Програма факультативу(гуртка) «Розвиток стереометричного уявлення на початковому етапі навчання»

 «Розвиток стереометричного уявлення

на початковому  етапі навчання»

                          (І. М. Стецюра, Ліцей №153, Шевченківського району, м. Києва)

 

Основна задача факультативу (гуртка): розширити  просторові уявлення учнів, розвивати вміння виконувати креслення, розвивати логічне мислення здобувачів освіти  5 - 6 класів.

Програма з математики для 5 - 6 класів не передбачає надання школярам систематичних відомостей  про геометричні фігури як на площині, так і в просторі. Не секрет, що велика кількість учнів не мають достатньо розвинутого просторового уявлення. Усі психологічні процеси, у тому числі й просторове уявлення, удосконалюються в процесі діяльності. Ця діяльність повинна чимось стимулюватися й направлятися, тобто необхідна система керування.

Факультатив (гурток)  із даної теми передбачає ознайомлення здобувачів освіти з історією розвитку геометрії, із видами фігур на площині й у просторі, їх властивостями, розпізнавання видів фігур за моделями, кресленнями та рисунками, виготовлення розгорток куба, паралелограма, циліндра. Усе це ґрунтується на розвитку логічного мислення, на розв’язуванні нестандартних та цікавих задач. Відзначимо, що для розв’язання  багатьох із цих задач не потрібні спеціальні знання, тобто вони під силу учням 5 - 6 класів.

Роботу гуртка можна побудувати за таким планом:

1    Вступ. 

            2.   Із історії розвитку геометрії.

            3.   Вихід у простір:

         *  Фігури на площині (точка, відрізок, трикутник, прямокутник, квадрат, паралелограм, трапеція)             

        *   Розв’язання усних задач. 

         * Здогадайся! (вправи на розвиток спостережливості та кмітливості).    

         * Знайди аналогії (вправи на знаходження подібності між   об’єктами).              .

         *  Головоломки із сірниками  (паличками). 

             4. Ілюзії та неможливі об’єкти. 

5. Задачи на побудову. 
6. Вимірювання площин, об’єктів (практикум)   

 - Фігури в просторі (розпізнавання видів за моделями, кресленнями, рисунками).             

* Виготовлення розгорток куба, паралелепіпеда, циліндра, конуса.              

*Обрахування площ, об’ємів (за формулами, виконаними вимірюваннями).

7. Тест

 

Основні вимоги до вмінь учнів. 

Учні повинні знати:

       Властивості фігур на площині (відрізок, трикутник, прямокутник,  квадрат)

•          Формули площ та об’ємів

Учні повинні вміти:

•            Виконувати побудову фігур.
•            Виконувати побудову креслень, розгорток.  
•            Працювати з вимірювальними приладами.

 

       Дана стаття пропонує добірку вправ і завдань до деяких тем плану.                                                        

1. На рис.1  зображені геометричні тіла. укажіть серед них:

1) паралелепіпеди; 2) призми; 3) піраміди; 4) багатогранники.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Якщо в прямокутному паралелепіпеді зафарбувати одним кольором паралельні ребра, то кольорів потрібно:

1) 2;       2) 6;    3) 3.

          3. Скільки маленьких кубиків пішло на побудову «будиночка», накресленого на рис. 2:

 1) 60;    2)66;   3) 82?

 

 

 

 

 

 

 

        4. Скільки граней у незаточеного шестигранного олівця:

1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 6;  5) 8;  6)10?

5. На столі стоїть куб, а кругом нього літають метелики. Кожен із них намагається зайняти всю його грань. Скільки метеликів знайдуть собі місце на цьому кубі:

6. Дівчинка виготовляє ялинкову іграшку з паперу у формі кубика. Кожне його ребро потрібно заклеїти смужкою для міцності. Скільки смужочок для цього потрібно:

1) 6;    2) 8;   3) 12?

7. У кожну вершину паперового кубика дівчинка встромила шпильку з кольоровою голівкою. Скільки шпильок вона використала:

1) 4;   2) 6;    3) 8?

8. Дана призма, основою якої є восьмикутник. Скільки в цієї призми:

а) вершин             1) 16;   2) 18;   3) 8?

