000 рублів, тобто величина, яка не ділиться без залишку на три), доходимо висновку, що найближче до кондуктора живе пасажир Іванов або пасажир Сидоров. Але адреса Іванова - Москва, тоді як кондуктор живе на половині шляху з Москви до Петербурга. Отже, сусід кондуктора - пасажир Сидоров. Тоді пасажир, який живе в Петербурзі, носить прізвище Петров. Але кондуктор є людиною одного прізвища з цим пасажиром. Значить, і він Петров. А тоді як відомо, що партію на більярді виграв у кочегара Сидоров з бригади потяга, легко здогадатися, що прізвище кочегара Іванов, а машиніста - Сидоров.

2. КАЧАН КАПУСТИ

Колгоспниця принесла на базар качани капусти і продала трьом покупницям. Перша взяла половину всіх качанів і ще півкапустини. Друга купила половину качанів, що залишились і ще півкапустини. Третя покупниця взяла останній качан. Скільки качанів капусти винесла на базар колгоспниця?

 

Розв'язання.

Коли другий покупець узяв половину качанів, що залишилися, і ще півкачана, у колгоспниці зостався тільки один качан. Отже, півтора качана складають половину тієї кількості, яка залишилась після першого продажу. Ясно, що повністю ця кількість дорівнює трьом. Якщо до цього добавити півкачана, то получиться половина всіх качанів, які були у колгоспниці. Неважко зрозуміти, що вона принесла на базар сім качанів капусти.

3. ЧИ МОЖЕ ТАКЕ БУТИ?

Одного чоловіка спитали:

- Скільки вам років?
- Чимало, - відповів він. - Я старший за деяких моїх родичів у шістсот разів. Чи може таке бути?

Розв’язання

Звичайно. Якщо діду 50 років, а його онуку один місяць, тоді дід старший від онука рівно в 600 разів.

4. ЯК ЦЕ ЗРОБИЛИ?

Через річку потрібно було перевезти важку чавунну трубу. Коли вантаж було покладено в човен, він так осів, що весляр уже не міг у нього сісти. Ніяких інших перевізних засобів, крім човна, не було.

Однак весляр придумав спосіб, за допомогою якого, сидячи в човні, все-таки перевіз трубу на інший берег. Як це було зроблено?

Розв’язання

 Відомо, що вода виштовхує занурене в неї тіло з такою силою, яка дорівнює вазі води, витиснутої цим тілом. Трубу закріпили під човном, від чого вага її зменшилась. Весляр міг перевезти трубу на інший берег, сидячи в човні.

5. ТРИ СЕСТРИ

У сім'ї троє дітей. Тоні вдвічі більше років, ніж буде Галі тоді, коли Жені виповниться стільки ж років, скільки Тоні зараз. Хто з них найстарший, хто найменший, хто середній за віком?

Відповідь. Найстарша - Тоня, наступна за віком - Женя, а Галя - наймолодша.

6. ДВА ДИВАКИ

Можливо, ви й не повірите, але в одному місті жили два диваки - Чук і Гек. Чук зовсім не міг говорити правду по понеділка, вівторка і середа, хоча в інші дні він незмінно був правдивим. А Гек брехав по вівторка, четверга і субота, але в інші дні він говорив правду.

Якось я зустрів цю нерозлучну пару і спитав одного з них:

- Скажи, будь ласка, як тебе звати?
Той без жодного вагання відповів:
- Чук.
- А скажи-но мені, який сьогодні день тижня? - продовжував я розпитування.
- Учора була неділя, - сказав мій співбесідник.
- А завтра буде п'ятниця, - додав його приятель.
- Почекай, як же так? - здивувався я, звертаючись до приятеля мого співбесідника. - Ти впевнений, що кажеш правду?
- Я завжди говорю правду по середах, - почув я у відповідь.

Вирішивши, що говорити зі мною більше нема про що, приятелі пішли далі, залишивши мене в подиві.

Але, подумавши, я все-таки зрозумів, хто з двох друзів був Чук, а хто - Гек. Між іншим, за розмовою можна встановити і день тижня, у який я зустрівся з ними. Спробуйте додуматись і ви.

Розв’язання.

