Дидактичний матеріал з теми "Цілі вирази"

Білозерський заклад повної

загальної середньої освіти №2

імені Богдана Хмельницького

 

 

 

Дидактичний матеріал

для вивчення теми «Цілі вирази» в 7 класі»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитель математики:

 Придіус І.І.

 

 

Зміст навчального матеріалу

Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Тотожність. Тотожні перетворення виразу.

Степінь з натуральним показником. Властивості степеня з натуральним показником.

Одночлен. Стандартний вигляд одночлена. Піднесення одночленів до степеня. Множення одночленів.

Очікувані результати навчально-пізнавальної діяльності учнів

пояснює:

• як знайти числове значення виразу зі змінними при заданих значеннях змінних;
• що таке: тотожні вирази, тотожне перетворення виразу, одночлен стандартного вигляду, коефіцієнт;

формулює:

• означення: одночлена, степеня з натуральним показником, властивості степеня з натуральним показником;
• правила: множення одночленів, піднесення одночлена до степеня;

записує і обґрунтовує:

• властивості степеня з натуральним показником;

розв’язує вправи, що передбачають: обчислення значень виразів зі змінними; зведення одночлена до стандартного вигляду.

Контрольні   запитання

1. Що таке вираз із змінною?

2. Що називається числовим значенням виразу із змінною?

3. В якому випадку числовий вираз не має змісту?

4.Як знайти значення виразу із змінними, якщо задані числові значення змінної?

5. Які вирази називаються цілими?

6. Які вирази називаються тотожно рівними?

7. Що називається тотожністю?

8. Які перетворення називаються тотожними?

9. Як довести тотожність?

10. Що називається степенем числа а з натуральним показником?

11. Чому дорівнює перший степінь будь-якого числа?

12. Що таке квадрат і куб числа?

13. Яких значень може набувати степінь від’ємного числа з натуральним показником?

14. Яких значень може набувати степінь додатного числа з натуральним показником?

15. Сформулюй властивості степеня з натуральним показником.

16.  Чому дорівнює нульовий степінь числа?

17.  Дай визначення одночлена.

18. Який вигляд одночлена називається стандартним?

19. Що таке коефіцієнт одночлена?

20.  Як перемножити одночлени?

21.  Як піднести одночлен до степеня?

22. Що називається степенем одночлена?

 

 

 

 

 

 

 

 

Опорні конспекти

Вирази

Тотожно рівними(тотожними) називаються два вирази, відповідні числові значення яких рівні при будь-яких значеннях змінних. Наприклад,  х + х і 2х;  х • х і х².

Тотожністю називаються два тотожно рівних вирази, сполучені знаком рівності. Наприклад, х + х  = 2х;  х • х  = х².

Тотожним перетворенням виразу називається заміна даного виразу іншим, тотожним йому. Тотожні перетворення:  зведення подібних доданків, розкриття дужок, перестановка доданків та множників тощо.

Доведення тотожностей :

1) звести ліву частину до правої;

2) звести праву частину до лівої;

3) звести обидві частини рівності до одного й того самого виразу;

4) довести, що різниця частин рівності дорівнює нулю.

Степенем числа а з натуральним показником n називається добуток n рівних множників, кожен з яких дорівнює а.                                        а= а •а• а•…•а

 а – основа  степеня,    n – показник степеня                                     n разів

Читаємо	Пишемо	Елементи степеня	Заміна множенням
Два в четвертому степені	2	2- основа, 4 – показник	2 • 2 • 2 • 2
Чотири в другому степені	42	4 – основа, 2 - показник	4•4
Шість в третьому степені
Три в п’ятому степені

                                                 Окремі випадки:

	n - парне	n - непарне	n =1	n =0
а > 0	а> 0		а	1
а < 0	а> 0	а<0	а	1
а = 0	0	0	0	Не має змісту

Наприклад : 3=81; -3= - 81; 3 = 27;  3¹ = 3;  3⁰ =1; (- 3)= 81; (- 3) = - 27;   (- 3)¹ = -3;              

