ÓÄÊ 373.167.1:512

                        Ì52

Ðåêîìåíäîâàíî

̳í³ñòåðñòâîì îñâ³òè ³ íàóêè Óêðà¿íè

(ëèñò ÌÎÍ Óêðà¿íè â³ä 03.06.2020 ¹ 1/11-3693)

Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøò³â. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

                             Ìåðçëÿê À. Ã.

Ì52 Àëãåáðà : ï³äðó÷. äëÿ 7 êë. çàêëàä³â çàã. ñåðåä. îñâ³òè / À. Ã. Ìåðçëÿê, Â. Á. Ïîëîíñüêèé, Ì. Ñ. ßê³ð. — 2-ãå âèä., ïåðåðîáë. — Õ. : óìíàç³ÿ, 2020. — 288 ñ. : ³ë.

ISBN 978-966-474-341-6.

ÓÄÊ 373.167.1:512

© À. Ã. Ìåðçëÿê, Â. Á. Ïîëîíñüêèé, Ì. Ñ. ßê³ð, 2015

© À. Ã. Ìåðçëÿê, Â. Á. Ïîëîíñüêèé, Ì. Ñ. ßê³ð, ïåðåðîáëåííÿ, 2020

© ÒΠÒÎ «Ã³ìíàç³ÿ», îðèã³íàë-ìàêåò,

               ISBN 978-966-474-341-6                                       õóäîæíº îôîðìëåííÿ, 2020

ЛЮБІ СЕМИКЛАСНИКИ ТА СЕМИКЛАСНИЦІ!

Ви починаєте вивчати новий шкільний предмет — алгебру.

Алгебра — це стародавня й мудра наука. На вас чекає знайомство з її азами. Знати алгебру надзвичайно важливо. Мабуть, немає сьогодні такої галузі знань, де не застосовувалися б досягнення цієї науки: у фізиці та хімії, астрономії та біології, географії та економіці, навіть у мовознавстві та історії використовують «алгебраїчний інструмент».

Алгебра — не тільки корисний, а й дуже цікавий предмет, який розвиває кмітливість і логічне мислення. І ми сподіваємося, що ви в цьому скоро переконаєтеся за допомогою підручника, який  три- маєте в руках. Ознайомтеся з його будовою.

Текст підручника поділено на чотири параграфи, кожний з яких складається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал. Найважливіші відомості виділено жирним шрифтом і курсивом.

Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується прикладами розв’язування задач. Ці записи можна розглядати як один із можливих зразків оформлення розв’язання.

До кожного пункту дібрано завдання для самостійного розв’язування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і важкі задачі (особливо ті, що позначено зірочкою (^*)).

Кожний пункт завершується рубрикою «Учимося робити нестандартні кроки». До неї дібрано задачі, для розв’язування яких потрібні не спеціальні алгебраїчні знання, а лише здоровий глузд, винахідливість і кмітливість. Ці задачі корисні, як вітаміни. Вони допоможуть вам навчитися приймати несподівані й нестандартні рішення не тільки в математиці, а й у житті.

У рубриці «Коли зроблено уроки» ви зможете прочитати оповідання з історії алгебри.

Дерзайте! Бажаємо успіху!

Від авторів

ШАНОВНІ КОЛЕГИ ТА КОЛЕЖАНКИ!

У книзі дібрано великий і різноманітний дидактичний матеріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв’язати неможливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зручніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість реалізувати принципи рівневої диференціації та індивідуального підходу в навчанні.

Ми дуже сподіваємося, що цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій та шляхетній праці, і будемо щиро раді, якщо він вам сподобається.

Зеленим кольором позначено номери задач, що рекомендовано для домашньої роботи, синім кольором — номери задач, що рекомендовано для розв’язування усно.

У деяких пунктах частину тексту розміщено на кольоровому фоні. Так виокремлено матеріал, який на ваш розсуд можна віднести до необов’язкового для вивчення.

Бажаємо творчої наснаги й терпіння.

n°	завдання, що відповідають початковому та середньому рівням навчальних досягнень;
n•	завдання, що відповідають достатньому рівню навчальних досягнень;
n••	завдання, що відповідають високому рівню навчальних досягнень;
n*	задачі для математичних гуртків і факультативів;
p	закінчення доведення теореми;

¤ закінчення розв’язування прикладу;

¿ завдання, які можна виконувати за допомогою комп’ю тера; рубрика «Коли зроблено уроки».

Алгебра — для вас новий шкільний предмет. Проте ви вже знайомі з «азбукою» цієї науки. Так, коли ви записували формули та складали рівняння, вам доводилося позначати числа буквами, «будуючи» буквені вирази.

Наприклад, записи a², (x + y)², 2 (a + b), ^{x y z} , abc, ^m є бук-

                                                                                                       2                      n

веними виразами.

Наголосимо, що не будь-який запис, складений із чисел, букв, знаків арифметичних дій і дужок, є буквеним виразом. Наприклад, запис 2x + ) – ( є беззмістовним набором символів.

Разом з тим вираз, складений з однієї букви, вважають буквеним виразом.

Розглянемо буквений вираз 2 (a + b). Ви знаєте, що за його допомогою можна знайти периметр прямокутника зі сторонами a і b. Якщо, наприклад, букви a і b замінити відповідно числами 3 і 4, то дістанемо числовий вираз 2 (3 + 4). За таких умов периметр прямокутника дорівнюватиме 14 одиницям довжини. Число 14 називають значенням числового виразу 2 (3 + 4).

Зрозуміло, що замість букв a і b можна підставляти й інші числа, отримуючи щоразу новий числовий вираз.

Оскільки букви можна заміняти довільними числами, то ці букви називають змінними, а сам буквений вираз — виразом зі змінними (або зі змінною, якщо вона одна).

Розглянемо вираз 2x + 3. Якщо змінну x замінити, наприклад, числом , то дістанемо числовий вираз 2æ +3. При цьому говорять, що  — значення змінної x, а число 4 — значення виразу

2x + 3 при x = .

Числові вирази та вирази зі змінними називають алгебраїчними виразами.

Розглянемо дві групи алгебраїчних виразів:

І група	ІІ група
x – y3	1 x
a 4	a (a+b)2
1 b2 +5a 3	m n +3
mn 7	x 5 − 2 y

Вирази кожної групи містять такі дії: додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня, ділення. Однак вирази першої групи не містять ділення на вирази зі змінними. Тому вирази першої групи називають цілими виразами. Вирази другої групи не є цілими.

У 7 класі ми вивчатимемо цілі вирази.

ПРИКЛАД        Значення змінних a, b і m такі, що a – b = 4, m = –5. Чому дорівнює значення виразу 7bm – 7am?

Розв’язання. Використовуючи розподільну та сполучну властивості множення, отримуємо:

1.° Знайдіть значення числового виразу:
1) 0,72 + 3,018;             3) 1,8æ0,3;	5) 72 : 0,09;
2) 4 – 2,8;       4) 5,4 : 6; 2.° Чому дорівнює значення виразу:	6) 9 : 4.

1)      + ;              3) æ;             5)  : ;

2)      − ;              4) æ18;               6)  : 4;

1.  Вступ до алгебри

7) 10 : ;  9) 6 −1; 11) 8 æ1; 8) 2 +4 ; 10) 4  −1; 12) 1 :5?

3.° Обчисліть значення виразу:
1) 3,8 + (–2,5);                 6) 0 – 7,8;	11) −48æ0;
2) –4,8 + 4,8;                     7) 0 – (–2,4);	12) –3,3 : (–11);
3) –1 + 0,39;                      8) –4,5 – 2,5;	13) 3,2 : (–4);

3

4)   9,4 – (–7,8);               9) 8æ(−0,4);        14)       ;

2

5)   4,2 – 5,7;   10) −1,2æ(−0,5);                15)          1           .

4.° Чому дорівнює значення виразу:

1)       18 −æ1 −æ;   4)             :  ;

2)       6                5 :1 æ;     5) 3        2 :              5 ?

3)       ( 1,42       ( 3,22)) : ( 0,4)       ( 6)æ( 0,7);

5.° Обчисліть значення числового виразу:

1)           14 −3æ −1æ;

2)           5 :1         1 æ;

3)           ( 3,25     2,75) : ( 0,6)          0,8æ( 7);

4)           1  2 : 5.

6.° Складіть числовий вираз і знайдіть його значення:

1)   добуток суми чисел –12 і 8 та числа 0,5;

2)   сума добутку чисел –12 і 8 та числа 0,5;

3)   частка суми й різниці чисел –1,6 і –1,2; 4) квадрат суми чисел –10 і 6;

5) сума квадратів чисел –10 і 6.

7.° Складіть числовий вираз і знайдіть його значення:

1)   частка від ділення суми чисел  і − на число −;

2)   різниця добутку чисел –1,5 і 4 та числа 2; 3) добуток суми та різниці чисел –1,9 і 0,9; 4) куб різниці чисел 6 і 8.

8.° Знайдіть значення виразу:

1)     2x – 3 при x = 4; 0; –3;

2)     a + b при a = –6, b = 16;

3)     3m – 5n + 3k при m = –7, n = 1,4, k = –0,1.

9.° Обчисліть значення виразу: 1) 0,4y + 1 при y = –0,5; 8; –10; 2) c −0,2d при c = –28, d = 15.

10.° Які з даних виразів є цілими:
1) 7a + 0,3;                                 3) a+b; c	3m         5 5)               +       ;          5        3m

                        2) 5x y;                          4) ^a+b;                               6) 9x     5y     ¹?