б) ребер                 1) 16;   2) 24;   3) 32?

в) граней               1)  8;   2) 10;    3) 12?

9. Скільки дроту  треба використати для виготовлення каркасної моделі

шестикутної піраміди, усі ребра якої дорівнюють 5 см:

1.    30 см; 2) 60 см; 3) 80 см?

 

10. У піраміди 1883 вершини. Скільки вершин у основі цієї

піраміди:

1)1883;   2) 1884;   3)1882?

11. Гусінь може повзти вздовж ребра чотирикутної піраміди тільки в одному напрямку. Припустимо, що вона стартувала з вершини А основи та рухається тільки по ребрах основи. Скільки ребер їй треба проповзти, щоб закінчити шлях у точці А:

1) 4 ребра; 2) 5 ребер; 3) 6 ребер?

12. Усні запитання:

1.      У п’ятикутній піраміді ребер усього….

                   1) 5;           2) 10;           3) 6?

2.      У трикутній піраміді всего…..

                   1) 3 ребра; 2) 4 ребра; 3) 6 ребер?

3.      У чотирикутній  піраміді всього…..

                    1) 4 ребра; 2) 8 ребер; 3) 5 ребер?

4.      У  n-кутній піраміді  всього…..

1.       2n ребер, 2) n ребер, 3) 2n - 1 ребер ?

 

     Конструктивні задачі

1. Як перетворити  паралелограм на трикутник?
2. Як перетворити  паралелограм на прямокутник?
3. Проведіть пряму так, щоб вона перетинала всі боки:

       а)  трикутника;  б) чотирикутника;        в) п’ятикутника;

г)  опуклого шестикутника.

4. Як посадити 9 дерев у 10 рядів по 3 дерева в кожному  ряді?

         Розв’язок: див. рис.

5. Як розмістити 10 монет у 5 рядів по 4 монети в кожному  ряді?
6.    Дослідники хочуть упевнитися, що відріз тканини має форму квадрата. Для цього цей відріз двічі згинають, спочатку по одній, а

Потім по іншій діагоналі.
Трикутники, що утворюються після згинання, обидва рази збігаються. Чи можна вважати, що відріз квадратний?

рис.

 

Аналогія

Аналогія -  розумова операція, за допомогою якої можна знайти подібність між об’єктами в певному співвідношенні. Використання аналогії в математиці є одним із основних методів під час пошуку розв’язку задачі. Дуже часто дії за аналогією призводять до потрібного результату.

Задачі цієї серії спрямовані на відпрацювання таких пізнавальних прийомів, як проведення словесних аналогій та знаходження аналогій між фігурами.  Суть цих завдань полягає в наступному.

 

 

У верхньому ряді  знаходяться три об’єкти. Між двома першими з них  є певний зв’язок. Потрібно його знайти і, розмірковуючи аналогічно, дібрати з нижнього ряду об’єкт, що має такий же зв’язок із третім об’єктом у верхньому ряді. Під час розв’язання  таких задач розкриваються такі елементи творчої діяльності, як перенесення знань та вмінь у нову ситуацію, бачення нової функції об’єкта, його структури. 

На рисунку у верхньому ряді зображені три фігури. Подумайте, як пов’язані перші дві з них, та вкажіть у наборі (а - - г) четверту фігуру, яка так само пов’язана з третьою. 

 

Аналіз и синтез

Це найважливіші розумові операції. Аналіз пов’язаний із виділенням елементів даного об’єкта, його признаків або властивостей. Синтез — це з’єднання різних елементів, сторін об'єкта  в єдине ціле. У розумовій діяльності аналіз і синтез доповнюють один одного; так, аналіз здійснюється через синтез, синтез -  через аналіз. Здібність до аналітико-синтетичної діяльності знаходить своє відображення не тільки у вмінні виділяти елементи того чи іншого об’єкта, його різні признаки або поєднувати елементи в єдине ціле, але й в умінні  вставити його в нові зв’язки, побачити його нові функції.  Формуванню таких рис творчої діяльності можуть допомагати завдання, у яких об’єкт розглядається з точки зору різноманітних понять, а також постановка різних питань стосовно даного геометричного об’єкта. 

