Урок-кейс  «Піраміда»

Автор кейсу: Підгорна Тетяна Євгенівна

Розділ: Математика

Рівень (клас): 9-11

Тема: Геометричні фігури

Мета: Формування понять піраміда, основа, вершина, бічні ребра, висота піраміди, вмінь учнів знаходити елементи піраміди;

Розвивати пізнавальну активність, життєві компетенції;

Виховувати наполегливість, самостійність, старанність у навчанні.

Розгортка з предметів:

•            Історія
•            Математика
•            Технології
•            Екологія
•            Література
•            Основи здоров’я
•            Психологія
•            Географія

 

Вступ

 

Піраміда (також рогівниця, гостриця, остриця) — многогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Історія

 

Єгипетські піраміди являють собою дивний приклад геометричної і математичної містики.

Велика піраміда (піраміда Хеопса) має квадратну будову, у цей час довжини сторін рівняються: північна — 230,25 м, південна — 230,4, східна — 230,38, західна — 230,35 м. До втрати облицювання — 232,5 м. Таким чином, периметр піраміди — приблизно 1 км. Площа піраміди — 5,4 га (54 тисячі м2). Її висота — 146,6 м. Об’єм піраміди — більше 2 500 000 м3. Для порівняння: з каменю, використаного в піраміді можна побудувати всі відомі храми Європи. У всіх деталях Великої піраміди збережені (золоті) пропорції.

Це не можна пояснити простою випадковістю. Периметр піраміди, розділений на подвоєну висоту, дає число «Пі» з точністю до 0,01, а висота піраміди Хеопса становить одну мільярдну відстані від Землі до Сонця. Якщо провести горизонтальну лінію через центр Землі до перетинання з окружністю, потім накреслити лінії із крапок перетинання нагору до центра Місяця, а із центра Місяця обернено на Землю, то це будуть точні пропорції  піраміди Хеопса.

У єгипетські піраміди немають жодного відгалуження, відрізка або напрямку, жодного об’єму, або виступу, що не мають певного значення. У формах піраміди Хеопса укладені основні принципи світобудови. Піраміди Гізифункціонують як величезний космічний годинник. Єгиптологи і пірамідологи із значень висоти і довжини піраміди Хеопса виводять множину космологічних закономірностей і параметрів, основними з яких є: 3,4 — довжина витка спіралі ДНК для всіх живих істот; 3:40 — відношення площі Землі; 1:49 — співвідношення об’ємів Місяця і Землі; 1:81,3 — співвідношення маси Місяця і Землі; 3,14 — число «Пі»; 499 (секунд) — час, за яке сонячне світло проходить відстань до Землі; численні взаємозв’язки між параметрами Сонця, Землі, Місяця, Сиріуса і ін.

Всі піраміди в Єгипті, відомі науковому світу, строго орієнтовані по сторонах світу. У Гізі Єгипетські Піраміди орієнтовані відповідно на північ, схід, південь, захід. По одній з легенд «…задовго до царства фараонів територія Єгипту була поділена атлантами на чотири частини. Ріка Ніл розмежовувала східну і західну частини. На сході, жили предки єгиптян — атланти, що належать до білої раси. А західний берег був відданий потойбічному світу, тут ніхто не селився. Крім того, виділялися північна частина, звернена убік єдиної прабатьківщини атлантів, і південна частина, населена чорною расою атлантів.

 

Піраміда Хеопса має форму правильної чотирикутної піраміди. Сторона основи дорівнює 230 м, а висота – 147 м. Сторона основи точної музейної копії цієї піраміди дорівнює 23 см. Знайти висоту музейної копії. Відповідь дати в сантиметрах.

 

 

 

Математика

Правильна піраміда

Піраміда називається правильною, якщо основою її є правильний багатокутник, а вершина проектується в центр основи. Тоді вона має такі властивості:

• Бічні ребра правильної піраміди рівні;

• В правильній піраміді всі бічні грані - конгруентні трикутники;

• В будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати навколо неї сферу;

• Якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює, а кожен з них відповідно, де n - кількість сторін багатокутника основи;

• Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему.

 

 

Прямокутна піраміда

Піраміда називається прямокутною, якщо одне з бічних ребер піраміди перпендикулярне основі. В даному випадку, це ребро і є висотою піраміди.

Тетраедр

Тетраедром називається трикутна піраміда. У тетраедра кожна з граней може бути прийнята за основу піраміди. Крім того, існує велика різниця між поняттями «правильна трикутна піраміда» і «правильний тетраедр». Правильна трикутна піраміда - це піраміда з правильним трикутником в основі (межі ж повинні бути рівнобокими трикутниками). Правильним тетраедром є тетраедр, у якого всі грані є рівносторонніми трикутниками.