Обчисли:  4²=                   (-2)³=                  (-2)⁶=                   5¹=                10⁰=            (-1)⁴= Властивості степеня:

Властивість	Читання властивості	Доведення	Наприклад
Для будь-якого числа а і натуральних чисел m і n а• а = а m +n	При множенні степенів з однаковими основами показники додають, а основу залишають без змін	а• а= а• а•…•а• а• а•…•а m разів         n разів                    =а• а•…•а m+n разів	а• а=а   а4• а2= с • с2 = х • х5 • х3=
Для будь-якого числа а і натуральних m і n , m > n а: а = аm-n	При діленні степенів  з однаковими основами показники віднімають, а основу залишають без змін	а: а = аm-n аm-n • а= аm-n +n = а	а5: а3= а2   х7 : х4 = с5 : с = а6 • а : а2=
Для будь-якого числа а і натуральних m і n (аm)n  = а m n	При піднесення  степеня до степеня показники перемножують, а основу залишають без змін.	(аm)n = а• а •…•а   = а n +n+…+n = а m n          m разів	(а5)3 = а15   (а4 )6= х4 • (х2 )3= (с2) 4(с3)5=
Для будь-яких чисел а і b натурального n (а b)n =аn b n	n-й степінь добутку дорівнює добутку  n-х степенів множників	(а b)n=аb •аb•… •аb =                   n разів       =а •а•…•а • b •b•…•b =    n разів         n разів   = аn b n	(а b)4  =  а4 b 4   (х у)3 = (ас)4а =

 

№	Теорія	Наприклад	Вправа
1	Одночленом називається вираз, що містить: числа, букви, дії множення,  піднесення до степеня	-; у4; х; 0,5а2с5; 5х2у•2х4 х2 - у2	Які з наведених  виразів одночлени?   2х;  2+х;  х•х2 ; -12,3;  0,5а2 в3; а2 + в2
2	Одночлен стандартного вигляду містить: числовий множник, що стоїть на першому місці; кожна змінна входить до складу тільки одного   степеня. Алгоритм 1. Знайдіть добуток числових множників. 2. Показники степенів однакових змінних додайте. 3. Якщо змінна входить лише в один з множників, то допишіть її в добуток.	4ху•2х2= 4•2 • х1+2 •у = 8х3у	Зведіть до стандартного вигляду одночлени: а • а •а • а •а; 3х • 2у •(-4с2); 5а2 • 4в4
3	Коефіцієнт одночлена – числовий множник одночлена записаного в стандартному вигляді	8х3у 8 – коефіцієнт   одночлена	Назвіть  коефіцієнт одночленів:х;  -ав2; 3ху; 3х• 2у2
4	Щоб піднести до степеня    одночлен, треба піднести до цього степеня кожен множник одночлена  і знайдені степені перемножити	(-2а4вс2)4= (-2)4(а4)4 в4(с2)4=16а 16в 4с8	Піднесіть до степеня: (3х2)3;   (-а2вс)5; (-а4в2)3
5	Щоб перемножити декілька одночленів треба з’єднати їх знаком множення і звести одержаний вигляд до стандартного вигляду.	2а3, 3а2х  і -5ах 2а3 • 3а2х • • (-5ах)=30а6х2	Виконайте множення одночленів:  2х і 7у;  ав3 і ав
6	Степенем одночлена називається сума степенів змінних, що входять до його складу	3ав3х2 у – одночлен 7-го степеня   (1+3+2+1=7)	Назвіть степінь одночлена:ав;  х2у;  -7,3t3p2; -5х3• 4у• х4у3

Виконайте вправи усно.

1. Назвати числові вирази:

3•(-5)+х;          ;     ;   1,5:2²+(7,2х+у)•30;     3•(-5)+7;      3-5+(-х).

2. Знайти значення числового виразу:

0,4•100-5;                 17+8:(-0,2);               4,5:(-0,9)+37;       +;        1-.

3.Назвати числові вирази, які не мають змісту:

;                ;            ;               .

