Презентація "Алгебраїчний та графічний способи розв'язання систем рівнянь з двома змінними"

Презентація вчителя математики ОЗОШ №28Іванової І. В. Графічний та алгебраїчний способи розв’язання систем лінійних рівнянь з двома змінними

Основні означення за темою. Лінійним рівнянням із двома змінними називають рівняння виду ax+by=c, де a, b, c – деякі числа (коефіцієнти рівняння), x та y - змінні. Розв’язком рівняння із двома змінними називають пару значень змінних, для яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність. Щоб знайти розв’язок рівняння із двома змінними, можна підставити в рівняння довільне значення однієї змінної і, розв’язавши одержане рівняння з однією змінною, знайти відповідне значення іншої змінної.

Приклад 2 Назвати декілька пар чисел, які є розв’язком рівняння x+y=8 Відповідь: a) x=10 y= - 2; Пояснення: нехай х=10, тоді 10+у=8, звідки у=-2 b) x=4,5 y=3,5; Пояснення: нехай х=4,5, тоді 4,5+у=8, звідки у=3,5. Пара чисел (3; 2) є розв’язком рівняння 2x+by=12. Знайти коефіцієнт b. Відповідь: Підставимо відповідні числові значення і отримаємо рівняння з невідомим числом b. Знайдене числове значення і буде шуканим коефіцієнтом.𝟐∙𝟑+𝒃∙𝟐=𝟏𝟐;    𝟔+𝟐∙𝒃=𝟏𝟐;        𝒃=𝟑 Приклад 1

Системи двох лінійних рівнянь. Якщо потрібно знайти спільні розв’язки двох рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють систему рівнянь. Розв’язком системи двох рівнянь із двома змінними називають пару значень змінних, для яких кожне рівняння системи перетворюється у правильну числову рівність. Розв’язати систему означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв'язки відсутні.

Графічний спосіб. Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь графічним способом, потрібно побудувати графіки рівнянь системи в одній системі координат і знайти координати спільних точок цих графіків. В залежності від розташування двох прямих (перетинаються, паралельні, співпадають) система може мати 1 рішення, не мати розв’язку чи безліч.

Графічно: скільки розв’язків має система. Якщо відношення коефіцієнтів в системі із двох лінійних рівнянь з двома змінними таке, що Нехай задана система рівнянь 𝒂𝟏∙𝒙+𝒃𝟏∙𝒚=𝒄𝟏𝒂𝟐∙𝒙+𝒃𝟐∙𝒚=𝒄𝟐 𝒂𝟏𝒂𝟐=𝒃𝟏𝒃𝟐=𝒄𝟏𝒄𝟐 Система має безліч розв’язків, прямі співпадають

Перевіримо кількість рішень. Відношення однакові. Висновок: безліч, прямі співпадають. Розв’язати систему графічно−𝟐𝒙+𝒚=𝟐−𝟔𝒙+𝟑𝒚=𝟔 −𝟐−𝟔=𝟏𝟑=𝟐𝟔 Складемо таблиці значень для побудови графіків обох рівнянь.𝒚=𝟐+𝟐𝒙𝒚=𝟔+𝟔𝒙𝟑 

Графічно: скільки розв’язків має система. Якщо відношення коефіцієнтів в системі із двох лінійних рівнянь з двома змінними таке, що Нехай задана система рівнянь 𝒂𝟏∙𝒙+𝒃𝟏∙𝒚=𝒄𝟏𝒂𝟐∙𝒙+𝒃𝟐∙𝒚=𝒄𝟐 𝒂𝟏𝒂𝟐=𝒃𝟏𝒃𝟐≠𝒄𝟏𝒄𝟐 Система розв’язків не має, прямі паралельні

Перевіримо кількість рішень. Відношення перших дробів однакові, а третє ні. Висновок: рішень не має, прямі паралельні. Розв’язати систему графічно𝒙+𝒚=𝟑𝟐𝒙+𝟐𝒚=𝟑 𝟏𝟐=𝟏𝟐≠𝟑𝟑 Складемо таблиці значень для побудови графіків обох рівнянь.𝒚=𝟑−𝒙𝒚=𝟑−𝟐𝒙𝟐 