Властивості

Такі три твердження є еквівалентними:

1. Бокові ребра піраміди рівні;

2. Бокові ребра піраміди нахилені до площини її основи під рівними кутами;

3. Проекція вершини піраміди на площину її основи збігається з центром кола, описаного навколо основи.

Такі три твердження також є еквівалентними:

1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;

2. Двогранні кути при основі піраміди рівні;

3. Вершина піраміди проектується до центру кола, вписаного в її основу.

Зрізана піраміда утворена пірамідою та площиною, яка паралельна до основи піраміди та перетинає її, відтинаючи подібну піраміду.

ПІРАМІДА. ОКРЕМІ ЗАДАЧІ

При розв’язуванні задач на знаходження окремих елементів піраміди слід звернути увагу на основні властивості.

 

1.               Якщо ребра піраміди нахилені до площини основи під одним кутом (або рівні), то висота піраміди проведена до центра кола, описаного навколо основи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.               Якщо бічні грані піраміди нахилені до площини основи під одним кутом, то висота піраміди проведена до центра кола, вписаного у основу.
3.               Якщо дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, то висота проведена до вершини, спільної для цих граней.

4.                 Якщо одна бічна грань трикутної піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені до площини основи під одним кутом, то висота піраміди знаходиться у цій грані і проведена до точки перетину сторони трикутника з бісектрисою, проведеною з протилежного кута основи. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконання усних вправ

 

1.              Висота піраміди дорівнює 6см, а бічні ребра рівні й дорівнюють 10см. Чому дорівнює радіус кола, описаного навколо основи піраміди? (Відповідь. 8см).
2.              Висота піраміди дорівнює 5см, а всі бічні грані нахилені до площини основи під кутом 45˚. Чому дорівнює радіус кола, вписаного в піраміду? (Відповідь. 5см).
3.               Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 6см і 8см. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 13см. Обчислити висоту піраміди. (Відповідь. 12см).

Виконання письмових вправ

Основою трикутної піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною 1см. Одне з бічних ребер піраміди перпендикулярне до площини основи, а протилежна до цього ребра бічна грань утворює з площиною основи кут 60˚. Знайти висоту піраміди. (Відповідь. 1,5см).

Технології

 

 

 

Для її виготовлення вам знадобляться:

•                   папір;
•                   олівець;
•                   дирокол;
•                   прозорий скотч;
•                   лінійка;
•                   декоративна свічка на батарейках.

 

 

 

 

1: Роздрукуйте запропонований нами шаблон трикутника (який ви можете скачати тут), або намалюйте свій. Виріжте його. По черзі прикладаючи трикутник до аркуша паперу, обведіть його чотири рази.

 

 

 

 

 

 

2: Виріжте отриману фігуру. Виконайте в ній отвори за допомогою звичайного або фігурного діркопробивача та складіть з неї піраміду. Закріпіть за допомогою клею або прозорого скотчу.

 

3: Накрийте пірамідкою декоративну свічку на батарейках.

 

 

 

 

Зроби виміри своєї піраміди та знайди ії об’єм та площу поверхні.

 

Екологія

 

 

Користуючись правилом екологічної піраміди визначити, яка площа (в га) біоценозу може прогодувати одну особину останньої ланки в ланцюгу живлення:

- планктон-риба-тюлень (300 кг);

- планктон-нехижі риби-щука (10 кг);

Суха біомаса планктону з 1кв.м становить 600 г за рік.

Із вказаної у дужках маси 40% становить вода.

1). Суха маса тюленя:    300 кг --- 100%

                                            х кг ---- 60%           х =180кг

2). На підставі правила екол. піраміди визначаємо, скільки потрібно планктону:

          180 кг тюлень                   1800 кг риба         18000 кг планктон

3). Визначаємо площу даного біоценозу, якщо відомо, що суха біомаса планктону з 1 кв.м становить 600 г.

Отже,                      1 кв.м ----0,6 кг

                               х кв.м ---- 1800 к х = 30000 кв.м = 3 га

Відповідь: необхідно 3 га планктону.

Література

Життя будує з цегли піраміди,

Де цегла - кожен з поміж нас,

Це ті,хто знає місце Атлантиди

Або ж оті, яких вбиває час...

 

Та в піраміді все нестало,хаотично

І доля рухає цеглини між рядами,

Ти можеш впасти донизу...Критично!

Або ж блестіти у промінні слави....

 

Та лізучи на пік лиш одиниці розуміють

Що перед ними тисячі скотилися додолу,

Й тепер у праці каторжній потіють

Зі своїх спин формуючи основу...

 

І піраміда ця-весь сенс життя,

Де кожна цегла буде головною,

Яка формує суть буття

Що весь мільйон керується одною...

 

Зв’язки людські,неначе блоки

Їх не єднає океан бетону,

А єдність - то зустрічні кроки,

Й рука простягнута забутому самому...