4. Прочитати раціональний вираз:

а + в;              2(а+3);               а²-b;             ;     с – d;              3(5-b);                х²-у²;              ах;                   0,5(х : у);          (а+ b)²;         а+;       b : у;                0,5(аb);             (х - у)

5. Записати раціональний вираз:

Півдобуток  чисел х і 5;                        квадрат числа а.

Півсума чисел а і 7;                               сума квадратів чисел а і b.

Подвоєна різниця чисел 1 і а;             сума числа а і куба числа  b.

Потроєна сума чисел 6 і b;                   куб різниці чисел х і у.

6. Знайти числове значення раціонального виразу:

3а-b, якщо а=0,5, b=4;         а : b, якщо а=-2, b=-5;      3а : в, якщо а=2, b=0.

7. При яких значеннях змінної раціональний вираз не має змісту:

;            ;              ;          .

8.Знайти тотожності:

х²=х+х;                         а+ b =  b +а;           а(b+с)=аb +с;

2х=х+х;                         а- b= b-а;                а(b+с)=аb + ас;  

х=х • х • х;                  аb = bа ;                  3х+х=4х.

9. Замінити вираз тотожно рівним:

2 •2 • 2;        7х+2х;             4а-9+6а;       2(7-у).

10. Назвіть одночлени:

а + в;    а-в;        (ав)²;         -2а-3в;            (2+6а)²;

ав;         2а²;        (а-в)²;        -2а• (-3в);      2• 6а².

11. Назвіть одночлени записані в стандартному вигляді:

2х • 3х;           -3х²•  2х³;             -4ав²•  2а²в⁶;            0,5ху • 2х⁵;

4х² • 2х;         -2х⁶•  (-3)х⁴;          -2а²в • (-3)ав⁴;         х²у² • х.

12. Назвіть коефіцієнт одночленів;

mn;       -t²p⁴;        -0,5cd;    2mn • 4m;     3,5а² •2в².

13. Перемножте одночлени і визначте коефіцієнти:

3а і -2а²;           -0,5а²в і 4ав⁴;           2а, -3а²в і -0,01а²в²;

4а² і 3а³;            -0,2ху⁶ і -3х²у;         -4х², -0,25в і -5а³в⁴.

14. Піднести одночлени до квадрата, до куба:

3а;   2а⁴;    -2а²в;     -х²у²;       0,1ху²;    m⁴n³.

15. Визначте степінь одночлена:

3а;                     2а⁴;                     -2а²в;                       m⁴n³4

2х • 3х;           -3х²•  2х³;             -4ав²•  2а²в⁶;            0,5ху • 2х⁵;

4х² • 2х;         -2х⁶•  (-3)х⁴;          -2а²в • (-3)ав⁴;         х²у² • х.

 

 

 

 

 

 

 

Тест з теми «Вирази»

1. Обчисліть значення виразу -2,4 : 0,8 + 1,6.

А) 1,4;                                Б) -1,4;                        В) -4,6;                     Г) 4,6.

2. Які значення х недопустимі для дробу ?

А) 3;                                  Б) 3;-5;                         В) -3;5;                    Г) -5.

3. Обчисліть значення виразу а+8 b, якщо а=-0,5;  b=.

А) -1,5;                              Б) 2,5;                         В) 1,5;                      Г) -2,5.

4. Який із виразів сума квадрата числа а і числа b?

А) а + b;                           Б) а² + b;                      В) а² + b²;                 Г) (а + b)².

5. Який із виразів цілий?

А) ;                        Б) 7 : ( х -8);                В) ;                  Г) .

6.Який із записів є тотожністю:

А) 3х = х • х • х;            Б) 3х-х=3х;                   В) а+2=2+а;             Г)  а-2=2-а.

7. Який із записів є виразом із змінними?

А) 3²+8;                         Б) с²+8;                          В)  3+8;                   Г)  3(4²-9).

Тест  з теми «Одночлени»

1. Виконайте піднесення одночлена до степеня:   (0,2m³)²

   А)  0,4m⁵;         Б)  0,4m⁶ ;           В) 0,04m⁶ ;      Г) 0,04m⁵.

