8 клас. Презентація "Системи числення"

Системи числення Арифметичні основи інформаційних систем

Поняття про системи числення Система числення – це спосіб зображення чисел і відповідні йому правила дій над числами. Розрізняють непозиційні та позиційні системи числення. Системи числення Непозиційні – значення цифри не залежить від місця в записі числа. Прикладом є римська система числення. XXXV Позиційні – значення цифри залежить від позиції в записі числа. Прикладом позиційної сис-теми числення є десяткова. 1234 = 1000 + 200 + 30 + 4

Історичний екскурс У різні історичні періоди користувалися системами числення, відмінними від десяткової. Широке застосування мала дванадцяткова система, її походження пов'язують з рахунками на чотирьох вказівних пальцях руки, які мають 12 фаланг. До нашого часу ця система дійшла у виразах: «дюжина», «грос» — дюжина дюжин, «маса» — дюжина гросів, 1 фут = 12 дюймів, 1 шилінг =12 пенсів. У давньому Вавилоні існувала шістдесяткова система числення. Ця система також дійшла до наших днів: 1 година = 60 хвилин, 1 хвилина = 60 секунд, 1 градус = 60 хвилин. У деяких африканських народів існувала п'ятіркова система числення, а в ацтеків і майя була двадцяткова система.

Єгипетська нумерація Розрядні знаки писали групами справа наліво, в одній групі — не більше як чотири однакових знаки. Наприклад, число 3247 зображалося так: Кожен знак означає одне й те саме число, де б він не стояв. У непозиційній десятковій нумерації для запису одного розрядного числа потрібно від одного до дев'яти розрядних знаків. Число 847 записувалося так:

Слов’янське алфавітне позначення чисел Слов'янське алфавітне позначення чисел виникло в X ст. і застосовувалося без істотних змін до XVII ст. включно. Над буквою, яка позначала певне число, ставили особливий знак — титло. Для позначення багатоцифрових чисел знаки записували підряд: тисячі, сотні, десятки, одиниці. Слов'янська алфавітна нумерація була десятковою. Для позначення тисячі застосовувався особливий знак — перекреслена риска, який записували ліворуч від букви. Наприклад, число 2873 запису вали так:

Римська нумерація Зі стародавніх нумерацій збереглася лише римська. Вона застосовується для позначення століть, запису чисел на циферблаті годинників. Римська нумерація — десяткова, але із залишками п'ятіркової; вона непозиційна, без знака нуль. За допомогою вузлових чисел та принципів додавання й віднімання записують інші натуральні числа. Одна й та сама цифра може повторюватися не більше як три рази. Менше число ліворуч від більшого може бути записане лише один раз. Наприклад, число 1985 записують так: MCMLXXXV. Головний недолік римської нумерації у тому, що вона не пристосована для письмового виконання арифметичних дій.

Алфавіт римської системи I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Якщо менша цифра стоїть праворуч від більшої, то вона додається до більшої. VI XI LX CX DC MC 6 11 60 110 600 1100 Менша цифра, що стоїть ліворуч від більшої, віднімається від більшої. Перед більшою цифрою може стояти тільки одна менша цифра. IV IX XL XC CD CM 4 9 40 90 400 900

Перетворіть римські числа у десяткові та назвіть подію, що відбулася цього року: Події з історії України: CMLXXXVIII MDCLI MDCCCXIV MDCCCLXXVIII MCMXLV MCMXCI Події з історії розвитку ОТ: MDCXLII MDCLXXIII MDCCCXXXIV MCMXLVI MCMLI MCMXCV

Позиційні системи числення У позиційній системі числення значення цифри залежить від позиції, яку вона займає в зображенні числа. В цілих числах позиції нумеруються справа наліво, починаючи з нульової. Наприклад, число 4321 можна подати у вигляді такої суми: 432110 =41000 + 3100 + 210+1 = 4103+ 3102 + 2101+1100 Число 10 називається основою десяткової системи числення. Алфавіт системи числення з основою р складається з р цифр: 0, 1, 2, …, р – 1. Інші цифри використовувати не можна. На практиці застосовують системи числення з основами 2, 8, 10, 16. Алфавіт двійкової системи складається з двох цифр: 0, 1. У системі числення з основою р = 8 алфавіт такий: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Алфавіт системи з основою р = 16 складається із символів: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F, де А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15.

Переведення чисел з системи числення з основою р у десяткову систему Десяткове значення числа, записаного в системі числення з основою р, знаходять за формулою: Приклади.

Вправи Розташуйте за спаданням 1258 2168 758 378 2578 7118 4638 Переведіть числа у десяткову систему числення: 345 238 1278 100112 11101002 1AE16 B416

Переведення чисел з десяткової системи в іншу Щоб перевести ціле число з десяткової системи в систему з основою р, треба здійснити послідовне ділення даного числа на число р за таким алгоритмом: Число поділити на р. Знайти остачу і частку. Якщо частка менша за р, то виконати пункт 6; якщо ні, то виконати пункт 4. Розглянути частку як нове число. Виконати пункти 1, 2, 3. Прочитати результат. Результат — це ланцюжок цифр, який складається з останньої частки та всіх остач, починаючи від останньої. Приклад 1. Перевести (125)10 у вісімкову систему числення. (125)10 = (175)8 125 8 120 15 8 5 8 1 7

Вісімкова система числення (метод тріад) Правило переведення двійкового числа у вісімкове: розбити запис двійкового числа справа наліво по 3 цифри; доповнити нулями до 3 цифр крайній лівий запис (якщо необхідно); кожну групу з 3 двійкових цифр замінити відповідною вісімковою цифрою. Вісімкові цифри 0 1 2 3 4 5 6 7 Двійкові числа 000 001 010 011 100 101 110 111 Приклад 1. Перевести у вісімкову систему двійкове число: 110011102 = 011 001 1102 = 3168 Приклад 2. Перевести у двійкову систему вісімкове число: 1728 = 001 111 0102 = 11110102

Шістнадцяткова система числення (метод тетрад) Правило переведення двійкового числа у шістнадцяткове: розбити запис двійкового числа справа наліво по 4 цифри; доповнити нулями до 4 цифр крайній лівий запис (якщо необхідно); кожну групу з 4 двійкових цифр замінити відповідною шістнадцятковою цифрою. 16-ові цифри 0 1 2 3 4 5 6 7 Двійкові числа 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 16-ові цифри 8 9 A B C D E F Двійкові числа 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Вправи Переведіть числа з десяткової системи у вісімкову: а) 510; б) 2510; в) 6410; г) 10010. Отримані числа переведіть у двійкову систему. Переведіть десятковий запис у двійкову, а потім вісімкову та шістнадцяткову системи, використовуючи методи тріад та тетерад: а) 9410; б) 1310; в) 4810; г) 5710. Перетворіть вісімкові записи чисел на шістнадцяткові (спочатку переведіть число в двійкову систему за допомогою тріад, а потім у шістнадцяткову, використовуючи тетради): а) 378; б) 418; в) 2528; г) 1618.