                                                                       4                                                          z

11.° Користуючись термінами «сума», «різниця», «добуток», «частка», прочитайте алгебраїчні вирази та вкажіть, які з них є цілими:

1) a – (b + c);	4) 2m – 10;	7) ac + bc;
2) a + bc;	a      c 5) + ; b d	a 8)   ; b+ 4
3) x − y;	6) (a + b) c;	9) (a – b) (c + d).

z

12.° Запишіть у вигляді виразу:

1)   число, протилежне числу a;

2)   число, обернене до числа a;

3)   суму чисел x і y;

4)   число, обернене до суми чисел x і y;

5)   суму чисел, обернених до чисел x і y;

6)   суму числа a та його квадрата;

7)   частку від ділення числа a на число, протилежне числу b; 8) добуток суми чисел a і b та числа, оберненого до числа c; 9) різницю добутку чисел m і n та частки чисел p і q.

13.° Олівець коштує x грн, а зошит — y грн. Запишіть у вигляді

виразу зі змінними:

1)     скільки коштують 5 олівців і 7 зошитів;

2)     на скільки більше треба заплатити за a зошитів, ніж за b олівців.

14.° Робітнику видали заробітну плату однією купюрою номіналом 100 грн, a купюрами номіналом 50 грн і b купюрами по 20 грн. Запишіть у вигляді виразу зі змінними, яку суму грошей отримав робітник.

1.  Вступ до алгебри

15.^• Із двох міст, відстань між якими дорівнює 300 км, вирушили одночасно назустріч один одному два автомобілі зі швидкостями m км/год і n км/год. Запишіть у вигляді виразу зі змінними, через скільки годин після початку руху вони зустрі- нуться.

16.^• Із двох селищ, відстань між якими дорівнює s км, одночасно в одному напрямі вирушили пішохід і велосипедист. Пішохід іде попереду зі швидкістю a км/год, а велосипедист їде зі швидкістю b км/год. Запишіть у вигляді виразу зі змінними, через скільки годин після початку руху велосипедист наздожене пішохода. Обчисліть значення отриманого виразу при a = 4, b = 12, s = 12.

17.^• Запишіть у вигляді виразу:

1)    потроєний добуток різниці чисел a і b та їхньої суми;

2)    суму трьох послідовних натуральних чисел, менше з яких дорівнює n;

3)    добуток трьох послідовних парних натуральних чисел, більше з яких дорівнює 2k;

4)    число, у якому a тисяч, b сотень і c одиниць;

5)    кількість сантиметрів у x метрах і y сантиметрах; 6) кількість секунд у m годинах, n хвилинах і p секундах.

18.^• Запишіть у вигляді виразу:

1)    добуток чотирьох послідовних натуральних чисел, більше з яких дорівнює x;

2)    різницю добутку двох послідовних непарних чисел і меншого з них, якщо більше число дорівнює 2k + 1;

3)    кількість кілограмів у a тоннах і b центнерах.

19.^•• Складіть вирази для обчислення довжини синьої лінії та площі фігури, яку вона обмежує (рис. 1).

                ^{c                                                 d}                               c      d     c      d       c

	c
			b
		d

b                                                                                                                                 b

a a a а б             в

Рис. 1

20.^•• Складіть вирази для обчислення довжини синьої лінії та площі фігури, яку вона обмежує (рис. 2).

c                                                                                                                                  c         c              c              ^a

d		d		d		d

               b                                                                                     

a          c а           б

Рис. 2

21.^•• Значення змінних a і b такі, що a + b = –8, c = 4. Чому дорівнює значення виразу:

1)   a + b – c;       3) 3ac + 3bc?

2)   0,5 (a + b) + c;

22.^•• Значення змінних m і n такі, що m – n = 5, k = –2. Чому дорівнює значення виразу:

                     1) (n – m) k;                                                2) 2m – 2n + 3k?

23.    (Задача з українського фольклору.) Мірошник бере за роботу  змеленого борошна. Скільки пудів борошна намололи селя-

нину, якщо додому він повіз 99 пудів?

24.    До їдальні завезли капусту, моркву та картоплю. Капусти було 64 кг, маса моркви становила  маси капусти, а маса картоплі — 180 % маси моркви. Скільки всього кілограмів овочів завезли до їдальні?

25.    Відомо, що a і b — натуральні числа, а число ^a — правильний b

дріб. Чи можна стверджувати, що:

1)   a – b > 0; 2) ¹ > ¹;                 3) ^b > ^a? a             b              a              b

 Книга про відновлення та протиставлення

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

26.    Доведіть, що:

1)   число 5 є коренем рівняння 3x + 1 = 21 – x; 2) число –2 не є коренем рівняння x (x + 4) = 4.

27.    Розв’яжіть рівняння:

1)   0,3x = 9;   2) –2x = 3;            3) 15x = 0.

28.    Розкрийте дужки:

1)   2 (x – 3y + 4z);         2) –0,4 (–5 + 1,5y).

29.    Зведіть подібні доданки:

1)   4a + 9a – 18a + a;   2) 1,2a – a + b – 2,1b.

30.    Розкрийте дужки та зведіть подібні доданки:

1)   (x + 3,2) – (x + 4,5);               2) 1,4 (a – 2) – (6 – 2a).

31.    Знайдіть корінь рівняння:

1)   2x – 7 = x + 4;         2) –0,7 (5 – x) = –4,9.

Поновіть у пам’яті зміст пп. 27, 28 на с. 272, 273.

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

32.    Дано 12 натуральних чисел. Доведіть, що з них завжди можна вибрати два, різниця яких ділиться націло на 11.

Книга про відновлення та протиставлення

Готуючись до нової теми, ви повторили основні властивості рівнянь (пп. 27, 28 на с. 272, 273). Знаменно, що з однією із цих властивостей пов’язано походження слова «алгебра».

У ІХ ст. видатний учений Мухаммед ібн Муса аль-Хорезмі (що означає Мухаммед, син Муси, із Хорезма) написав трактат про способи розв’язування рівнянь. У ті часи від’ємні числа вважали хибними, брехливими, абсурдними. Тому якщо під час розв’язування рівнянь отримували «хибне» число, то його перетворювали на «справжнє», переносячи в іншу частину рівняння. Таке перетворення Мухаммед аль-Хорезмі назвав відновленням (арабською

Мухаммед ібн Муса аль-Хорезмі 

(IX ст.)

Середньоазіатський математик, астроном і географ. Він був пер-

шим, хто у своїх наукових працях розглядав

алгебру як самостійний розділ математики.

мовою — «аль-джебр»). Знищення однакових членів в обох частинах рівняння він назвав протиставленням (арабською мовою — «альмукабала»).

Сам трактат мав назву «Коротка книга про відновлення та протиставлення» (арабською мовою — «Кітаб аль-мухтасар фі хісаб аль-джебр ва-аль-мукабала»).

Слово «аль-джебр» із часом перетворилося на добре відоме всім слово «алгебра».

У ХІІ ст. праці аль-Хорезмі було перекладено латинською мовою. У середньовічній Європі ім’я аль-Хорезмі записували як Algorizmi, і багато правил з його праць починалися словами Dixit Algorizmi («Алгоризмі сказав»). Поступово стали звикати, що із цих слів починається багато правил, а слово Algorizmi перестали пов’язувати з ім’ям автора. Так виник термін «алгоритм», яким позначають процес, що дозволяє за скінченну кількість кроків отримати розв’язок задачі.

З такими процесами ви докладно ознайомитеся на уроках інформатики.

§ 1 ЛІНІЙНЕ РІВНЯННЯ

З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

•      У цьому параграфі ви повторите властивості рівнянь, зможете вдосконалити навички розв’язування рівнянь і задач на складання рівнянь.

•      Ви дізнаєтеся, що багато відомих вам рівнянь можна об’єднати в один клас.

 2.               Лінійне рівняння з однією змінною

Розглянемо три рівняння:

2x = –3, 0x = 0, 0x = 2.

Число –1,5 є єдиним коренем першого рівняння.

Оскільки добуток будь-якого числа на нуль дорівнює нулю, то коренем другого рівняння є будь-яке число.

Третє рівняння коренів не має.

Незважаючи на істотні відмінності отриманих відповідей, наведені рівняння зовні схожі: усі вони мають вигляд ax = b, де x — змінна, a і b — деякі числа.

Рівняння виду ax = b, де x — змінна, a і b — деякі числа, називають  лінійним рівнянням з однією змінною.

Наведемо ще приклади лінійних рівнянь:

x =7; –0,4x = 2,8; –x = 0.

Зауважимо, що, наприклад, рівняння x² = 0, (x – 2) (x – 3) = 0, | x | = 5 не є лінійними.

Текст, виділений жирним шрифтом, роз’яснює зміст терміна «лінійне рівняння з однією змінною». У математиці речення, яке розкриває сутність терміна (поняття, об’єкта), називають означенням.

Отже, ми сформулювали (або, як говорять, дали) означення лінійного рівняння з однією змінною.

Розв’яжемо рівняння ax = b для різних значень a і b.

1)     Якщо a ≠ 0, то, поділивши обидві частини рівняння ax = b на a, отримаємо x = ^b. Тоді можна зробити такий висновок: a

якщо a ≠ 0, то рівняння ax =b має єдиний корінь, що дорів-

нює ^b.

a

2)     Якщо a = 0, то лінійне рівняння набуває такого вигляду: 0x = b.

Тоді можливі два випадки: b = 0 або b ≠ 0.