2. Запишіть одночлен в стандартному вигляді:  5х³у • 0,6х²у⁶

   А)  0,3х⁶у⁶;         Б)  3х⁵у⁶;           В)0,3х⁶у⁷;      Г) 3х⁵у⁷.

3.Який з виразів є одночленом?  А)  2а-в;         Б) ав ;           В) ;      Г) а²+в².

4.Який із поданих виразів не є одночленом?

А)  4m⁵;         Б)  m⁶ ;           В) 14m⁶n ;      Г) 14m⁵+n

5. Квадратом якого одночлена є вираз а³⁶в¹⁶ ?

А)  а⁶в⁴;         Б) а¹⁸в⁴ ;           В) -а¹⁸в⁸;      Г) -а⁶в⁸.

6. Визначте степінь одночлена 3а²в • mn².   А)  6;         Б)  4;           В) 2;      Г) 5.

7. Назвіть коефіцієнт одночлена:  4х³• (-0,5)х² .  А)  2;       Б)  4;     В) -2;     Г) 5.

8. Перемножте одночлени 4,9а⁵ і а.  А)  0,7а⁵;      Б) 0,7а⁶ ;     В)7а⁶;      Г) 7а⁵.

Тест  з теми «Степінь»

І варіант	ІІ варіант
1. Укажіть показник степеня 27: а) 2; б) 7; в) 27; в) інша відповідь	1. Укажіть показник степеня  72: а)3; б)5; в)35; в) інша відповідь
2. У степені  35 число 3 є: а) основою; б) показником;  в) степенем; г) інша відповідь	2. У степені  53 число 5 є: а) основою; б) показником; в) степенем; г) інша відповідь
3.Обчисліть 53; а) 25; б) 15; в) 125; г) інша відповідь	3.Обчисліть 26; а) 12; б) 64; в) 16; г) інша відповідь
4. Як інакше можна записати вираз 9∙9∙9∙9?  а)94; б) 49; в) 9∙4; в) 9+4.	4. Як інакше можна записати вираз 4∙4∙4∙4∙4∙4∙4∙4∙4?  а)94; б) 49; в) 9∙4; в) 9+4.
5.Знайдіть значення виразу 7-23: а)-1; б) 1; в)125; в) 15	5.Знайдіть значення виразу 17-24: а)-1; б) 1; в)9; в) 15
6.Розвяжіть рівняння х6=1: а)-1; б) 1; в)1 і-1; в) не має розв’язків	6.Розвяжіть рівняння х6=-1: а)-1; б) 1; в)1 і-1; в) не має розв’язків
7. Які вирази є тотожними? а) –а2 і (-а)2; б) х3∙х2 і х6;  в) (у4)3 і у7; г) (2а)3 і 8а3.	7. Які вирази є тотожними? а) –а3 і (-а)3; б) х∙х2 і х2;  в) (у2)3 і у5; г) (2а)3 і 2а3.
8. Який вираз записано без помилок? а)х7∙х10=х70; б) х3+х10=х13;  в) (у4)3= у7; г)х∙(х2)3=х7.	8. Який вираз записано без помилок? а)а3∙а10=х30; б) а3+а12=а15;  в) (а4)3= а12; г)х∙(х2)3=х6.
9.Який вираз набуває додатного значення? а)(-3)7∙(-5)10; б) (-1)6∙1010; в)(-3)4∙(-2); в) -2∙34.	9.Який вираз набуває від’ємного значення? а)37∙(-5)10; б) (-1)6∙1010; в)(-3)4∙(-2); в) 2∙34.
10. Знайдіть сторону квадрата, якщо його площа 16 м2: а) 8; б) 256; в) 4; г) 32.	10. Знайдіть сторону квадрата, якщо його площа 64 м2: а) 8; б) 4096; в) 128; г) 32.
11. Спростіть вираз 0,01а2∙(0,1а)3 : а)0,001а5 ; б) 0,001а6;  в) (0,1а)54; г)0,1а5	11. Спростіть вираз 0,0001х4∙(0,1х)3 : а)0,00001х7 ; б) 0,00001х12;  в) (0,1х)7; г)0,1х7
12. Знайдіть корінь рівняння (х+2)3=-27 а) 1; б) -5; в) 3; г) 4.	12. Знайдіть корінь рівняння (х+2)3=-8 а) 0; б) -10; в) 3; г) -4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LearningApps.org – це онлайновий сервіс, який дозволяє створювати інтерактивні вправи. Їх можна використовувати в роботі з з інтерактивною дошкою, або як індивідуальні вправи для учнів. На сайті доступна велика база завдань, розроблених учителями з різних країн для усіх предметів шкільної програми. Кожен із ресурсів можна використати на своєму уроці, змінити під власні потреби, розробити схожий або зовсім інший модуль.

