Презентація "Цікаві числа"

Познайомитись з цікавими числами та їх властивостями. - поглибити свої знання з історії математики. -зацікавити однокласників історією математики та властивостями цікавих чисел.

Ключове питання:

Хто каже - числа безсловесні? вони ідуть назустріч веснам. В далекій тундрі і аулі Ми їхню мову всюди чули. Звучать вони, як пісня слави, Як велич нашої держави В них мрія серця ожива, У них дерзань палкі слова. То тріпочуть як листочки, То шикуються в рядочки. Вони в перегуку гудків У роботі річок і полів. Дарма, що цифри без прекрас, Вони змагання наші й сила У титанічний гордий час – До щастя зоряного крила! М.Каранетян.

Славетний математик давньої Греції Піфагор говорив: “ Не лише в житті богів та демонів розкривається могутність чисел.” Девізом школи Піфагора був “ Все є число.” Піфагорійці вважали, що з допомогою чисел можна виразити всі закономірності Всесвіту. Без числа нічого не було б і не було б порядку, гармонії. Число для Піфагора було і гармонією, і матерією, і формою Всесвіту. За допомогою чисел він намагався навіть осмислити такі вічні категорії буття, як справедливість, смерть, стабільність, чоловік , жінка т.д.

Числа є азбукою математики. Є дуже багато цікавих чисел. Піфагорійці парні числа вважали нещасливими, “ жіночими”, непарні – щасливими, “ чоловічими.” символ шлюбу складався із суми чоловічого непарного числа 3 і жіночого числа 2, тобто 5. З цієї причини прямокутний трикутник зі сторонами 3,4,5 називали фігурою нареченої.

Число 3 стало в багатьох народів священне. Весь світ вони поділяли на земне, підземне і небесне царство. В багатьох казках приймають участь три брати, змагаються з трьохголовими зміями. “4” – ним Піфагор зображав справедливість. Число 7 особливе число. “ Семеро одного не чекають.” “ Сім раз відмір, один відріж.” Ковш великої ведмедиці складається із семи зірочок. Сім чудес світу. Ми користуємось семиденним тижнем. ( це виникло із спостережень за фазами місяця. Ми говоримо про сім кольорів райдуги.

40 - ще в минулому столітті вважалось, що мисливець має право вбити за своє життя тільки 40 ведмедів, а сорок перший для нього буде смертельним. 60 – ми до цих пір ділимо годину на 60 хвилин, хвилину на 60 секунд, коло на 360 градусів. 12 - це поважне число. Ми знаємо про дванадцять апостолів. купуємо сервіз на 12 людей.

Що таке? Що за біда? Порозбігались хто куда! Що ж таке? Та що ж тут сталося? До нас “13” приєдналось! Ось воно, - ось воно – нещасливе це число! Американський мільйонер Пель Геті каже: “ Де 13 осіб – я за стіл не сяду, чортова дюжина не потрібна за вечерею”. В італійській лотереї немає номера 13. У Франції не існує будинків з номером 13.

Стародавні греки досконалими називали числа, які дорівнюють сумі двох своїх дільників ( без самого числа). Наприклад, 6 – число досконале, бо дільниками числа 6 є 1.2,3 а їх сума 1+2+3=6. 28 – теж досконале число. Нині відомо близько 20 таких чисел. Досконалість 6 та 28, що мала велике значення для піфагорійців, визнавали й інші народи. Наприклад, місяць обертається навколо землі за 28 днів, єгипетська міра довжини – лікоть – містила 28 пальців. У давньому Римі на банкетах існував звичай шосте місце відводити найпочеснішому гостю. У творі “ Град Божий” Св. Августин висловив думку про те, що хоча бог міг створити світ в одну мить, він вирішив створити його за 6 днів, щоб за цей час подумати над досконалістю світу. Чим далі від початку натурального ряду, тим досконалі числа зустрічаються все рідше. Р.Декарт навіть стверджував, що “ досконалі числа”, як і досконалі люди зустрічаються дуже рідко. Третє досконале число 496, четверте – 8128 ( вони були відомі ще Евкліду), п'яте – 33550336 – було знайдене лише у ХYст.

Досконалі числа мають інші цікаві властивості. Наприклад, вони завжди дорівнюють сумі кількох перших послідовних натуральних чисел: 6= 1+2+3; 28= 1+2+3+4+5+6+7 На сьогодні знайдено близько 30 парних досконалих чисел. Перші 4 досконалі числа знав ще Евклід. Таким шляхом було знайдено 27 парних досконалих чисел ( 1987р.). Більш швидкому просуванню у знаходженні цих чисел сприяв розвиток комп'ютерної техніки. Однак, і з її допомогою вдалося знайти досконалих чисел трохи більше 30.