У першому випадку отримуємо рівняння 0x = 0. Тоді можна зробити такий висновок: якщо a = 0 та b = 0, то рівняння ax = b має безліч коренів: будь-яке число є його коренем.

У другому випадку, коли b ≠ 0, то при будь-якому значенні x маємо хибну рівність 0x = b. Тоді можна зробити такий висновок: якщо a = 0 та b ≠ 0, то рівняння ax = b коренів не має.

Отримані висновки подамо у вигляді таблиці.

Значення a і b	a ≠ 0	a = 0, b = 0	a = 0, b ≠ 0
Корені рівняння ax = b	x = b a	x — будь-яке число	Коренів немає

ПРИКЛАД  1  Розв’яжіть рівняння:

1)    (3x + 2,1) (8 – 2x) = 0;       2) | 5x – 6 | = 4.

Розв’язання. 1) Ви знаєте, що добуток кількох множників дорівнює нулю тоді, коли принаймні один із множників дорівнює нулю, і навпаки, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю, то й добуток дорівнює нулю. Тому для розв’язування даного рівняння достатньо розв’язати кожне з рівнянь:

3x + 2,1 = 0,   8 – 2x = 0.

Звідси x = –0,7 або x = 4. Відповідь: –0,7; 4.

2)    Ураховуючи, що існують тільки два числа, –4 і 4, модулі яких дорівнюють 4, отримуємо:

5x – 6 = 4 або 5x – 6 = –4.

Звідси x = 2 або x = 0,4. Відповідь: 2; 0,4. ¤

Звертаємо вашу увагу на те, що наведені рівняння не є лінійними, проте розв’язування кожного з них зводиться до розв’язування лінійного рівняння.

ПРИКЛАД  2  Розв’яжіть рівняння:

1)    (a – 1) x = 2;        2) (a + 9) x = a + 9.

Розв’язання. 1) При a = 1 рівняння набуває вигляду 0x = 2.

У цьому випадку коренів немає. При a ≠ 1 отримуємо: x                          ²    .

a 1

Відповідь: якщо a = 1, то рівняння не має коренів;          якщо a ≠ 1, то x  ²              .

a 1

2)    При a = –9 рівняння набуває вигляду 0x = 0. У цьому випадку коренем рівняння є будь-яке число. При a ≠ –9 отримуємо: x = 1.

Відповідь: якщо a = –9, то x — будь-яке число; якщо a ≠ –9, то x = 1. ¤

33.° Які з наведених рівнянь є лінійними:

1)   3x = 6;       3) x² = 4;               5) ⁴ =2; 7) x = 0;

x

2)   x = 4;         4) | x | = 2;            6) x = 2;             8) 0x = 8?

34.° Чи є число 4 коренем рівняння:

        1) 4x = 12;             2) x =1;                  3) 0x = 0;                 4) 0x = 4?

35.° Скільки коренів має рівняння:
1) 3x = –10;   2) 0x = 6;              3) 0x = 0; 36.° Розв’яжіть рівняння:	4) 5x = 0?

1)        x =1;    3) –1,4x = –2,1;

2)        3x            ;            4) x       6.

37.° Розв’яжіть рівняння:

1)        6x            ;            3) x =12;

2)        0,1x = –2,75;        4) x       .

38.° Розв’яжіть рівняння:
1) 18 – 16x = –30x – 10;	4) 6x – 19 = –2x – 15;
2) –7x + 2 = 3x – 1;	5) 0,2x + 3,4 = 0,6x – 2,6;

3)        10 – 2x = 12 + x; 6) x    12           x        2.

39.° Знайдіть корінь рівняння:
1) 10x + 7 = 8x – 9;	3) 2,7 + 1,9x = 2x + 1,5;

                      2) 20 – 3x = 2x – 45;                  4) x      13 x            8.

40.° Розв’яжіть рівняння:
1) –3 (x – 4) = 5x – 12;	3) 26 – 4x = 3x – 7 (x – 3);
2) (16x – 5) – (3 – 5x) = 6; 41.° Розв’яжіть рівняння:	4) –2 (3 – 4x) + 5 (2 – 1,6x) = 4.
1) 4 (13 – 3x) – 17 = –5x;	3) 14 – x = 0,5 (4 – 2x) + 12;
2) (18 – 3x) – (4 + 2x) = 10; 42.• Доведіть, що:	4) 4x       3 (20     x)     10x     3 (11       x).

1) коренем рівняння 4 (x – 5) = 4x – 20 є будь-яке число; 2) рівняння 2y – 8 = 4 + 2y не має коренів.

43.^• Розв’яжіть рівняння:

1)    0,8 – (1,5x – 2) = –0,8 + 4,5x;

2)    0,6x – 5 (0,3x + 0,2) = 0,5 (x – 1) – 0,8;

3)    y           7              y        1;

4)     (5,4          8,1y)       0,03        (6,8       3,4y).

44.^• Знайдіть корінь рівняння:

1)     0,9x – 0,6 (x – 3) = 2 (0,2x – 1,3);

2)     –0,4 (3x – 1) + 8 (0,8x – 0,3) = 5 – (3,8x + 4);

3)      (0,56         4,2y)       0,4          (0,52       6,5y).

45.^• Розв’яжіть рівняння:

                       1) 8 (7x – 3) = –48 (3x + 2);                  2) 4,5 (8x + 20) = 6 (6x + 15).

46.^• Чому дорівнює корінь рівняння:

                       1) –36 (6x + 1) = 9 (4 – 2x);                  2) 3,2 (3x – 2) = –4,8 (6 – 2x)?

47.^• Розв’яжіть рівняння:

                       1) (4x – 1,6) (8 + x) = 0;                     3) (3x      2) 4     x       0;

2) x (5 – 0,2x) = 0; 48.• Розв’яжіть рівняння:	4) (2x     1,2) (x     1) (0,7x     0,21)	0.
1) (1,8 – 0,3y) (2y + 9) = 0;	2) (5y + 4) (1,1y – 3,3) = 0.

49.^• Розв’яжіть рівняння:

         1) 5x 4          16x 1;                                      2) 4y 33         17 y .

                  2              7                                                    3              2

50.^• Знайдіть корінь рівняння:

                      1) ;                                                       2) 5x 3 x 5.

                                                                                      5            8

51.^• Чому дорівнює корінь рівняння:

            1) 2x 5x 23;                     2) ^{x x          7} ;                   3) ^{3x       4      x} ?

               3       4                                6     8     36                           10     15     6

52.^• Розв’яжіть рівняння:

               7x 5x          4 ;             2) 2x       x      15;                     3) x 1          x .

1)

               6      18     27                      7      4     14                            8           12

53.^• При якому значенні змінної:

1)     значення виразу 4x – 0,2 (8x – 7) дорівнює –22,6;

2)     вирази 0,2 (3 – 2y) і 0,3 (7 – 6y) + 2,7 набувають рівних значень;

3)     значення виразу 0,6y на 1,5 більше за значення виразу 0,3 (y – 4);

4)     значення виразу 5x – 1 у 5 разів менше від значення виразу 6,5 + 2x?

54.^• При якому значенні змінної:

1)   вирази 6 – (2x – 9) і (18 + 2x) – 3 (x – 3) набувають рівних значень;

2)   значення виразу –4 (2y – 0,9) на 2,4 менше від значення виразу 5,6 – 10y?

55.^• Розв’яжіть рівняння:

1) | x | + 6 = 13;               4) | x – 5 | = 4;	7) | 3x + 4 | = 2;
2) | x | – 7 = –12;            5) | 9 + x | = 0;	8) | 2x + 1 | + 13 = 14;
3) 7 | x | – 3 = 0;            6) | x – 4 | = –2; 56.• Розв’яжіть рівняння:	9) | | x | – 3 | = –5.
1) | x | – 8 = –5;               3) | x + 12 | = 3;	5) | 10x – 7 | – 32 = –16;

         2) | x | + 5 = 2;                       4) | 8 – 0,2x | = 12; 6) | | x | – 2 | = 2.

57.^• При якому значенні a рівняння:

1)   5ax = –45 має корінь, що дорівнює числу 3;

2)   (a – 4) x = –5a + 4x – 7 має корінь, що дорівнює числу –6?

58.^• При якому значенні a рівняння:

1) 3ax = 12 – x має корінь, що дорівнює числу –9; 2) (5a + 2) x = 8 – 2a має корінь, що дорівнює числу 2?

59.^• Укажіть яке-небудь значення b, при якому буде цілим числом корінь рівняння:

         1) 0,1x = b;            2) bx = 21;               3) x = b;                 4) bx = .

60.^• Складіть рівняння, яке:

1) має єдиний корінь, що дорівнює числу –4; 2) має безліч коренів; 3) не має коренів.

61.^•• Знайдіть усі цілі значення m, при яких є цілим числом корінь рівняння:

                    1) mx = 3;                                                   2) (m + 4) x = 49.

62.^•• Знайдіть усі цілі значення n, при яких є натуральним числом корінь рівняння:

                    1) nx = –5;                                                  2) (n – 6) x = 25.

63.^•• При якому значенні b мають один і той самий корінь рівняння:

1)   7 – 3x = 6x – 56  і  x – 3b = –35;

2)   2y – 9b = 7  і  3,6 + 5y = 7 (1,2 – y)?

64.^•• При якому значенні c мають один і той самий корінь рівняння:

1) (4x + 1) – (7x + 2) = x  і  12x – 9 = c + 5; 2) cx              x              c  і  6 – 3 (2x – 4) = –8x + 4?