Вправи подаються у зручному візуальному режимі. Навівши на вправу вказівник мишки, можна побачити тип вправи. Клацнувши на значок вправи, відбувається перехід у режим її виконання. Після виконання вправи потрібно клацнути напис «перевірити рішення». Відповіді будуть перевірені і вказано на можливі помилки.  Кожний користувач може створити свій обліковий запис. Це не обов’язково, без реєстрації можна виконувати вправи, але з обліковим записом відкриваються нові можливості:

• персоналізований список збережених вправ;
• публікація власних вправ у каталозі;
• розробка та публікація своїх власних вправ.

Використані джерела:

1.http://chabala.com.ua/dystosvita/learningapps-org-тепер-українською/

2.https://learningapps.org/createApp.php

 

Гра «Пазл» »(Правильно названий термін відкриває частину основного зображення).

Вкажіть рівняння  відповідно до їх розв'язків

1	3 x2x5=3	(x5)3=1	4x3-4=0	x5=1
-1	(x3)3=-1	x4x=-1	xx4+2=1	x7=-1
0	(x2)3=0	x3 x+5=5	xx3=0	x9=0
1 і-1	x5x3=1	xx=1	x2+4=5	x6=1
Не має розв'язків	x4x2=-1	(x2)3=-1	4x2+4=0	x4=-1

 

http://LearningApps.org/watch?v=phe63wmtk01

Гра «Знайди пару» (Знайти пару для текстів, зображень)

півдобуток чисел a і b	0,5(ab)
квадрат суми чисел a і b	(a+b)2
сума квадратів чисел a і b	a2+b2
сума квадрата числа а і числа b	a2+b
різниця числа b і квадрата числа а	b-a2
піврізниця чисел a і b	½(a-b)
квадрат різниці  чисел a і b	(a-b)2
різниця квадратів чисел b і а	b2-a2
подвоєнний добуток чисел a і b	2ab
подвоєнна сума чисел a і b	2(a+b)
куб  суми чисел a і b	(a+b)3
сума кубів чисел a і b	a3+b3
частка числа а і потроєнного добутка числа b

Зайві елементи: різниця кубів чисел a і b; 3a-b; 2(a-b); частка потроєнного добутка числа а і числа b

http://LearningApps.org/watch?v=pyhotc16j01

 

Гра «Класифікація» ( До 2-4 елементів потрібно віднести  перелічені елементи)

Тотожність	Не тотожність
a+(-a)=0	a∙0=a
a(b+c)=ab+ac	a(b-c)=ab-c
a+b=b+a	a-b=b-a
х2=x∙x	х2=x+x
x+x=2x	a:0=0
ab=ba	a:a=0
a∙1=a

http://LearningApps.org/watch?v=p97sd0gs201

 

Гра «Кросворд» (Мета гри відгадування кросворду із ключовим словом)