 

Стихотворение пирамида

Целищев Дмитрий Леонидович

 

 

В Египте кто то создал пирамиду.
Одно лиш это чудо из чудес.
Не кем не будет , это позабыто.
А на рисунке и в квадрате , крест.

Стоит столетья , за собой сжигая.
Стоит не первый и не третий век.
Взглянув , одно дыханье замирает.
Какое чудо создал человек.

Ветра ту пирамиду , обдувают.
И солнце тот же камень так же жжот.
Наследью и тому же та же память.
А в пирамиде есть подземный ход.

Притягивая не одно столетье.
К себе всё те же тысячи людей.
Злодей себе такого не построит.
Вся сила и вся правда в ней.

Основи здоров’я

Піраміда харчування ілюструє щоденний асортимент продуктів, які необхідні кожній людині. Такий перелік дозволяє скласти здорове і раціональне меню. Харчова піраміда дає можливість урізноманітнити своє харчування, отримуючи одночасно всі необхідні для організму поживні речовини, а також дозволяє контролювати споживання насиченого жиру і здоровий вагу.

Перший поверх, або основа піраміди.

Злаки. Цільнозернові продукти: житній хліб, макарони з твердих сортів пшениці, неочищений рис, крупи. Продукти з цієї групи складають основу нашого харчування. Зернові культури є основним джерелом вуглеводів в організмі і відповідно основним джерелом нашої енергії.

Другий поверх піраміди містить овочі та фрукти.

 Фрукти. Це відмінне джерело вітаміну С, який сприяє швидшому заживленню дрібних подряпин (а жодна дитина без них не росте), робить шкіру та слизові  здоровішими, підтримує імунітет дитини. Також у фруктах міститься клітковина, яка просто необхідна для нормального травлення. Звісно що, найкраще вживати свіжі фрукти. Але підійдуть також сухофрукти, заморожені фрукти і консервовані.

Ягоди.

Овочі. У них також міститься клітковина. А також вітаміни, найголовнішим серед яких є вітамін А. Овочі темного кольору містять більше поживних речовин (броколі, морква, буряк). Набір овочів на день має бути різноманітним та різнокольоровим.

Третій поверх – це білкові продукти. М’ясо, риба, яйця, боби, горіхи.

М'ясо. Це: яловичина, курка, індичка, риба, свинина (але нежирна). Ця група містить залізо і білок, який робить наші м’язи сильними. Дитині слід вживати нежирне м’ясо, очищене від шкірки. Корисною є морська риба багата на жирні кислоти. Бекон, ковбаси у раціон дитини треба включати обмежено.

Боби та горіхи.

Молочні продукти (йогурти, кефір, сир).  Ключовий інгредієнт тут кальцій, який необхідний для міцних кісток та зубів.

На четвертому поверсі розмістилися жири.

Жири: вершкове та рослинне масло, солодощі, кондитерські вироби, газовані напої та десерти.  Жири в організмі потрібні для багатьох біохімічних процесів і синтезу вітамінів. Але їх вміст у меню дитина повинен бути мінімальним.

У процентному співвідношенні харчова піраміда виглядає так: 1-й поверх (базис) – 40%. 2-й поверх – 30–35%. 3-й поверх – 20%. 4-й поверх – 5–10%.

 

 Розроби свою піраміду здорового харчування.

Складаючи здоровий раціон рекомендується вибирати продукти з малим вмістом холестерину і жиру. Для всіх віків слід обмежити вживання солі, цукру і алкоголю. У меню повинні бути присутніми свіжі продукти, що містять життєво необхідних поживних речовин. Дотримуючись таких правил, можна запобігти різні розлади здоров'я і з упевненістю дивитися в майбутнє.

 

Психологія

Піраміда потреб Маслоу

Маслоу, створюючи у 1940-х рр. свою теорію мотивацій, намагався пояснити, чому в різний час у людей виникають різні потреби. Він вважав, що потреби людини мають ієрархічну структуру з 5 рівнів.

У кожний конкретний момент часу людина буде прагнути до задоволення тієї потреби, що для неї є важливішою або сильною.

Фізіологічні потреби (потреби найнижчого рівня) є необхідними для виживання. Вони включають потребу в їжі, воді, захисті, відпочинку, сексуальні потреби.

Потреби в безпеці включають потреби в захисті від фізичних і психологічних небезпек з боку навколишнього світу і впевненість у тому, що фізіологічні потреби будуть задовольнятися в майбутньому (покупка страхового полісу або пошук надійної роботи з гарними видами на пенсію).

Соціальні потреби (потреби в приналежності, дружбі, любові) включають почуття приналежності до чого-небудь або кого-небудь, підтримки.

Потреби в повазі включають потреби в особистих досягненнях, компетентності, повазі з боку оточуючих, визнанні.