65.^•• При якому значенні a не має коренів рівняння:

1) ax = 6;       2) (3 – a) x = 4;   3) (a – 2) x = a + 2? 66.^•• При якому значенні a будь-яке число є коренем рівняння:

                    1) ax = a;                       2) (a – 2) x = 2 – a;               3) a (a + 5) x = a + 5?

67.^•• При яких значеннях a має єдиний корінь рівняння:

                     1) (a – 5) x = 6;                                         2) (a + 7) x = a + 7?

68.^•• Розв’яжіть рівняння:

                     1) (b + 1) x = 9;                                        2) (b² + 1) x = –4.

69.^•• Розв’яжіть рівняння (m + 8) x = m + 8.

70.^•• Яким виразом можна замінити зірочку в рівності 6x + 8 = 4x + *, щоб утворилося рівняння, яке:

1) не має коренів; 2) має безліч коренів; 3) має один корінь?

71.^•• У рівності 2 (1,5x – 0,5) = 7x + * замініть зірочку таким виразом, щоб утворилося рівняння, яке:

1) не має коренів; 2) має безліч коренів; 3) має один корінь.

72.^* Розв’яжіть рівняння:

                     1) | x | + 3x = 12;             2) | x | – 4x = 9;               3) 2 (x – 5) – 6 | x | = –18.

73.^* Розв’яжіть рівняння:

                     1) 2x – | x | = –1;                                              2) 7 | x | – 3 (x + 2) = –10.

74.^* При яких цілих значеннях a корінь рівняння:

1) x – 2 = a;   2) x + 7a = 9; 3) 2x – a = 4; 4) x + 2a = 3 є цілим числом, яке ділиться націло на 2?

75.^* При яких цілих значеннях b корінь рівняння:

1) x + 3 = b;   2) x – 2 = b;          3) x – 3b = 8 є цілим числом, яке ділиться націло на 3?

76.^* При яких значеннях b корінь рівняння є меншим від b:

        1) 3x = b;                          2) x = 2b?

77.^* При яких значеннях d корінь рівняння є більшим за d:

        1) 4x = d;                         2) x = d?

78.    Олеся та Микола живуть у селі Грушеве, а навчаються в різ-них університетах міста Києва. До Центрального залізничного вокзалу Києва вони їдуть електропотягом.

В університеті, де вчиться Олеся, заняття починаються о 8:30, а на шлях від залізничного вокзалу до університету вона витрачає 35 хв. В університеті, де вчиться Микола, заняття починаються о 9:00, а на шлях від вокзалу до університету він витрачає 40 хв. У таблиці наведено фрагмент розкладу руху електропотягів.

Відправлення  від станції Грушеве	Прибуття  на вокзал у Київ
6:27	7:23
6:39	8:00
6:45	8:08
7:15	8:23

О котрій годині найпізніше може виїхати Олеся, а о котрій — Микола, щоб не запізнитися на заняття?

79.    Один робітник може виконати завдання за 45 год, а другому для цього потрібно в 1 раза менше часу, ніж першому. За скільки годин вони виконають завдання, працюючи разом? Яку частину завдання при цьому виконає кожен із них?

80.    За перший день Олена прочитала  сторінок книжки, за другий —  сторінок книжки та за третій день — решту 12 сторінок. Скільки сторінок у цій книжці?

81.    Відомо, що n — натуральне число. Яким числом, парним чи непарним, є значення виразу:

1)   4n;              2) 2n – 1;               3) n (n + 1)?

82.    Чи є правильним твердження, що при будь-якому значенні a:

1)   2a > a;       2) 2 | a | > | a |?

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

83. Скільки існує шестицифрових чисел, у записі яких є хоча б одна парна цифра?

 

                    3.          Розв’язування текстових задач

Вам неодноразово доводилося розв’язувати задачі за допомогою складання рівнянь. Різноманітність цих задач є найкращим підтвердженням універсальності цього методу. У чому ж секрет його сили?

Річ у тім, що умови несхожих між собою задач удається записати математичною мовою. Отримане рівняння — це результат перекладу умови задачі з української мови математичною.

Часто умова задачі є описом якоїсь реальної ситуації. Складене за цією умовою рівняння називають математичною моделлю даної ситуації.

Зрозуміло, щоб отримати відповідь, рівняння треба розв’язати. Для цього в алгебрі розроблено різні методи та прийоми. З деякими з них ви вже знайомі, вивчення багатьох інших на вас ще чекає.

Знайдений корінь рівняння — це ще не відповідь задачі. Треба з’ясувати, чи не суперечить отриманий результат реальній ситуації, яка описана в умові задачі.

Розглянемо, наприклад, такі задачі.

1)     За 4 год зібрали 6 кг ягід, причому кожної години збирали однакову за масою кількість ягід. Скільки кілограмів ягід збирали щогодини?

2)     Кілька хлопчиків зібрали 6 кг ягід. Кожен із них зібрав по 4 кг. Скільки хлопчиків збирали ягоди?

За умовою обох задач можна скласти одне й те саме рівняння 4x = 6, коренем якого є число 1,5. Проте в першій задачі відповідь «щогодини збирали 1,5 кг ягід» є прийнятною, а в другій — «ягоди збирали півтора хлопчика» — ні. Тому друга задача не має розв’язків.

Під час розв’язування задач на складання рівнянь бажано дотримуватися такої послідовності дій:

1)     за умовою задачі скласти рівняння (побудувати математичну модель задачі);

2)     розв’язати отримане рівняння;

3)     з’ясувати, чи відповідає знайдений корінь змісту задачі, і дати відповідь.

Цю послідовність дій, яка складається з трьох кроків, можна назвати алгоритмом розв’язування текстових задач.

ПРИКЛАД  1  Робітник мав виконати замовлення за 8 днів. Проте, виготовляючи щодня 12 деталей понад норму, він уже за 6 днів роботи не тільки виконав замовлення, а й виготовив додатково 22 деталі. Скільки деталей щодня виготовляв робітник?

Розв’язання. Нехай робітник виготовляв щодня x деталей. Тоді за нормою він мав виготовляти щодня (x – 12) деталей, а всього їх мало бути виготовлено 8 (x – 12). Насправді він виготовив 6x деталей. Оскільки за умовою значення виразу 6x на 22 більше за значення виразу 8 (x – 12), то отримуємо рівняння 6x – 22 = 8 (x – 12).

Тоді 6x – 22 = 8x – 96;

6x – 8x = –96 + 22;

–2x = –74; x = 37. Відповідь: 37 деталей. ¤

ПРИКЛАД  2  Велосипедистка проїхала 65 км за 5 год. Частину шляху вона їхала зі швидкістю 10 км/год, а решту — зі швидкістю 15 км/год. Скільки часу вона їхала зі швидкістю 10 км/год і скільки — зі швидкістю 15 км/год?

Розв’язання. Нехай велосипедистка їхала x год зі швидкістю 10 км/год. Тоді зі швидкістю 15 км/год вона їхала (5 – x) год. Перша частина шляху становить 10x км, а друга — 15 (5 – x) км.

Оскільки весь шлях складав 65 км, то маємо рівняння 10x + 15 (5 – x) = 65.

Звідси 10x + 75 – 15x = 65;

–5x = –10; x = 2.

Отже, зі швидкістю 10 км/год вона їхала 2 год, а зі швидкістю 15 км/год — 3 год.

Відповідь: 2 год, 3 год. ¤

Ви добре знаєте, що складання рівнянь — це не єдиний спосіб розв’язування текстових задач. Також ефективним прийомом є «розв’язування задач по діях», тобто в арифметичний спосіб, коли в певній послідовності знаходять значення числових виразів

 

і в кінцевому результаті отримують відповідь. Тут перекладом задачі з реального життя математичною мовою є запис одного або кількох числових виразів. Зауважимо, що в початковій школі саме із цього способу ви почали знайомство з методами розв’язування текстових задач. Методи розв’язування задач, які являють собою реальні ситуації, різноманітні й далеко не вичерпуються моделями у вигляді числових виразів або рівнянь. Вивчаючи математику, ви розширюватиме список відповідних моделей. Зараз ознайомимося з методом, застосування якого засновано на побудові математичної моделі у вигляді геометричної фігури. Зазначимо, що ви вже використовували елементи цього прийому, коли в задачах на рух будували різні схеми: руху в одному напрямі, у протилежних напрямах, назустріч один одному й т. п. ПРИКЛАД  3  У регіоні країни є п’ять міст. Чи можна ці міста сполучити дорогами так, щоб із кожного міста виходили: 1) чотири дороги; 2) три дороги? Розв’язання. Побудуємо схему, на якій міста будуть зображені точками А, В, C, D і Е. Дорогу, яка сполучає два міста, зображатимемо у вигляді відрізка. Наприклад, на рисунку 3 показано кільцеву схему доріг. B AC E D                                Рис. 3                                                              Рис. 4 1)         Задача зводиться до того, щоб з’ясувати, чи можна п’ять точок площини сполучити відрізками так, щоб із кожної точки виходили чотири відрізки. На рисунку 4 показано, як це зробити. 2)         Припустимо, що така схема є можливою. Підрахуємо, скільки відрізків буде на цій схемі. Маємо: 5æ3 = 15 (відрізків). Проте при такому підрахунку кожний відрізок було враховано двічі. Отримуємо, що кількість відрізків дорівнює . Це число не ціле. Отримали суперечність. Відповідь: 1) Так; 2) ні. ¤

84.° Ганна купила 24 зошити, причому зошитів у лінійку вона купила на 6 більше, ніж зошитів у клітинку. Скільки зошитів кожного виду купила Ганна?