Графічно: скільки розв’язків має система. Якщо відношення коефіцієнтів в системі із двох лінійних рівнянь з двома змінними таке, що Нехай задана система рівнянь 𝒂𝟏∙𝒙+𝒃𝟏∙𝒚=𝒄𝟏𝒂𝟐∙𝒙+𝒃𝟐∙𝒚=𝒄𝟐 𝒂𝟏𝒂𝟐≠𝒃𝟏𝒃𝟐≠𝒄𝟏𝒄𝟐 Система має одне рішення, прямі перетинаються

Перевіримо кількість рішень. Відношення різні. Висновок: рішення одне, прямі перетинаються. Розв’язати систему графічно𝟓𝒙−𝟐𝒚=𝟏𝟏𝟏𝒙−𝟑𝒚=−𝟑 51≠−2−3≠11−3 Складемо таблиці значень для побудови графіків обох рівнянь.𝒚=𝟓𝒙−𝟏𝟏𝟐𝒚=𝟏𝒙+𝟑𝟑 

Спосіб підстановки Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь методом підстановки треба:1) Виразити з якогось рівняння одну змінну через іншу; 2) Підставити одержаний вираз в інше рівняння. 3) Розв'язати одержане рівняння; 4)Знайти відповідне значення другої змінної та записати відповідь.

Приклад: Розв'язати систему рівнянь. Розв'язання: З першого рівняння виразимо змінну х через у.2. Підставляємо замість х отриманий вираз  в друге рівняння.3. Помножимо друге рівняння на спільний знаменник, спростимо вираз, розкриваємо дужки, зводимо подібні доданки, розв’язуємо рівняння.4. Підставляємо число у перший вираз, рахуємо і записуємо відповідь. Відповідь:  (-4; 4).𝟐𝒙+𝟔𝒚=𝟏𝟔𝟑𝒙+𝟒𝒚=𝟒 𝒙=𝟏𝟔−𝟔𝒚𝟐𝟑𝒙+𝟒𝒚=𝟒 𝒙=𝟏𝟔−𝟔𝒚𝟐𝟑∙𝟏𝟔−𝟔𝒚𝟐+𝟒𝒚=𝟒 ∙𝟐 𝟑∙𝟐∙𝟏𝟔−𝟔𝒚𝟐+𝟖𝒚=𝟖 𝟑∙𝟏𝟔−𝟔𝒚+𝟖𝒚=𝟖 𝟒𝟖−𝟏𝟖𝒚+𝟖𝒚=𝟖 −𝟏𝟎𝒚=−𝟒𝟎 𝒚=𝟒𝒙=𝟏𝟔−𝟔∙𝟒𝟐𝒚=𝟒 𝒙=−𝟒;𝒚=𝟒. 

Спосіб додавання. Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь методом додавання, треба:1) Дібравши «вигідні» множники, перетворити одне чи обидва рівняння системи так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами;2)Додати почлено ліві й праві частини рівнянь, отриманих на першому кроці;3) Розв’язати рівняння з однією змінною, отримане на другому кроці;4) Підставити знайдене на третьому кроці значення змінної в будь-яке з рівнянь вихідної системи;5) Обчислити значення другої змінної та записати відповідь.

Приклад: Розв'язати систему рівнянь. У даній системі немає протилежних або рівних коефіцієнтів, тому, щоб позбутися змінної x, помножимо перше рівняння на 3, а друге на (-5)і додаємо почлено друге рівняння до першого.2. Розкриваємо дужки і спрощуємо. 3. Підставимо знайдене значення y в перше рівняння системи і знайдемо x. Відповідь: x=−12, y=10. 𝟓𝒙+𝟔𝒚=𝟎𝟑𝒙+𝟒𝒚=𝟒 𝟏𝟓𝒙+𝟏𝟖𝒚+−𝟏𝟓𝒙−𝟐𝟎𝒚=𝟎+(−𝟐𝟎) 𝟓𝒙+𝟔𝒚=𝟎𝟑𝒙+𝟒𝒚=𝟒 + ∙(−𝟓) 𝟏𝟓𝒙+𝟏𝟖𝒚=𝟎−𝟏𝟓𝒙−𝟐𝟎𝒚=−𝟐𝟎 𝟏𝟖𝒚−𝟐𝟎𝒚=−𝟐𝟎 −2y= -20 𝒚=𝟏𝟎 𝒚=𝟏𝟎𝟓𝒙+𝟔∙𝟏𝟎=𝟎 𝒚=𝟏𝟎𝟓𝒙=−𝟔𝟎 𝒚=𝟏𝟎𝒙=−𝟏𝟐