Припустимо, що перший, хто відповідав, дійсно Чук. Отже, він в цей день говорить правду. Але якщо друге його твердження теж істинне, то бесіда проходить в понеділок. А по понеділках Чук говорить неправду. Ми прийшли до протиріччя. Отож, першого з друзів звуть Гек. Якщо він сказав неправду, то, значить, бесіда проходила або у вівторок, або в четвер, або в суботу. Звернемось тепер до репліки другого приятеля (ми знаємо, що його звуть Чук). Він сказав: "Завтра буде п'ятниця". Чи треба вірити цій заяві? Чук далі доповнив: "Я завжди кажу правду по середам". З умови відомо, що по понеділках, вівторках і середах Чук говорить неправду. Тоді обидва висловлювання Чука неправдиві. Звідси можна зробити висновок, що розмова здійснюється або в понеділок, або у вівторок, або в середу. Порівняймо з тим висновком, що був зроблений раніше. Тоді неважко здогадатися, що єдиний день, в який могла відбуватися розмова - це вівторок. Першим, хто відповідав, був Гек, а другим, хто вступив у розмову - Чук.

7.ТРИ ЯЩИЧКИ

На столі три цілком однакові ящички. В одному з них лежать дві чорні кульки, в іншому - чорна і біла, в третьому - дві білі. На кришках ящичків є надписи: "2 чорні", "2 білі", "чорна і біла". Але відомо, що жоден з цих надписів не відповідає дійсності.

Чи зможете ви, вийнявши наугад кульку (і не заглядаючи в ящички), визначити, де які кульки лежать?

 

 

Розв’язання.

Потрібно вийняти будь-яку кульку з коробки з написом "чорний і білий". Якщо кулька біла, то і друга має бути біла. Тоді в ящику з написом "2 чорні" має бути чорна й біла кульки, а в ящику з написом "2 білі" - 2 чорні кульки.

Якщо кулька, яку витягнули, чорна, то й інша повинна бути чорна. Тоді в коробці з написом "2 білі" можуть бути тільки чорна й біла кульки, а в коробці з написом "2 чорні" - 2 білі кульки.

8. ВОВК, КОЗА І КАПУСТА

Це - старовинна задача, яка зустрічається у творах VІІІ століття. Вона має казковий зміст.

Якийсь чоловік повинен був перевезти в човні через річку вовка, козу і капусту. У човні міг уміститися тільки один чоловік, а з ним або вовк, або коза, або капуста. Але якщо залишити вовка з козою без людини, то вовк з'їсть козу, якщо залишити козу з капустою, то коза з'їсть капусту. Чоловік все-таки перевіз свій вантаж через річку. Як він це зробив?

Розв’язання.

Вовк не їсть капусту, отже, починати переправу потрібно з кози, бо вовка і капусту можна залишити на березі.

Далі, переправивши козу на інший берег, чоловік повертається, бере в човен капусту і також перевозить її, на інший берег, де залишає, але зате бере в човен козу і везе її назад - на правий берег.

Тут він козу залишає і перевозить вовка. Капусту він залишає з вовком, а сам повертається за козою, перевозить її і переправа закінчується благополучно.

 

9. У ТЕМНІЙ КІМНАТІ

Я зайшов у кімнату, щоб узяти з шафи свої черевики і шкарпетки. У кімнаті спала сестра, і було дуже темно. Я добре знав, у якому місці шафи знаходяться мої три пари черевиків - усі різних фасонів, і 12 пар шкарпетки - чорних і коричневих. Мені не хотілось запалювати світло, щоб не розбудити сестру.

Справді, як черевики, так і носки я знайшов на своїх місцях, але, повинен зізнатися у безладді - просто купу з 6 черевиків і купу з 24 шкарпеток.

Скільки черевиків і скільки (щонайменше) мені треба винести з темної кімнати до світлої, щоб забезпечити себе парою черевиків одного фасону і парою шкарпеток одного кольору, при цьому фасон взуття і колір шкарпеток мені були байдужі?

Розв’язання.

Чотири черевики і три шкарпетки. Серед 4 черевиків, взятих із шафи, 2 обов'язково будуть одного фасону, серед 3 шкарпеток 2 будуть одного кольору. Якщо взяти тільки 2 або 3 черевики, то може статися так, що вони всі будуть різних фасонів, і якщо взяти тільки 2 шкарпетки, то вони можуть виявитися різного кольору.

10. ЯБЛУКА

У ящику перемішані яблука трьох сортів. Яку найменшу кількість яблук, що треба взяти навмання з ящика, не заглядаючи в нього, щоб серед вийнятих яблук виявилися: 1) хоч би 2 яблука одного сорту; 2) хоч би 3 яблука одного сорту?