85.° Із двох дерев зібрали 65,4 кг вишень, причому з одного дерева зібрали на 12,6 кг менше, ніж із другого. Скільки кілограмів вишень зібрали з кожного дерева?

86.° Периметр прямокутника дорівнює 7,8 см, а одна з його сторін на 1,3 см більша за другу. Знайдіть сторони прямокутника.

87.° Одна зі сторін прямокутника в 11 разів менша від другої. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 144 см.

88.° Три найвищі гірські вершини України — Говерла, Бребенескул і Петрос знаходяться в найвищому гірському масиві Чорногори в Карпатах. Сума їхніх висот дорівнює 6113 м, причому Говерла на 29 м вища за Бребенескул і на 41 м вища за Петрос. Знайдіть висоту кожної з вершин.

89.° Три найглибші печери України — Гора Говерла Солдатська, Каскадна та Нахімовська знаходяться в Криму. Сума їхніх глибин дорівнює 1874 м, причому глибина Каскадної в 1,2 раза менша від глибини Солдатської та на 26 м більша за глибину Нахімовської. Знайдіть глибину кожної з печер.

90.° У будинку є 160 квартир трьох видів: однокімнатні, двокімнатні та трикімнатні. Однокімнатних квартир у 2 рази менше, ніж двокімнатних, і на 24 менше, ніж трикімнатних. Скільки в будинку квартир кожного виду?

91.° Троє робітників виготовили 96 деталей. Один із них виготовив у 3 рази більше деталей, ніж другий, а третій — на 16 деталей більше, ніж другий. Скільки деталей виготовив кожний робітник?

92.^• У трьох цехах заводу працює 101 робітниця. Кількість робітниць першого цеху становить  кількості робітниць третього цеху, а кількість робітниць другого цеху — 80 % кількості робітниць третього. Скільки робітниць працює в першому цеху?

93.^• Велосипедисти взяли участь у триденному поході. За другий і третій дні вони проїхали відповідно 120 % і  відстані, яку подолали за перший день. Який шлях вони проїхали за перший день, якщо довжина всього маршруту становить 270 км?

94.^• У 6 великих і 8 маленьких ящиків розклали 232 кг яблук. Скільки кілограмів яблук було в кожному ящику, якщо в кожному маленькому ящику було на 6 кг яблук менше, ніж у кожному великому?

95.^• У двох залах кінотеатру 534 місця. В одному залі 12 однакових рядів, а в другому — 15 однакових рядів. У кожному ряду першого залу на 4 місця більше, ніж у кожному ряду другого. Скільки місць у кожному залі кінотеатру?

96.^• Відстань між двома містами мотоциклістка проїхала за 0,8 год, а велосипедист — за 4 год. Швидкість велосипедиста на 48 км/год менша від швидкості мотоциклістки. Знайдіть швидкості мотоциклістки та  велосипедиста.

97.^• За 2 кг цукерок одного виду заплатили стільки, скільки за 3,5 кг цукерок другого виду. Яка ціна кожного виду цукерок, якщо 1 кг цукерок першого виду на 12 грн дорожчий за 1 кг цукерок другого виду?

98.^• Кілограм огірків на 0,8 грн дешевший від кілограма помідорів. Скільки коштує 1 кг помідорів, якщо за 3,2 кг помідорів заплатили стільки ж, скільки за 3,6 кг огірків?

99.^• В одному баку було в 3 рази більше води, ніж у другому. Коли в перший бак долили 16 л води, а в другий — 80 л, то в обох баках води стало порівну. Скільки літрів води було спочатку в кожному баку?

100.^• На одній полиці було в 4 рази більше книжок, ніж на другій. Коли з першої полиці взяли 5 книжок, а на другу поставили 16 книжок, то на обох полицях книжок стало порівну. Скільки книжок було спочатку на кожній полиці?

101.^• Зараз батькові 26 років, а його синові — 2 роки. Через скільки років батько буде в 5 разів старший за сина?

102.^• Зараз матері 40 років, а її доньці — 18 років. Скільки років тому донька була в 3 рази молодша від матері?

103.^• Для шкільної бібліотеки придбали 40 орфографічних і тлумачних словників української мови, заплативши разом 690 грн. Скільки було словників кожного виду, якщо орфографічний словник коштує 15 грн, а тлумачний — 24 грн?

104.^• Вкладник поклав у банк 3000 грн на два різних депозитних рахунки, причому за першим рахунком йому нараховували 7 % річних, а за другим — 8 % річних. Через рік він одержав 222 грн прибутку. Яку суму було внесено на кожний рахунок? 105.^• У касі було 19 купюр по 2 і 5 гривень на загальну суму 62 грн. Скільки купюр кожного виду було в касі?

106.^• У двох сховищах була однакова кількість вугілля. Коли з першого сховища вивезли 680 т вугілля, а з другого — 200 т, то в першому залишилося в 5 разів менше вугілля, ніж у другому. Скільки тонн вугілля було в кожному сховищі спочатку?

107.^• У Марини й Василя було порівну грошей. Коли на купівлю книжок Марина витратила 30 грн, а Василь — 45 грн, то в Марини залишилось у 2 рази більше грошей, ніж у Василя. Скільки грошей було в кожного з них спочатку?

108.^• В одному мішку було в 5 разів більше борошна, ніж у другому. Коли з першого мішка пересипали 12 кг борошна в другий мішок, то маса борошна в другому мішку склала  маси борошна в першому. Скільки кілограмів борошна було в кожному мішку спочатку?

109.^• В одному контейнері було в 3 рази більше вугілля, ніж у другому. Коли з першого контейнера пересипали 300 кг вугілля в другий контейнер, то маса вугілля в першому контейнері склала 60 % маси вугілля в другому. Скільки кілограмів вугілля було в кожному контейнері спочатку?

110.^• Одному робітникові треба було виготовити 90 деталей, а другому — 60. Перший робітник щодня виготовляв 4 деталі, а другий — 5 деталей. Через скільки днів першому робітникові залишиться виготовити вдвічі більше деталей, ніж другому, якщо вони почали працювати одночасно?

111.^• В одній цистерні було 200 л води, а в другій — 640 л. Коли з другої цистерни використали вдвічі більше води, ніж із першої, то в другій залишилося в 3,5 раза більше води, ніж у першій. Скільки літрів води використали з кожної цистерни?

112.^• Із двох міст, відстань між якими дорівнює 385 км, виїхали назустріч один одному легковий і вантажний автомобілі. Легковий автомобіль їхав зі швидкістю 80 км/год, а вантажний — 50 км/год. Скільки часу їхав до зустрічі кожен із них, якщо вантажний автомобіль виїхав на 4 год пізніше за легковий?

113.^• З одного села до другого вирушив пішохід зі швидкістю 4 км/год, а через 1,5 год після цього з другого села назустріч йому виїхав велосипедист зі швидкістю 16 км/год. Через скільки хвилин після виїзду велосипедист зустрівся з пішоходом, якщо відстань між селами дорівнює 14 км?

114.^• Відстань між двома містами річкою на 55 км менша, ніж по шосе. З одного міста до другого можна дістатися теплоходом за 6 год, а по шосе автобусом — за 3 год 30 хв. Знайдіть швидкості автобуса й теплохода, якщо швидкість теплохода на 30 км/год менша від швидкості автобуса.

115.^• Теплохід пройшов 4 год за течією річки та 3 год проти течії. Шлях, який пройшов теплохід за течією, на 48 км більший за шлях, пройдений ним проти течії. Знайдіть швидкість теплохода в стоячій воді, якщо швидкість течії дорівнює 2,5 км/год.

116.^• Турист і туристка плили 5 год на плоту за течією річки та 1,5 год на моторному човні проти течії. Швидкість човна в стоячій воді дорівнює 24 км/год. Знайдіть швидкість течії, якщо проти течії турист і туристка проплили на 23 км більше, ніж за течією.

117.^• Під час розселення туристів у намети виявилося, що коли в кожний намет поселити 6 туристів, то 5 туристам місця не вистачить, а якщо розселяти по 7 туристів, то 6 місць залишаться вільними. Скільки було туристів?

118.^• Під час підготовки новорічних подарунків для учнів і учениць 7 класу виявилося, що коли в кожний подарунок покласти по 4 апельсини, то не вистачить 3 апельсинів, а коли покласти по 3 апельсини, то залишаться зайвими 25 апельсинів. Скільки було апельсинів?

119.^•• У двох ящиках було 55 кг печива. Коли з першого ящика переклали в другий  маси печива, яке в ньому містилося, то в першому ящику залишилося на 5 кг більше печива, ніж стало в другому. Скільки кілограмів печива було в кожному ящику спочатку?

120.^•• У двох кошиках було 24 кг груш. Коли з одного кошика переклали в другий  маси груш, які були в першому, то маса груш у другому кошику стала вдвічі більшою за масу груш, які залишилися в першому. Скільки кілограмів груш було в кожному кошику спочатку?

121.^•• На трьох полицях стояли книжки. На першій полиці стояло  усіх книжок, на другій — 60 % усіх книжок, а на третій — на 8 книжок менше, ніж на першій. Скільки всього книжок стояло на трьох полицях?

122.^•• У чотири бідони розлили молоко. У перший бідон налили 30 % усього молока, у другий —  того, що в перший, у третій — на 26 л менше, ніж у перший, а в четвертий — на 10 л більше, ніж у другий. Скільки літрів молока розлили в чотири бідони?