 

"Геометричні фігури"

1. Скільки трикутників ви бачите  на рис. 1? Чи є тут чотирикутники? Скільки  їх?
2. Скільки квадратів зображено на рис. 2? Чи є серед них однакові?

3. Знайдіть у прямокутника АВСО відрізок  СО. Що ви можете про нього розказати?
   (СО -  сторона прямокутника; СО дорівнює протилежній стороні АВ; СО менша, ніж ВС.
4. Накресліть відрізки так, щоб вони розділили прямокутник на п’ять трикутників. Скільки відрізків ви накреслили?
5. Накресліть трикутник. Проведіть у ньому відрізок так,  щоб він розділив ваш трикутник на чотирикутник і трикутник. Периметр якої фігури буде більшим?
6. Дерев’яний пофарбований кубик розділили навпіл. Скільки стало пофарбованих і непофарбованих граней у кожної половинки?                               
7.  Квадратний аркуш паперу розріжте на дві нерівні частини, а потім складіть із них трикутник.
8. Із аркуша паперу, пофарбованого з одного боку, вирізали рівнобічний трикутник. Як розрізати цей трикутник  на три частини так, щоб із них можна було скласти прямокутник, пофарбований із одного боку?

 Порівняння

Це така розумова операція, за допомогою якої встановлюється відмінність або подібність предметів. Формування вміння користуватися цим прийомом слід проводити поступово:

а)   виділення признаків або властивостей одного об’єкта;

б) встановлення подібності або відмінності між признаками двох об’єктів;

в) виявлення подібності  між признаками  трьох, чотирьох і більше об’єктів.

Показник сформованості прийому порівняння - уміння дітей самостійно використовувати його під час розв’язання різних задач без вказівки: "Порівняй...", "Укажи признаки...", "У чому подібність та відмінність...".

Усні задачі

1. Розділіть круглий сир трьома розрізами  на 8 частин. [Відповідь на рис. 2].
2. Із  шести паличок  складіть чотири правильних трикутника так, щоб стороною кожного була ціла ціла паличка. [Трикутна піраміда з ребром, що дорівнює паличці.]
3. Розташуйте 5 однакових монет так, щоб кожна з них торкалася чотирьох інших. [Відповідь на рис.3]
4. Чи можна розташувати 6 однакових олівців так, щоб кожен торкався п'яти інших? [Можна. Див. рис. 1]
5. Виріжте з цілого аркуша паперу таку саму фігуру, як на рис.5 [Прямокутний аркуш розрізати по відрізках  а, b, с (рис.4), заштриховану частину повернути навколо прямої 1 на 180°].

              

Рис   1     Рис   2     Рис  3

 

  рис.5

Рис.4

 

 

Ілюзії

На рис. 1 будь-який математик бачить куб, а не тільки два квадрати, вершини яких поєднані попарно. А накреслені  все-таки квадрати...

Бачити  куб нам дозволяє добре розвинуте просторове уявлення. Проте дивно: один раз ми бачимо цей  куб начебто згори і справа , а другий - знизу і зліва. Це вже  казуси ілюзії, якими треба вміти керувати, підпорядковуючи своє уявлення тій реальності, про яку йде мова в конкретній задачі. Але багато дітей довго не можуть цьому навчитися. Допоможіть їм ще в середніх класах школи, запропонувавши спеціальні вправи.

1. Закрийте аркушем кольорового паперу передню грань куба і опишіть свої враження.
2. Закрийте аркушем кольорового паперу  задню грань куба і спробуйте передати свої враження через малюнок. На що схожий ваш малюнок: на шафку? поличку?
3. Що ви бачите  на рис. 2? [Брусок із заглибленням (задня стінка заглиблення - - площина АВ), або брусок с виступаючим шипом,де АВ    -
   його передня грань, або відкриту  частину порожнього ящика з прилеглою до внутрішніх стінок цеглиною.]
4. На рис. 3а фігура не домальована (верхня частина зображення закрита аркушем паперу). Домалюйте її. (Діти зазвичай домальовують фігуру так, як на рис.3б, і не бачать ніякої пастки. Вона стає очевидною тільки тоді, коли подивишся на рис.3в. Тоді учні розуміють, що таких фігур, як на рис.3, не існує).