Відповідь. 1) 4 яблука; 2) 7 яблук.

 

11. ЛОГІЧНА НІЧИЯ

На конкурсі любителів задач і головоломок особливо відзначилися 3 особи. Щоб виділити серед них переможця, вирішили провести ще одне випробування. Показали їм п'ять папірців: 3 білі та 2 чорні. Потім усім трьом зав'язали очі й кожному наклеїли на лоб по білому папірцю, чорні папірці знищили. Після цього пов'язки зняли й оголосили, що переможцем стане той, хто першим визначить колір свого папірця. Ніхто з тих, що змагалися, не міг бачити кольору свого папірця, але бачив білі папірці у своїх друзів. Після деякого міркування всі троє прийшли одночасно до висновку, що в кожного з них білий папірець. Як вони розмірковували?

Розв’язання.

А міркував він так:

- Папірці у моїх товаришів білі, тоді у мене папірець може бути білим або чорним. Припустимо, він чорний. Тоді Б може визначити колір свого папірця, бо може сказати собі: "Я бачу, що в А папірець чорний, а у С - білий, значить, у мене може бути або білий, або чорний, але він не може бути чорний, бо тоді С, знаючи, що чорних папірців тільки два, дивлячись, що у мене і в А чорні папірці, негайно заявив би про колір свого папірця. Але С не заявив про це негайно, отже, він думає, чи не чорний у нього папірець, але тоді він у мене бачить білий папірець".

Але Б теж мовчить, тоді мій папірець - не чорний. Але якщо він не чорний, значить - білий.

Так міркував А, впевнений в здібності своїх приятелів також логічно мислити. За умовою всі троє одночасно дали правильну відповідь, значить, аналогічно міркували й інші 2 товариша. Втім, всі троє могли і так міркувати: щоб вияснити, хто з нас швидше розмірковує, потрібно поставити нас в різні умови, тобто запропонувати нам задачу однакової важкості. Ми не були б в рівних умовах (і, отже, хтось з нас міг би протестувати), якщо одному або двом із нас були наклеєні чорні папірці. Отже, виходить, що у кожного папірець білий.

12. ЗАДАЧА ПРО ТРЬОХ МУДРЕЦІВ

Три стародавні мудреці почали сперечатися: хто з трьох наймудріший? Суперечку допоміг розв'язати випадковий перехожий, який запропонував їм випробування на кмітливість.

- Ви бачите в мене, - сказав він, - п'ять ковпаків: три чорні та два білі. Заплющіть очі!

З цими словами він надягнув кожному чорний ковпак, а два білі сховав у мішки.

- Можете розплющити очі, - сказав перехожий. - Хто вгадає, якого кольору ковпак прикрашає його голову, той має право вважати себе наймудрішим.

Довго сиділи мудреці, дивлячись один на одного... Нарешті один вигукнув:

- На мені чорний.

Як він здогадався? 

Розв’язання.

Мудрець міркував так:

- Я бачу перед собою 2 ковпаки. Припустимо, що на мені білий. Тоді другий мудрець, який бачить перед собою чорний і білий ковпаки, повинен міркувати так: "Якби на мені був теж білий ковпак, то третій зразу здогадався б і заявив, що у нього чорний. Але він мовчить, значить, на мені не білий, а чорний. А так, коли другий не говорить цього, тоді на мені теж чорний".

13. НЕМОЖЛИВА РІВНІСТЬ

Напівпорожня бочка - це ж те саме, що напівповна. Чи не так? Але якщо половини рівні, то повинні бути рівні й цілі - значить, порожня бочка дорівнює повній. Безглуздий висновок!

Спробуй пояснити, як він вийшов.

Розв’язання.

 Напівпорожня бочка є не половина пустої бочки, а така бочка, одна половина якої пуста, друга повна. Ми міркували так, немов слово "напівпуста" значить: половина пустої бочки, а "напівповна" - половина повної. Не дивно, за такого неправильного розуміння ми прийшли до невірного висновку.

14. ГРА В ШАШКИ

Троє хлопчиків грали в шашки. Усього було зіграно три партії. По скільки партій зіграв кожен хлопчик?

Відповідь. По дві партії.

15. В ОЧІКУВАННІ ТРАМВАЯ

Три брати, повертаючись з театру додому, підійшли до зупинки трамвая, щоб ускочити в перший же вагон, який підійде. Вагон не з'являвся, і старший брат запропонував почекати.