123.^•• Робітник планував щодня виготовляти по 20 деталей, щоб вчасно виконати виробниче завдання. Проте щодня він виготовляв на 8 деталей більше, ніж планував, і вже за 2 дні до кінця терміну роботи виготовив 8 деталей понад план. Скільки днів за планом робітник мав виконувати завдання?

124.^•• Готуючись до екзамену, Олеся планувала щодня розв’язувати 10 задач. Оскільки вона щодня розв’язувала на 4 задачі більше, то вже за 3 дні до екзамену їй залишилося розв’язати 2 задачі. Скільки всього задач планувала розв’язати Олеся?

125.^•• У двоцифровому числі кількість десятків у 3 рази більша за кількість одиниць. Якщо цифри числа переставити, то отримане число буде на 54 меншим від даного. Знайдіть дане двоцифрове число.

126.^•• У двоцифровому числі кількість десятків на 2 менша від кількості одиниць. Якщо цифри числа переставити, то отримане число буде в 1 раза більшим за дане. Знайдіть дане двоцифрове число.

127.^•• Із двох міст, відстань між якими дорівнює 270 км, виїхали одночасно назустріч один одному два автомобілі. Через 2 год після початку руху відстань між ними становила 30 км. Знай- діть швидкість кожного автомобіля, якщо швидкість одного з них на 10 км/год більша за швидкість другого.

128.^•• Компанія складається із 7 осіб. Чи може кожна особа компанії дружити: 1) рівно з чотирма особами; 2) рівно з п’ятьма

особами?

129.^•• Маємо два сплави міді й цинку. Перший сплав містить 9 % цинку, а другий — 30 %. Скільки кілограмів кожного сплаву треба взяти, щоб отримати зливок сплаву масою 300 кг, який містить 23 % цинку?

130.^•• Маємо два водно-сольових розчини. Перший розчин містить 25 % солі, а другий — 40 %. Скільки кілограмів кожного розчину треба взяти, щоб отримати розчин масою 50 кг, який містить 34 % солі?

131.^* У регіоні країни є 8 міст. Чи можна стверджувати, що з будьякого міста можна проїхати в будь-яке інше місто, якщо з кожного міста виходить: 1) не менше трьох доріг; 2) чотири дороги?

132.     Обчисліть значення виразу:

1)   –9,6 : 12 – 29 : (–5,8) + 4 : (–25);2) 3,4æ(4 4,6) 12,4æ( 0,8 2,2);

3)       0,4            æ6          1,75 :      7  ;

4)       6,3 :            2,6 :        æ                 0,6 : ( 0,36).

133.     Знайдіть значення виразу:

1)   14 – 6x, якщо x = 4; –2; 0; –0,3; ;

2)   a² + 3, якщо a = 7; –2; 0; 0,4; −1;

3)   (2m – 1) n, якщо m = 0,2, n = –0,6.

134.     Заповніть таблицю, обчислюючи значення виразу –3x + 2 для наведених значень x:

x	–4	–3	–2	–1	0	1	2	3	4
–3x + 2

135.     Яку цифру треба дописати ліворуч і праворуч до числа 37, щоб отримане число ділилося націло на 6?

136.     Чи має корені рівняння:

1)   x² = 0;        3) | x | = x; 2) x² = –1;        4) | x | = –x?

У разі ствердної відповіді вкажіть їх.

137.     Чи може бути цілим числом значення виразу:

        1) ;                 2) ^x ?

138.     Знайдіть усі натуральні значення n, при яких значення кожного з виразів n – 2, n + 24, n + 26 є простим числом.

   завдання № 1 «Перевірте себе» в тестовій формі

ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

1.     Обчисліть значення виразу 5 – 4b при b = –2.

        А) 3;                         Б) –3;                        В) 13;                         Г) –13.

2.     Знайдіть значення виразу m + n, якщо m = 35, n = –18.

        А) 1;                        Б) 2;                          В) 3;                           Г) 4.

3.     Який із наведених виразів є записом різниці добутку чисел a і b та числа c?

        А) a – bc;                Б) ab – c;                  В) a (b – c);              Г) (a – b) c.

4.     Серед наведених алгебраїчних виразів укажіть цілий.

А) b ;               Б) b 5;     В) b⁺⁵; Г) ^b+5. b−7           b 7           7              b

5.     Знайдіть корінь рівняння 7x + 2 = 3x – 6.

        А) 2;                        Б) 1;                          В) –2;                         Г) –1.

6.     Яке з рівнянь є лінійним?

А) 2x + 3 = 0;                 Б) ¹ = 0;              В) | x | – 4 = 0; Г) (x – 1) (x – 2) = 0. x

7.     Розв’яжіть рівняння ^{x x} 6.

                                                      2     3

        А) 12;                      Б) 36;                        В) –6;                         Г) –1.

8.     Розв’яжіть рівняння 2 (x – 3) – (x + 4) = x – 10.

        А) 0;                                                              В) x — будь-яке число;

         Б) коренів немає;                                  Г) 10.

9.     При якому значенні a рівняння (a + 4) x = a – 3 не має коренів?

        А) 3;             Б) –4;            В) 0;                  Г) такого значення не існує.

10.  Відомо, що 45 % числа a на 7 більше, ніж  цього числа. Знайдіть число a.

        А) 36;                      Б) 45;                        В) 60;                         Г) 90.

11.  Три робітники виготовили 70 деталей. Перший робітник ви-готовив у 2 рази менше деталей, ніж другий, а третій — на 10 деталей більше, ніж перший.

Нехай перший робітник виготовив x деталей. Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі?

            А) x + 2x + 2x + 10 = 70;                       В) x + 2x + 2x – 10 = 70;

            Б) x + 2x + x + 10 = 70;                          Г) x + 2x + x – 10 = 70.

12.  На першій ділянці було в 4 рази більше кущів малини, ніж на другій. Коли з першої ділянки пересадили на другу 12 кущів, то на другій стало у 2 рази менше кущів малини, ніж на першій. Нехай на другій ділянці було спочатку x кущів. Яке з наведених рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі?

А) 2 (4x – 12) = x + 12;	В) 4x + 12 = 2 (x – 12);
Б) 2 (4x + 12) = x – 12;	Г) 4x – 12 = 2 (x + 12).

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 1

Вираз зі змінними

Запис, складений із чисел, букв, знаків арифметичних дій і дужок, називають буквеним виразом або виразом зі змінними.

Алгебраїчні вирази

1)   Числові вирази.

2)   Вирази зі змінними (буквені вирази).

Цілий вираз

Вираз, який не містить ділення на вираз зі змінними, називають цілим виразом.

Лінійне рівняння з однією змінною

Рівняння виду ax = b, де x — змінна, a і b — деякі числа, називають лінійним рівнянням з однією змінною.

Алгоритм розв’язування задач на складання рівнянь

1)     За умовою задачі скласти рівняння (побудувати математичну модель задачі);

2)     розв’язати отримане рівняння;

3)     з’ясувати, чи відповідає знайдений корінь змісту задачі, і дати відповідь.

Розв’язування лінійного рівняння з однією змінною

Значення a і b	a ≠ 0	a = 0, b = 0	a = 0, b ≠ 0
Корені рівняння ax = b	x = b a	x — будь-яке число	Коренів немає

§ 2 ЦІЛІ ВИРАЗИ

•      У цьому параграфі ви навчитеся спрощувати вирази, ознайомитеся з формулами та прийомами, які допомагають полегшити роботу з перетворення виразів.

•      Ви дізнаєтеся, що піднесення числа до квадрата й куба — окремі випадки нової арифметичної дії.

•      Ви навчитеся класифікувати алгебраїчні вирази.

 4.               Тотожно рівні вирази. Тотожності

Розглянемо дві пари виразів:

1) x⁵ – x  і  5x³ – 5x; 2) 2 (x – 1) – 1  і  2x – 3.

У таблицях наведено значення цих виразів при деяких значеннях змінної x.

x	–2		–1		0		1		2
x5 – x	–30		0		0		0		30
5x3 – 5x	–30		0		0		0		30
x		–2		–1		0		1		2
2 (x – 1) – 1		–7		–5		–3		–1		1
2x – 3		–7		–5		–3		–1		1

Бачимо, що ці значення збігаються для кожної окремо взятої пари виразів.

Чи збережеться підмічена закономірність при будь-яких інших значеннях x?

Для виразів, записаних у першій таблиці, відповідь на це запитання заперечна: якщо, наприклад, x = 3, то x⁵ – x = 3⁵ – 3 = 240, а 5x ³              5x            5æ3³          5æ3        120.

Проте значення виразів, записаних у другій таблиці, збігаються при будь-яких значеннях x. Доведемо це.

2 (x – 1) – 1 = 2x – 2 – 1 = 2x – 3, тобто після спрощення вираз 2 (x – 1) – 1 перетворився у вираз 2x – 3.

Означення. Вирази, відповідні значення яких є рівними при будь-яких значеннях змінних, що входять до них, називають тотожно рівними.

Наприклад, вирази 2 (x – 1) – 1  і  2x – 3 — тотожно рівні, а вирази x⁵ – x  і  5x³ – 5x не є тотожно рівними. Ось ще приклади тотожно рівних виразів:

7 (a + b)  і  7a + 7b;

3x + y  і  y + 3x; m²np  і  nm²p; a – (b + c)  і  a – b – c.

Розглянемо рівність 7 (a + b) = 7a + 7b. Згідно з розподільною властивістю множення відносно додавання вона є правильною при будь-яких значеннях змінних a і b.