1. Рівність, що правильна при будь-яких значеннях змінних(тотожність)
2. Добуток кількох  множників рівних між собою(степінь)
3. Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз із змінною (цілий)
4. Вираз, що складається з добутка  числа, однієї або декількох букв (змінних) та їх степенів з натуральним показником (одночлен)
5. Числовий множник одночлена, записаного в стандартному вигляді (коефіцієнт)
6. Добуток двох однакових множників (квадрат)
7. Добуток трьох однакових множників (куб)
8. Парний степінь від’ємного числа є числом (додатним)
9. Непарний степінь від’ємного числа є числом (від’ємним)
10. Вираз, до складу якого входять числа, знаки дій і дужки (числовий)
11. Значення змінних, для яких можна знайти відповідне значення виразу(допустимі)
12. Вираз, складений із чисел, змінних за допомогою дій додавання, віднімання, множення, ділення й піднесення до степеня та дужок, що визначають порядок дій (раціональний)
13. Розділ математики, що вивчається у 7-11 класах (алгебра)

Ключове слово   Остоградський

Остроградський Михайло Васильович - видатний математик ХІХст.  Народився в   Україні на Полтавщині. За свої видатні заслуги був обраний дійсним членом Петербурзької, Американської, Туринської академії наук, членом кореспондентом Паризької академії наук. Прославився тим, що вніс суттєві доповнення до математичного аналізу, алгебри і теорії чисел.

http://LearningApps.org/watch?v=p07yn31va01

Гра «Вікторина» »(Запитання до якого потрібно вибрати одну правильну відповідь із декількох)

1) Якому одночлену дорівнює вираз -2a²b³∙3ab⁴

   -6a³b⁷  (правильна відповідь);    -6a²b¹²;    6a²b¹²;           6a³b⁷

2) Який із виразів має зміст при будь-якому значенні х?

(правильна відповідь);    ;     ;       

3) Знайдіть значення виразу 0,5а+b, якщо a=-1,2 b=2

1,4 (правильна відповідь);    -1,4;     -2,6;    2,6

4) Відомо,що m<0 n<0 . Порівняйте з нулем значення виразу m⁵n⁶

m⁵n⁶<0(правильна відповідь);   m⁵n⁶>0;   m⁵n⁶=0;  не можна визначити

5) Який з наведених раціональних виразів є цілим?

Гра «Заповнити пропуски» (Потрібно вставити у тексті певні слова).

Степенем називається ____ декілька множників, ___ між собою. Число, яке множать, називається  ____ степеня, число множників є __степеня.  Саме число вважають першим степенем числа, і показник степеня не пишуть. Добуток двох однакових множників – це ___  степінь числа, який має спеціальну назву – ____числа. Добуток трьох однакових множників – це  ____ степінь числа, який має спеціальну назву – ___числа.  Будь-який степінь додатного числа є числом _____. Парний степінь від’ємного числа є числом ____. Непарний степінь від’ємного числа є числом ___ Будь-який натуральний степінь числа нуль дорівнює ____. Зверніть увагу! Дія піднесення до степеня є дією третього ступеня, тому виконується ___, якщо вираз не містить  дужок. Піднесення до степеня має такі властивості: Щоб помножити степені з однаковою  основою, треба основу залишити без змін, а показники степеня ____.  Щоб поділити степені з однаковою основою, треба основу залишити без змін, а від показника степеня діленого ___ показник  степеня дільника.  Щоб піднести степінь до степеня, треба основу залишити без змін, а показники степеня ____ . Щоб піднести добуток множників до степеня, треба  ___   множник  піднести до цього степеня і результати помножити. Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести і ___, і ___до цього степеня.  Одночленами називаються ___ чисел, змінних та їх степенів.  Одночленом стандартного вигляду називають одночлен, записаний у такому вигляді: першим множником записаний числовий множник (одночлена), після нього записані степені різних змінних. Степенем одночлена називається число, що дорівнює ___ показників степеня всіх множників, що входять до одночлена. Зверніть увагу! Коефіцієнт, що дорівнює ___, зазвичай не записують. Числа, змінні та їх степені також вважаються одночленами стандартного вигляду.  Щоб перемножити одночлени, ___  їх числові коефіцієнти і змінні, застосовуючи правила множення степенів. Щоб піднести одночлен до степеня, треба ___   його множник піднести до цього степеня й одержані вирази перемножити.

http://LearningApps.org/watch?v=ppqqxpeua01