- Ніж стояти тут і чекати, - відповів середній брат, - краще підемо вперед. Коли який-небудь вагон наздожене нас, тоді й ускочимо; а тим часом хоч би частина дороги буде вже за нами - швидше додому приїдемо.

- Якщо вже йти, - заперечив молодший брат, - то не вперед за рухом, а у зворотній бік; тоді нам швидше трапиться зустрічний трамвай; ми раніше й додому прибудемо.

Оскільки брати не могли переконати один одного, то кожен учинив по-своєму: старший залишився чекати на місці, середній пішов уперед, молодший - назад.

Хто з трьох братів раніше приїде додому?

Розв’язання.

Молодший брат, ідучи назад, побачив трамвай, що їхав назустріч, і вскочив до нього. Коли цей вагон дістався місця, де чекав старший брат, той теж вскочив до нього. Трохи пізніше той самий вагон наздогнав середнього брата, який йшов попереду. Таким чином, всі брати опинилися в одному трамваї і, звісно, приїхали додому одночасно.

16. ЩО СКАЗАВ СТАРИЙ?

Два молоді козаки, обидва завзяті вершники, часто бились між собою об заклад, хто кого пережене. Не раз то той, то інший був переможцем, нарешті це їм набридло.

- От що, - сказав Григорій, - давай заставимося навпаки. Хай заклад достанеться тому, чий кінь прийде в призначене місце другим, а не першим.

- Добре! - відповів Михайло.

Козаки виїхали на своїх конях у степ. Глядачів зібралось безліч: усім хотілось подивитись таку дивовижу. Один старий козак почав рахувати, ляскаючи в долоні:

- Раз!.. Два!.. Три!..

Сперечальники, звичайно, ні з місця. Глядачі почали сміятися, судити й рядити, і вирішили, що так вирішити спір неможливо, і що сперечальники простоять на місці, як кажуть, довіку. Тут до натовпу підійшов сивий старий, який бачив на своєму віку багато різного.

- У чому справа? - питає він.

Йому сказали.

- Еге ж! - каже старий, - от я їм зараз шепну таке слово, що поскачуть, як ошпарені.

І справді... Підійшов старий до козаків, сказав їм щось, і за півхвилини козаки вже неслись за степом що є духу, намагаючись будь-що обігнати один одного, але заклад все ж виграв той, чий кінь прийшов другим.

Що сказав старий?

Розв’язання.

 Старий прошепотів козакам: "Пересядьте". Ті зрозуміли, миттю пересіли кожен на коня свого суперника і кожен погнав тепер на всю силу чужого коня, на якому він сидів, щоб власний його кінь прийшов другим.

17. СУПЕРЕЧКА

Троє селян - Іван, Петро і Микола - отримали за роботу мішок зерна. Як на лихо під рукою не виявилось мірки і довелось ділити зерно "на глаз". Найстарший серед селян - Іван - розсипав зерно на три купи, як він міркував, порівну:

- Першу купу візьми ти, Петре, друга дістанеться Миколі, а третя мені.

- Я не згоден, - заперечив Микола, - Моя купа зерна найменша.

Засперечалися селяни, майже до сварки не дійшло. Пересипають зерно з однієї купи до другої, з другої до третьої і ніяк не дійдуть згоди, обов'язково хто-небудь незадоволений.

- Якщо б ми були вдвох, я і Петро, - закричав Іван, - я би швидко розділив. Розсипав би зерно на дві рівні купи і запропонував би Петру вибрати будь-яку, а собі взяв би ту, яка залишилась. Обоє ми були б задоволеними. А тут я не знаю як і бути.

Задумались селяни, як поділити зерно, щоб всі були задоволені, щоб кожний був упевнений, що отримав не менше третини. І придумали.

Придумайте і ви.

Розв’язання.

 Іван запропонував селянам ділити зерно так:

- Я насиплю зерно на три купи, на мій погляд, порівну і відійду в сторону. Мені підійде будь-яка купа. Хай потім Петро вкаже найменшу, на його думку, купу зерна. Якщо Микола також уважатиме, що зерна в цій купі менше третини, то віддайте її мені, а залишок зерна діліть між собою.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Використана література

1. Інтернет-ресурси  http//moyaskola.com.ua
2. Журнал «Математика в школах України», 2005-2008 роки
3. Журнал «Математика», 2005-2007 роки