Означення. Рівність, яка є правильною при будь-яких значеннях змінних, що входять до неї, називають тотожністю.

З пари тотожно рівних виразів легко отримати тотожність.

Наприклад, усі рівності

3x + y = y + 3x, m²np = nm²p, a – (b + c) = a – b – c

є тотожностями.

Зазначимо, що з тотожностями ви стикалися й раніше. Так, рівності, що виражають властивості додавання та множення чисел, є прикладами тотожностей: a + b = b + a;

(a + b) + c = a + (b + c); ab = ba;

(ab) c = a (bc); a (b + c) = ab + ac.

Знайдемо значення виразу 11a – 3a + 2 при a = . Звичайно, можна відразу підставити в цей вираз замість a число  та знайти значення числового виразу 11æ 3æ 2. Однак набагато зручніше спочатку звести подібні доданки, замінивши даний вираз 11a – 3a + 2 на тотожно рівний: 8a + 2. Тепер знайдемо значення отриманого виразу при a = . Маємо: 8æ 2 3.

4.  Тотожно рівні вирази. Тотожності

Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому, називають тотожним перетворенням виразу.

Зведення подібних доданків і розкриття дужок — приклади тотожних перетворень виразів. Спрощуючи вираз, ми фактично заміняємо його простішим, тотожно рівним йому.

Для того щоб довести, що дана рівність є тотожністю (або, як ще говорять, довести тотожність), використовують такі прийоми

(методи):

•   тотожно перетворюють одну із частин даної рівності, отримуючи другу частину;

•   тотожно перетворюють кожну із частин даної рівності, отримуючи один і той самий вираз;

•   показують, що різниця лівої і правої частин даної рівності тотожно дорівнює нулю.

ПРИКЛАД  1  Доведіть тотожність:

1)   2 (3a + 4b) + 3 (a – 7b) – 7 (2a – 7b) = –5a + 36b; 2) 0,6 (x – 5) + 0,4 (x + 1) = 0,8 (x + 2) + 0,2 (x – 21); 3) a (b – c) + b (c – a) = c (b – a).

Розв’язання. 1) Спростимо ліву частину рівності:

2 (3a + 4b) + 3 (a – 7b) – 7 (2a – 7b) =

= 6a + 8b + 3a – 21b – 14a + 49b = –5a + 36b.

Тотожність доведено.

2)   Спростимо ліву та праву частини рівності:

0,6 (x – 5) + 0,4 (x + 1) = 0,6x – 3 + 0,4x + 0,4 = x – 2,6;

0,8 (x + 2) + 0,2 (x – 21) = 0,8x + 1,6 + 0,2x – 4,2 = x – 2,6.

Отримали один і той самий вираз. Отже, тотожність доведено. 3) Розглянемо різницю лівої і правої частин рівності:

a (b – c) + b (c – a) – c (b – a) = ab – ac + bc – ab – bc + ac = 0. Тотожність доведено. ¤

ПРИКЛАД  2  Доведіть, що рівність (a + 2) (a – 3) = a² – 6 не є тотожністю.

Розв’язання. Щоб довести, що рівність не є тотожністю, достатньо навести контрприклад: указати таке значення змінної (змінних, якщо їх кілька), при якому дана рівність не справджується.

Наприклад, при a = 1 маємо:

(a + 2) (a – 3) = (1 + 2) (1 – 3) = –6;   a² – 6 = 1 – 6 = –5. Отже, дана рівність не є тотожністю. ¤

1.  Які вирази називають тотожно рівними?

2.  Що називають тотожністю?

3.  Що називають тотожним перетворенням виразу?

4.  Які тотожні перетворення виразів ви знаєте?

5.  Які прийоми використовують для доведення тотожностей?

ВПРАВИ

139.° Які властивості арифметичних дій дають можливість стверджувати, що дані вирази є тотожно рівними:

1) ab + cd  і  cd + ab;	4) (x + 2) (x + 3)  і  (3 + x) (2 + x);
2)   (a + 1) + b  і  a + (1 + b); 3)   aæ4b  і  4ab; 140.° Чи є тотожністю рівність:	5) 7 (a – 4)  і  7a – 28?
1) 2x – 12 = 2 (x – 6);	7) 3a – a = 3;
2) a – b = –(b – a);	8) 4x + 3x = 7x;
3) 3m + 9 = 3 (m + 9);	9) a – (b + c) = a – b + c;
4) (a b)æ1 a b;	10) m + (n – k) = m + n – k;
5) (a b)æ0 a b;	11) 4a – (3a – 5) = a + 5;
6) (a – a) (b + b) = 0;	12) (a – 5) (a + 3) = (5 – a) (3 + a)?

141.° Чи є тотожно рівними вирази:

1) 8 (a – b + c)  і  8a – 8b + 8c; 3) (5a – 4) – (2a – 7)  і  3a – 11? 2) –2 (x – 4)  і  –2x – 8;

142.° Порівняйте значення виразів a² і | a | при a = –1; 0; 1. Чи можна стверджувати, що рівність a² = | a | є тотожністю?

143.° Якому з наведених виразів тотожно дорівнює вираз –3a + + 8b – a – 11b:

                    1) –4a + 3b;            2) –3a + 3b;             3) –4a – 3b;              4) –3a – 3b?

144.° Серед виразів –10a + 7, –10a – 7, –14a + 7, –14a – 7 знайдіть такий, який тотожно дорівнює виразу –12a + (7 – 2a).

145.° Доведіть тотожність:

1)     –5x – 6 (9 – 2x) = 7x – 54;

2)      (12         0,6y)       0,3y        0,1y        4;

3)     3 (7 – a) – 7 (1 – 3a) = 14 + 18a;

4)     (6x – 8) – 5x – (4 – 9x) = 10x – 12; 5) 3 (2,1m – n) – 0,9 (7m + 2n) = –4,8n;

  6) x 6 24   1x              0.

4.  Тотожно рівні вирази. Тотожності

146.° Доведіть тотожність:

1)     –0,2 (4b – 9) + 1,4b = 0,6b + 1,8;

2)     (5a – 3b) – (4 + 5a – 3b) = –4;

3)     5 (0,4x – 0,3) + (0,8 – 0,6x) = 1,4x – 0,7;

4)      (3y     27)          2 y    1,5          y.

147.^• Які з наведених рівностей є тотожностями:

1)   (2a – 3b)² = (3b – 2a)²;          5) | a² + 4 | = a² + 4;

2)   (a – b)³ = (b – a)³;   6) | a + b | = | a | + | b |;

3)   | a + 5 | = a + 5;       7) | a – 1 | = | a | – 1; 4) | a – b | = | b – a |;     8) a² – b² = (a – b)²?

148.^• Запишіть у вигляді рівності твердження:

1)   сума протилежних чисел дорівнює нулю;

2)   добуток даного числа та числа 1 дорівнює 1;

3)   добутком даного числа та числа –1 є число, протилежне даному;

4)   модулі протилежних чисел рівні;

5)   різниця протилежних чисел дорівнює нулю.Які із цих рівностей є тотожностями?

149.^• Доведіть тотожність:

1) 4 (2 – 3m) – (6 – m) – 2 (3m + 4) = –17m – 6; 2) a + b – 10ab = 2a (3 – b) – 3b (a – 2) – 5 (ab + a + b); 3) 6 (5a – 3) + (10 – 20a) – (6a – 4) = 5a – (3a – (2a – 4)).

150.^• Доведіть тотожність:

1) (3m 7)æ0,6 0,8 (4m 5) ( 1,7 1,4m) 1,5; 2) 7a (3b 4c) 3a b c 9a (2b 3c).

151.^• Доведіть, що не є тотожністю рівність:

1)   (a + 3)² = a² + 9;     3) (c + 1)³ = c³ + 1;

2)   (b – 1) (b + 1) = (b – 1) b + 1;              4) | m | – | n | = | n | – | m |.

152.^• Доведіть, що не є тотожно рівними вирази:

1)   4 – m²  і  (2 – m)²;   3) m³ + 8  і  (m + 2) (m² + 4).

2)   | –m |  і  m;

153. Пасажирський поїзд проходить відстань між двома станціями за 12 год. Якщо одночасно від цих станцій вирушать назустріч один одному пасажирський і товарний поїзди, то вони зустрінуться через 8 год після початку руху. За який час товарний поїзд може подолати відстань між цими станціями?

¿ 154. У багатьох країнах світу, зокрема в Україні, температуру вимірюють за шкалою Цельсія^[1]. У деяких країнах, зокрема в США, температуру вимірюють за шкалою Фаренгейта^[2]. Щоб перевести значення температури за шкалою Цельсія в шкалу Фаренгейта, користуються формулою t_F = 1,8t_C + 32, де t_C — температура в градусах Цельсія, t_F — температура в градусах Фаренгейта. Скільком градусам за шкалою Цельсія відповідають 68 градусів за

                                                   шкалою Фаренгейта?°C                                °F

155.            Відомо, що a > 0 і a + b < 0. Порівняйте:

1) b  і  0; 2) | a |  і  | b |.

156.            Ціну товару спочатку збільшили на 50 %, а потім зменшили на 50 %. Збільшилася чи зменшилася початкова ціна товару та на скільки відсотків?

157.            Загальна довжина річки Дніпро становить 2201 км, з них у межах України — 981 км. Загальна довжина річки Десна становить 1130 км, з них у межах України — 591 км. Яка із цих річок має більший відсоток довжини в межах України?