Досконале числа 10 піфагорійці називали ще тетраксис, а числа 1,2,3,4 тетрадою. Тетраксис був задуманий як число “суть джерело і вічний корінь мінливої природи.” Виходячи з чудових властивостей декади, вони вважали , що небесних тіл має бути 10, а оскільки їх налічили тільки 9, то придумали нову планету Протиземілля , що обертається по 10 сфері. Число 36 – з одного боку є сумою кубів трьох перших чисел натурального ряду 1і+2і+3і, а з іншого сумою перших чотирьох парних, і перших чотирьох непарних чисел: ( 2+4+6+8) +( 1+3+5+7)+ 36. Увесь світ, на думку піфагорійців, був побудований на перших чотирьох непарних і перших чотирьох парних числах, а тому найстрашнішою клятвою у них вважалась клятва числом 36

У математиці числа – близнюки – це прості числа, які відрізняються одне від одного на 2: 5 та 7, 11 та 13, 17 та 19. серед простих чисел є навіть “трійня”: це числа 3,5,7. Скільки всього існує близнюків – сучасній науці невідомо. Чим далі від початку натурального ряду – тим таких пар зустрічається менше. На сьогодні відомі пари великих простих чисел – близнюків, наприклад – 22271 1 22273, 1000000000061 1000000000063

Ви чули про казки Шехерезади? Тисячу і одну ніч розповідала жорсткому царю казки гарна і розумна дівчина Шехерезада. 1001 – число Шехерезади – диво –число. Чим же привертає увагу число 1001? 1001 - не належить до простих чисел, а ділиться без остачі і на 7, і на 11, і на 13 – на три послідовних простих числа, добутком яких воно є. Цікаво те, що при множенні на нього трицифрового числа одержуємо результат, що складається із числа, яке множимо, записаного двічі. Наприклад: 873 * 1001=873873 З цим пов'язано багато фокусів. 1001=77*13 Це магічне число, воно містить 77 “чортових дюжин”. Оскільки 1001 – надзвичайне число, то чортові дюжини йому не страшні. 1001 = 7*143, тобто воно містить 143 семірки. 7 – магічне число. тому магічне й число Шехерезади.

Ще задавго до нашої ери вчені, комбінуючи натуральні числа, складали із них цікаві ряди. Так наприклад, в Y – ІYст до н.е., виникли уявлення про ряди так званих фігурних чисел. ФІГУРНІ ЧИСЛА ПЕРШОГО ПОРЯДКУ 1,2,3,4,5 ... ( арифм. прогр. d=1) 1,3,5,7,9... ( арифм. прогр. d=2) 1,4,7,10,13 .. ( арифм. прогр. d=3)

Із першого ряду утворенням сум одержуємо трикутні числа 1,3,5,7,9.. Із другого ряду 1,4,9,16,25 – квадратні числа. 1,5,12,22,35 – п'ятикутні числа. Аналогічно можна утворити шестикутні, семикутні і т.д. Є просторові фігурні числа, або фігурні числа третього порядку. Суми послідовних трикутних чисел є пірамідальними. З кульок, що зображають одиниці, кожне пірамідальне число дає змогу скласти правильну трикутну піраміду.

Фібоначчі склав такий ряд із натуральних чисел, який потім виявився корисним в науці.1,1,2,3,5,8,13,21. Закон утворення цього ряду дуже простий: перші два числа одиниці, а потім кожне наступне одержується в результаті додавання двох йому попередніх 2=1+1, 3=2+1,5=2+3 і т.д. Будь- яка пара сусідніх чисел ряду Фібоначчі задовольняє одному з рівнянь. ХІ-ХУ=УІ=1 або ХІ-ХУ=УІ=-1, причому більше число – Х, менше – У.Ряд Фібоначчі відомий не лише математикам, а й природознавцям. Якщо листки на гілці сидять одиноко, то вони завжди розміщуються навколо стебла, але не по колу, а по гвинтовій лінії, тобто кожний наступний листок вище і в сторону від попереднього. При цьому для кожного виду рослин характерний свій вид розходження двох сусідніх листків.

Воно чудове насамперед тим, що визначає кількість днів року, при діленні на 7 воно дає остачу 1. Це несуттєва, здавалося б, особливість числа 365 має велике значення для кожного семиденного календаря. Друга особливість числа 365 не пов'язана з календарем. 365 = 10*10+11*1+12*12.= 10І+11І+12І, тобто 365 дорівнює сумі квадраті трьох послідовних чисел, починаючи з 10. але це ще не все. Сума квадратів двох наступних чисел 13 і 14 також дорівнює 265. 13І+14І=169+196=365 На основі цієї властивості складено задачу С.А Рачинського, зображену на відомій картині Богданова – Бєльського: “ Важка задача”

Це справді дуже незвичне число 666 є сумою квадратів перших семи простих чисел: 666=2І+3І+5І+7І+11І+13І+17І; 666 є сумою перших 36 натуральних чисел. Число “ Звіра” є різниця і суми шостих степенів перших трьох натуральних чисел. Його можна записати 9 цифрами двома способами в порядку їх зростання і одним – у спадному: 666=1+2+3+4+567+89 666=123+456+78+9 666= 9+87+6+543+21 Число 2 в степені і, що містить у своєму записі число 666, називається апокаліптичним, а число, яке має в своєму записі рівно 666 знаків, числом Апокаліпсиса.

