Розв'язування оптимізаційних задач

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ОПТИМІЗАЦІЙНИХ ЗАДАЧ

Мета: формувати вміння розв’язувати оптимізаційні задачі у середовищі Wolfram|Alpha.

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Умова 1

Визначити елементи моделі оптимізаційної задачі і розв’язати її:

f(x)= x + sin x →  min при  0 < = x < = 10

Хід роботи

1. Визначте основні елементи оптимізаційної задачі: змінну  величину, цільову функцію, критерій і обмеження.
2. Відкрийте у вкладці вашого браузера https://www.wolframalpha.com.
3. На головній сторінці в діалогове вікно введіть цільову функцію z і обмеження, використовуючи конструкцію

minimaze < функція> over [ <числовий проміжок>]

4. Зверніть увагу на формат запису обмеження: їх потрібно записувати в формі числових проміжків у круглих або квадратних дужках, в залежності від умови.
5. Запишіть розв’язок задачі: х = 0.

Умова 2

Розв’яжіть засобами СКМ Wolfram|Alpha задачу на оптимізацію:

 Підприємство виготовляє 2 види фарб: для внутрішніх робіт (І) і для зовнішніх (Е). Для їх виробництва використовують сировину  А і В.  Максимально можливий добовий запас сировини А - 6 т, сировини В - 8 т. Добовий попит на фарбу для внутрішніх робіт перевищує попит на краску для зовнішніх робіт на 1 т, але не перевищує 2 т. Яку кількість фарби кожного виду потрібно виготовляти підприємству, щоб  максимізувати прибуток від продажу, якщо ціна за 1 т фарби І - 2000 грн, фарби Е - 3000 грн?

Хід роботи

1. Побудуйте математичну модель задачі. Для цього зручно представити дані задачі у вигляді таблиці (таблицю можна побудувати в текстовому редакторі):

2. Позначимо х - шуканий обсяг виробництва фарби Е, у - фарби І. Тоді цільова функція і обмеження будуть мати вигляд:
   1. z = 3х + 2у
   2. x + 2y
   3. 2x + y
   4. - x +  y  
   5. y
   6. x
3. Для розв’язання задачі відкрийте у вкладці вашого браузера https://www.wolframalpha.com.
4. На головній сторінці в діалогове вікно введіть в діалогове вікно цільову функцію z і обмеження, використовуючи конструкцію

max <цільова функція> if <обмеження 1>, <обмеження 2>, ...

5. Запишіть розв’язок задачі в текстовому документі: х = , у = при z_max = 12 _.

6. Про виконання завдання повідомте вчителя.

Задачі для самостійного розв’язання.

Знайти екстремуми функції:

1. f(x)= x  2 sin x →  min при  x є [0, +];
2. f(x)= cox³ x + sin³ x →  max при  x є [-2, 1];
3. f(x)= →  min  при  x є [-2, 2];
4. f(x)= →  max при  x є [-7, 3].

Побудувати математичну модель задачі і розв’язати її:

1.               Для виготовлення трьох видів виробів А, В і С використовується токарне, фрезерне, зварювальне і шліфувальне обладнання. Затрати часу на обробку одного виробу для кожного з  типів обладнання вказані в таблиці. У ній же вказаний загальний фонд робочого часу кожного із типів використовуваного обладнання, а також прибуток від реалізації одного виробу кожного виду. Потрібно визначити, скільки виробів і якого виду потрібно виготовити підприємству, щоб прибуток від їх реалізації був максимальним.

2.               При відгодівлі тварин кожна тварина щодня повинна одержувати не менше 60 одиниць поживної речовини А, не менше 50 одиниць речовини В і не менше 12 одиниць речовини С. Вказані поживні речовини містяться в трьох видах корму. Склад одиниць поживних речовин в 1кг кожного з видів корму наведений у таблиці.

Скласти денний раціон, що забезпечує отримання необхідної кількості поживних речовин при мінімальних грошових витратах.

3.               Для виробництва двох видів виробів і підприємство використовує три види сировини. Норми витрат сировини кожного виду на виготовлення одиниці продукції даного виду наведені в таблиці. У ній же вказаний прибуток від реалізації одного виробу кожного виду і загальна кількість сировини даного виду, яка може бути використана підприємством.

Враховуючи, що вироби і можуть виготовлятися в будь-яких співвідношеннях (збут забезпечений), вимагається встановити такий план їх випуску, при якому прибуток підприємства від реалізації всіх виробів буде максимальним.