Потреби в самовираженні, самореалізації — потреби в реалізації своїх потенційних можливостей і зростанні як особистості.

Спочатку споживачі прагнуть задовольнити потреби нижчого рівня, потім можуть думати про задоволення наступної за значимістю потреби. Основний недолік теорії Маслоу зводиться до того, що їй не вдалося врахувати індивідуальні відмінності людей. Виходячи з минулого досвіду, одна людина може бути найбільше зацікавлена у самовираженні, у той час як поведінка іншої буде в першу чергу визначатися потребою у визнанні, соціальними потребами.

Маслоу вважає, що психічні (фізіологічні) потреби середнього громадянина задовольняються на 85%, екзистенційні — на 70, соціальні — на 50, престижні — на 40, самовираження — на 10%. Статистика говорить, що тільки один-два відсотки людей прагне до вершини піраміди А. Маслоу.

Географія

Де можна побачити піраміди?

Піраміда майя Чічен-Ітца на півострові Юкатан (Мексика)

Головною пам'яткою Чічен-Ица є піраміда майя Кукулькан. Її ще називають «Ель-Кастильо», що в перекладі з іспанської означає «замок».

Піраміда була побудована близько 800 року нашої ери. Вона є найбільш відомим храмом племені майя, який служив політичним та економічним центром цивілізації. «Кукулькан» мовою майя означає «пернатий змій».

Висота піраміди 25 метрів, на її верхньому майданчику розташований храм. В основі піраміди — квадрат зі стороною 55,5 м. На сторонах піраміди — 9 терас, по одній на кожну область царства мертвих. Так майя уявляли собі потойбічний світ — те місце, куди вони відправлялися після смерті.

До вершини піраміди ведуть чотири широких крутих сходів-драбин, поділених на 18 прольотів, кожний з яких відповідав місяцю року, адже в календарі майя було 18 місяців.

Кожні сходи складаються з 91 щаблинки. Якщо число щаблинок сходів помножити на кількість сходів (4) і розглядати платформу на вершині піраміди, на якій стоїть храм, як ще одну сходинку, то одержуємо 91 x 4 + 1 = 365 — кількість днів у році . Ці цифри — зовсім не випадковий збіг. Учені зробили висновок, що майя поклали в основу побудови піраміди календарний принцип. Та й сама піраміда, можливо, мала якесь астрономічне значення.

Піраміда орієнтована суворо на чотири сторони світу. Сходи, що розташовані на північному боці піраміди, унизу по краях кінчаються зміїними головами, які є символом бога Кукулькана.

 

 

 

Велика Біла піраміда в Китаї

Як відомо, на світі існує чимало таємничих пам'яток минулих цивілізацій, призначення яких навряд чи можна в повній мірі пояснити, оперуючи лише звичними нам раціональними поняттями. Найбільш цікавими серед них є піраміди, зведені в самих різних частинах планети. Особливий інтерес представляє Велика Біла піраміда в Китаї, відкрита лише кілька десятиліть тому і практично не досліджена.

 

 

Згадай де знаходяться ці піраміди?

(Египет)

(Пирамида в Гизе)

(Париж. Лувр.)

Підведення підсумків уроку

№	Найменування	Зміст
1	Результати кейс-уроку можно доповнити такими знахідками учнів:
2	Де брати інформацію для кейсу:	http://mathab.com.ua/geometriya/stereometriya/piramida-okremi-zadachi.html http://www.poetryclub.com.ua/getpoem.php?id=328594 http://zhyvyaktyvno.org/index.php/blog/harchova-pramda-dlya-dtej-ta-doroslih https://uk.wikipedia.org/wiki/Піраміда_потреб_Абрагама_Маслоу
3	Локація проведення кейс–уроку:	Урок–кейс проходить у класі. Можливе проведення в бібліотеці, музеї, в актовій залі
4	Домашнє завдання:	Сформулювати по п’ять запитань до кейсу (індивідуальне завдання кожному учню).
5	Тривалість:	90 хвилин (спарений урок)
6	Отримані результати і напрацьовані компетенції:	- вміння швидко відшукати необхідну інформацію за темою; - вміння креативно використовувати отриману інформацію з практичною метою; - засвоєння конкретних знань з геометрії, алгебри, технологій та інших розділів (наведені в розгортці); - вміння «конструювати» отриманні знання на основі отриманих відомостей та їх сегментів; - апгрейд інтелектуальних та комунікативних навичок.
7	Теги:	В даному кейсі містяться посилання на розділи і уроки, що відповідають шкільній програмі: електомагнітна хвиля, звукові колиання, освітленість, світловий потік, поглинання, відбивання, метали, анод, катод, електрохімічна реакція, іон, ймовірність
8	Автори:	Підгорна Тетяна Євгенівна

Кінець

 

«Математику тому вчити треба, бо вона розум до ладу приводить»

М.В. Ломоносов