Інколи виникає необхідність побудувати такий прямокутний трикутник, у якого обидва катети і гіпотенуза виражається цілими числами. Цілі числа, які задовольняють цю умову називаються піфігоровими. 3,4,5 8,15,17 і т.д.

Числа які мають вид 2в степені п – 1 називаються числами Мерсенна. Мерсенн стверджував, що чисел, які відповідають показнику П -17,19,31,67,127 та 257 є досконалими. Виявилось, що Мерсенн помилився у двох випадках із шести. При П=67,П=257 складені, а тому не є досконалими. Числа, що мають вигляд 2 в степені Р -1 стали називати числами Мерсенна. І хоча доведено, що ці числа не завжди є простими, їм'я за ними збереглося. Числа виду 2в степені П +1 – це числа Ферма.

Дружать птахи в вишині, Дружать риби в глибині, Дружить з небом синь морів, Дружать діти всіх країв. Дружать сонце і хмарки, Дружать місяць і зірки, Дружать в морі кораблі, Дружать діти на землі.

Здогадались про які числа йтиме мова? Так, це числа дружні. Дружніми числами стародавні математики називали пари чисел, кожне з яких дорівнювало сумі дільників другого. Ось власні дільники числа 220: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110; сума їх дорівнює: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284. Власні дільники числа 284: 1,2,4,71,124; їх сума дорівнює 1+2+71+142=220. Піфагорійці знали лише одну пару дружніх чисел. Наступну пару 17296 та 18416 відкрив французький математик ХYІІст. П'єр Ферма. Третю пару обчислив також французький математик Рене Декарт. Невже дружні числа – це самородки, щоб полічити які, достатньо пальців однієї руки? Ні! Видатний математик Х YІІІст. Леонард Ейлер провів унікальні “ числові розкопки” і дав список 64 пар дружніх чисел. У ХІХ ст. 16- річний італійський школяр Н.Паганіні ( однофамілець відомого скрипаля) здивував науковий світ тим, що знайшов пару дружніх чисел, яку прогледіли його знамениті попередники 1184 та 1210. На сьогодні відомо більше 600 пар дружніх чисел.

Проблема 1. Скінченна чи нескінченна множина парних досконалих чисел? Проблема 2. Знайти хоча б одне парне досконале число. Ще Декарт запевняв, що розв'яже останню проблему за три місяці “ творчої відпустки”. Однак проблема все ще залишається недосяжною. Якщо такі числа і існують, то вони підкоряються багатьом “хитрим” умовам. Дружні числа теж продовжують приховувати безліч таємниць. Проблема 3. Скінченна чи нескінченна множина дружніх чисел? Проблема 4. Знайти загальну формулу для отримання пар дружніх чисел. Проблема 5. Чи є змішані пари, у яких одне число парне, а друге – непарне. Розмір винагороди : 100 тис. доларів за знаходження простого числа, яке містить у десятковому записі не менше 10 мільйонів цифр.,150тис.д – не менше 100млн. цифр.і 250 тис. д. – не менше 1000млн цифр. Приз у 50 тис. доларів отримали ентузіасти, які відшукали просте число, що містить у десятковому запису 1 мільйон цифр.

Таким чином, чисел дуже багато і серед них багато цікавих. Для мене, наприклад, є цікавим число 19, бо цього числа я народилась ( в день Св. Миколая) . У наш комп'ютерний час підтверджується велике значення чисел. Ми знаємо, що за допомогою чисел у комп'ютер можна ввести будь - яку інформацію: текст, музику, зображення, навіть відомі твори майстрів відродження чи шедеври стародавнього світу. Все можна перетворити на набір чисел. І в такому вигляді передавати на будь - яку відстань, зберігати в комп'ютерній пам’яті століттями. Але за першою вимогою користувача ця числова інформація знову перетвориться на нетлінні шедеври мистецтва, текст або музику. Хіба це не є торжеством ідей Піфагора?

Г.П. Бевз. Є числа дружні, досконалі, Мерсенна числа і Ферма. Про них ще й греки дещо знали. Та повного знання нема, Догадки тільки та проблеми. Славетні теж вивчали їх, Та обернути в теореми, У формули – ніхто не зміг. Проблеми давні та не дуже Через століття та світи, Через свідомості та душі Їх пронесли. Але подужать Все ж не змогли. А може, друже, Якусь із них розв’яжеш ти?

.М. Толстой писав: “ Людина є дріб. Чисельник – це гідність людини; знаменник – це оцінка людини самої себе... Кожний може зменшити свій знаменник - свою думку про себе, і цим зменшенням наблизитись до досконалості” Все досконале зустрічається , так як і досконалі числа, дуже рідко. Але прагнути до цього треба.

Депман І.Я. Світ чисел. Депман І.Я. За сторінками підручника математики. Гніденко Б.В. Енциклопедичний словник юного математика. Газета “ Математика в школах України.” Журнал “ Математика в школі.”