Принцип Діріхле у 5 класі

Принцип Діріхле. Підготував: учитель математики Великочернеччинського ЗЗСО СМР Саранчук Олександр Вікторович“Якщо п'ятьох зайців розсадити в чотири клітки, то принаймні в одній із них опиниться два зайці”.

Петер Густав Лежен Діріхле(13.02.1805 – 05.05.1859)Петер Густав Лежен Діріхле – відомий німецький математик. Починаючи з 17 років був домашнім учителем, а в 26 став професором Берлінського університету. Йому належать вагомі відкриття у галузі теорії чисел. З ім’ям Діріхле пов’язані задачи, інтеграли, принцип, ряди тощо. Лекції Діріхле мали значний вплив на математиків більш пізнього часу.

10 голубів сидять в 9 комірках. Доведіть, що знайдеться комірка, де сидить 2 і більше голуба.

«Не менше». Означає більше, або дорівнює. Наприклад: Не менше 8, це числа більші, або рівні 8.«Не більше». Означає менше, або дорівнює. Наприклад: Не більше 6. Це числа менші, або рівні 6.

В класі 13 учнів. Доведіть, що знайдеться хоча б два учні (не менше 2 учнів), які святкують свій день народження в одному і тому ж місяці.

Нехай 13 учнів грають роль   „ кроликів “. Тоді в ролі „ кліток “ будуть місяці року, їх 12. Так як 13 > 12, тоді, за принципом Діріхле, знайдеться, як мінімум, одна „ клітка “, в якій будуть сидіти принаймні 2 „ кролики “. Тобто, знайдуться  принаймні 2 учні, які відзначають дні народження в один і той же місяць.

У школі навчається 367 учнів. Доведіть, що знайдеться хоча б два учні (не менше 2 учнів), які святкують свій день народження в один і той же день.

За умовою задачі маємо 367 учнів і 365 днів (або 366 днів). Припустимо, що кожен з учнів святкує свій день народження в різні дні року.  Оскільки 367 > 365 (366), то принаймні знайдеться два учні, що народилися в один день.

У класі 40 учнів. Чи є місяць року, в якому день народження відзначають не менше, ніж 4 учні цього класу?

Якщо в кожному з 12 місяців року , свій день народження будуть святкувати по 3 учні, то за рік свій день народження відсвяткують 36 учнів, а в класі їх 40. Отже, 4 учні будуть святкувати свій день народження в будь-якому місяці року. Тобто знайдеться хоча б один місяць, коли іменинників буде 4, а можливо і більше.

В 3 А класі навчається 29 школярів, які знають всього 117 віршів. Доведіть, що знайдеться школяр, який знає не менше ніж 5 віршів.

Припустимо, що кожен школяр знає не більше ніж 4 вірша. Тоді 29 школярів знають щонайбільше 4 ∙ 29 = 116 (віршів). А ще один 117 вірш знає хтось із школярів. І цей вірш у нього буде п'ятий. Отже, знайдеться школяр, який знає не менш ніж 5 віршів. 

На тарілці лежать 3 пиріжки з капустою і 2 з сиром. Усі пиріжки мають однаковий вигляд. Яку найменшу кількість пиріжків треба скуштувати, щоб дістався пиріжок із капустою?

У задачі роль «кроликів» відіграють пиріжки. Маємо два види пиріжків – це символізує «дві клітки». Отож, треба скуштувати 3 пиріжки. Якщо перші два були з сиром, то третій пиріжок буде обов’язково з капустою.

У коробці є 3 червоних і 5 білих кульки. Яку найменшу кількість кульок потрібно взяти з коробки (не заглядаючи в неї), щоб серед вийнятих були дві кульки одного кольору?

У цій задачі кульки відіграють роль «кроликів», а два види кольорів – «клітки». За умовою задачі, повинна бути «розставлена по клітках» така кількість «кролів», щоб принаймні двоє із них потрапили в одну «клітку». Отже, якщо перша кулька червона, а друга біла, тоді третя кулька може бути будь-якого кольору, або червоного, або білого . Отже серед трьох цих кульок знайдеться дві одного кольору. Тобто потрібно взяти 3 кульки.

15 хлопчиків зібрали 100 грибів. Доведіть, що принаймні двоє з них зібрали однакову кількість грибів.

Припустимо, що твердження задачі неправильне. Нехай кожний хлопчик зібрав різну кількість грибів. Тоді 15 хлопчиків зібрали щонайменше 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=105 грибів. Це суперечить умові, так як вони разом зібрали 100 грибів . Отже якісь доданки потрібно зменшити, тому знайдеться хоча б двоє хлопчиків, які зібрали однакову кількість грибів.

Із будь-яких трьох натуральних чисел можна вибрати два, сума яких парна. Доведіть це.

Всі числа можна розбити на два класи: парні і непарні. Класів - два („ клітки “), а чисел три („ зайці “). Тобто, серед будь-яких трьох натуральних чисел знайдуться два числа однакової парності. А тоді їх сума парна. Отже, серед будь-яких трьох натуральних чисел обов'язково можна вибрати два, сума яких парна.

Щоб знати математику, потрібно наполегливо працювати!До Вашої уваги мультфільм https://www.youtube.com/watch?v=cm. Nu2hk0 NYQ