    

Рис.1 рис.3               

                                                          

Рис  2

 

5.   На промені, що перетинають паралельні прямі с і d,  паралельні прямі видаються увігнутими.
6. Зображений квадрат АВСВ, хоча складається враження, що ми бачимо трапецію.
    

                    

          

                           

Стереометричні задачі

Стереометрія – це розділ математики,  у якому вивчають фігури в просторі. 

1.Розверніть куб і з’ясуйте, яка грань є верхньою, якщо нижня грань зафарбована.

2.Які точки  збігуться під час збирання даної розгортки куба?

3.Які з зображених кубів можна скласти із запропонованої

розгортки  (див. на  рис. 7)?             

 

 

 

 

 

 

 

 

                   

 

 

 

 

 

 

Фігури в просторі

1. У наборі рисунків геометричних фігур (куба, прямокутної піраміди, конуса...) знайти креслення, що відповідає поданій моделі. 

2. У наборі креслень геометричних фігур (куба, прямокутної піраміди, конуса...) знайти креслення, що відповідає моделі даної фігури.               

3. У наборі рисунків геометричних фігур (куба, трикутної призми, конуса, циліндра ...) знайти малюнок, що відповідає поданому кресленню. 

4. На каркасній моделі прямокутного паралелепіпеда із зазначеними вершинами, указати ребра, паралельні ребру АА - АО; ребра, перпендикулярні АА - АД; указати ребра, що перпендикулярні на моделі та  зберігають видиму перпендикулярність на кресленні; указати ребра, що перпендикулярні на моделі та  не зберігають видиму перпендикулярність на кресленні. Чи зберігають паралельність на кресленні ребра, паралельні на моделі (усі висновки перевірити за допомогою необхідних інструментів для креслення)?

                5. На кресленні прямокутного паралелепіпеда виділені деякі точки, указати їх на моделі даної фігури.

 

«Площа  фігур»

1. Накресліть будь-який невеликий квадрат. Як потрібно змінити його сторони, щоб побудувати квадрат, площа якого була б: 1) більша в 4 рази? 2) у 9 разів більша? 3) у 16 разів більша? Перевірте розв’язок побудовою.
2. Є три однакових квадрати зі сторонами 2 см кожен. Якими прямокутниками можна замінити ці три квадрати так, щоб площа кожного прямокутника дорівнювала сумі площ цих квадратів. Довжини сторін прямокутників повинні бути виражені цілими  числами. Побудуйте ці прямокутники.
3.     Із  22 паличок скласти прямокутник найбільшої площі.
4.     Відмотайте від котушки шматочок нитки. Відріжте його  й зав’яжіть кінчики.    Покладіть цю зв’язану нитку на аркуш паперу в клітинку (рис. 1). Яку форму треба надати нитці, щоб вона охопила найбільшу площу?
5.     Із 12 сірників можна скласти фігуру хреста, площа якого дорівнює п’яти сірниковим квадратам. Змініть розташування сірників так, щоб контури  фігури охоплювали площу, що дорівнює тільки чотирьом сірниковим квадратам.

Рис.1

 

 

Література для вчителя

1. Возняк Г. М., Литвиненко Г. М., Маранюк М. П. Математика: Проб. підручник для 5 кл. серед. шк. - К.: Освіта, 1996г.
2. Литвиненко Г. М., Возняк Г. М. Математика: проб. підручник для 6 кл. серед. шк. - К: Освіта, 1995 г.
3. Якіманська  Н. С. Розвиток просторового мислення школярів.. - М.: Педагогіка, 1980.
4. Давидов В. В. Проблеми розвивального навчання та експериментального дослідження: -  М.: АПН СССР, 1986.
5. Заїка Е. В. Комплекс інтелектуальних ігор для розвитку мислення учнів. Питання психології. - 1994. № 6

6. Лернер И. Я. Дидактичні основи методів навчання. - М.: Педагогіка, 1981.