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

158. На дошці записано числа 1, 2, 3, ..., 10. За один крок дозволено вибрати два числа, до кожного з них додати 5 або від кожного відняти 1. Чи можна за допомогою цих операцій домогтися того, щоб усі числа, записані на дошці, виявилися рівними?

 5.                Степінь з натуральним показником

Як ви знаєте, у математиці придумали спосіб коротко записувати добуток, усі множники якого рівні.

3

Наприклад, ææ              .

3

Вираз  називають степенем, число  — основою степеня, а число 3 — показником степеня.

Означення. Степенем числа a з натуральним показником n, більшим за 1, називають добуток n множників, кожний з яких дорівнює a.

Степінь з основою a та показником n записують aⁿ і читають: «a в n-му степені». Степені з показниками 2 і 3 можна прочитати інакше: запис a² читають «a у квадраті», запис a³ — «a в кубі».

Звернемо увагу, що в означенні степеня на показник n накладено обмеження n > 1. І це зрозуміло: адже не прийнято розглядати добуток, що складається з одного множника.

А чи може показник степеня дорівнювати 1? Відповідь на це запитання дає таке означення.

Означення. Степенем числа a з показником 1 називають саме це число.

Таке означення дає змогу будь-яке число вважати степенем з показником 1.

Отже, з наведених означень випливає, що

aⁿ = aaæ...æa, де n > 1,

n множ ник ів a¹ = a.

Легко підрахувати, що, наприклад, 2⁵ = 32. У таких випадках говорять, що число 2 піднесли до п’ятого степеня й отримали число 32. Також можна сказати, що виконали дію піднесення до п’ятого степеня числа 2.

Рівність (–3)² = 9 означає, що число –3 піднесли до квадрата й отримали число 9, а рівність (–3)³ = –27 означає, що число –3 піднесли до куба й отримали число –27.

Зауважимо, що алгебраїчний вираз може бути побудований не тільки за допомогою додавання, віднімання, множення та ділення, а й за допомогою дії піднесення до степеня.

Очевидно, що коли a > 0, то aⁿ > 0; коли a = 0, то 0ⁿ = 0.

Отже, підносячи невід’ємне число до степеня, отримуємо невід’ємне число.

При піднесенні від’ємного числа до степеня можливі два випадки.

1)        Якщо показник степеня — парне число, то при піднесенні до степеня множники можна розбити на пари.

Наприклад, (–2)⁶ = ((–2) (–2))æ((–2) (–2))æ((–2) (–2)).

2)        Якщо показник степеня — непарне число, то один множник залишиться без пари.

Наприклад, (–2)⁵ = ((–2) (–2))æ((–2) (–2))æ(–2).

Оскільки кожні два від’ємні множники дають у добутку додатне число, то справедливе таке твердження:

підносячи від’ємне число до степеня з парним показником, отримуємо додатне число, а підносячи від’ємне число до степеня з непарним показником, отримуємо від’ємне число.

Чи можна, наприклад, число 5 піднести до степеня 0 або до степеня –2? Можна. Як це зробити, ви дізнаєтесь із курсу алгебри 8 класу.

ПРИКЛАД  1  Розв’яжіть рівняння (x – 10)⁸ = –1.

Розв’язання. Оскільки при піднесенні до степеня з парним показником будь-якого числа отримуємо невід’ємне число, то дане рівняння не має коренів.

Відповідь: коренів немає. ¤

ПРИКЛАД  2  Доведіть, що значення виразу 10²⁰⁰ + 2 ділиться націло на 3.

Розв’язання. Запис значення виразу 10²⁰⁰ складається із цифри 1 і двохсот цифр 0, а запис значення виразу 10²⁰⁰ + 2 — із цифри 1, цифри 2 і ста дев’яноста дев’яти цифр 0. Отже, сума цифр числа, яка є значенням даного виразу, дорівнює 3. Тому й саме це число ділиться націло на 3. ¤

ПРИКЛАД  3  Доведіть, що значення виразу 9n – 1 ділиться націло на 10 при будь-якому парному значенні n. Розв’язання. Якщо n — парне число, то вираз 9n можна подати у вигляді добутку, який містить парну кількість дев’яток. Тоді можна записати: 9n = (9æ9) (9æ9) ... (9æ9). Оскільки 9æ9 = 81, то останньою цифрою значення виразу (9æ9) (9æ9) ... (9æ9) є одиниця. Тому останньою цифрою значення виразу 9n – 1 є нуль. Отже, значення виразу 9n – 1 ділиться націло на 10 при будь-якому парному значенні n. ¤

1.  Що називають степенем числа a з натуральним показником n, більшим за 1?

2.  Як читають запис aⁿ? a²? a³?

3.  Що називають степенем числа a з показником 1?

4.  Чому дорівнює значення виразу 0ⁿ при будь­якому натуральному значенні n?

5.  Яке число, додатне чи від’ємне, отримують при піднесенні до степеня додатного числа?

6.  Яким числом, додатним чи від’ємним, є значення степеня від’ємного числа, якщо показник степеня є парним числом? непарним числом?

ВПРАВИ

159.° Прочитайте вираз, назвіть основу та показник степеня:

1) 9⁶;                3) 0,3⁵;   5) (–0,6)³;              7) 73¹; 2) 2,4⁷;      4) (–8)²; 6) (–a)¹¹;                8) (3p)¹².

160.° Спростіть вираз, замінивши добуток однакових множників степенем:

1) 5æ5æ5æ5;	5) x 2æx 2æx 2æx 2;
2) (−7)æ(−7)æ(−7);	6) yæyæ...æy; 10 множ ник ів
3) aæaæaæaæa;	7) 0,4æ0,4æ...æ0,4;

k множ ник ів

       4) 2mæ2mæ2mæ2mæ2m ;                     8) cæcæ...æc.

m множ ник ів 161.° Подайте у вигляді степеня добуток:

1)    c c c c c c c cæ æ æ æ æ æ æ ;           3) (−x )æ(−x ) ... (æ æ −x);

19 множників

2)    5bæ æ5b 5b;           4) (a b+ )æ(a b+ ) ... (æ æ a b+ ).

d множ ників

162.° Користуючись означенням степеня, подайте у вигляді добутку степінь:

2

1)   11⁶;             3)                         ;               5) (–3,6)⁷;

2)   0,1⁴;           4) (5c)³;                 6) (a + b)⁵.

163.° Користуючись означенням степеня, подайте у вигляді добутку степінь:

4

        1) 3⁷;                         2) ^{2 1}      ;                   3) (c + d)³;                4) (a – b)².

7

164.° Чому дорівнює значення виразу:

1)   0,6²;                  3) (–9)²;                 5) (–1)¹²;

2 2

2)   0⁶;     4) 1¹²;     6)            ?

3

165.° Знайдіть значення виразу:

3 4

1)   8³;  3) (–1,9)²;             5)            ;               7) (–0,01)³;

4

^{1 35}

2)   1,5³;               4)            ;               6) (–0,6)³;              8)            ¹.

9

166.° Виконайте піднесення до степеня:

6

1)   7²;               3) 1,2²;   5) (–0,8)³;              7)                         ;

43

2)   0,5³;           4) (–1)⁷; 6)          ;               8)            3           .

167.° Заповніть таблицю:

a	2	–2	10	–10	0,1	–0,1		−
a2
a3
a4

168.° Заповніть таблицю:

a	–6	6	–0,4	0,4	3	0,03		–1	0
10a2
(10a)2

169.° Площа Кримського півострова — найбільшого півострова України — дорівнює 2,55æ10 ⁴ км². Виразіть цю площу натуральним числом у квадратних кілометрах.

170.° Відстань від Землі до Сонця дорівнює 1,495æ10¹¹ м. Виразіть цю відстань натуральним числом у метрах.

171.° Площа материків і островів Землі становить 1,49æ10 ⁸ км², а площа океанів — 3,61æ10 ⁸ км². Виразіть ці площі натуральними числами у квадратних кілометрах.

172.° Обчисліть:
1) 82 – 110;	3) (4,2 −3,8)4æ252;
2) 0,3æ24; 173.° Обчисліть:	4) (63 : 200 – 0,42) : 0,23.

         1) 4³ + 3⁵;                           2) 0,6³ – 0,4³;                   3) 0,12æ5⁴.

174.° Знайдіть значення виразу:

1)   x² – x³, якщо x = 0,1;

2)   15a², якщо a = 0,4;

3)   (x – y)⁵, якщо x = 0,8, y = 0,6;

4)   a²b³, якщо a = 0,6, b = 0,5;

5)   (x² – y²) : (x – y), якщо x = 5, y = 3;

6)   (x² – y²) : x – y, якщо x = 5, y = 3;

7)   x² – y² : (x – y), якщо x = 5, y = 3; 8) x² – y² : x – y, якщо x = 5, y = 3.

175.° Знайдіть значення виразу: 1) 16 – c³, якщо c = 2;

2) (16x)⁶, якщо x = 0,125; 3) a³b², якщо a = 10, b = 0,1; 4) 4a⁴ – a, якщо a = 3.

176.° Не виконуючи обчислення, порівняйте:

1)   (–5,8)² і 0;                 4) –8⁸ і (–8)⁸;

2)   0 і (–3,7)³;                 5) (–17)⁶ і 17⁶; 3) (–12)⁷ і (–6)⁴;       6) (–34)⁵ і (–39)⁵.

177.° Не виконуючи обчислення, порівняйте: 1) 0 і (–1,9)¹⁰;                3) (–0,1)¹² і (–12)²⁵;

99

         2) 0 і (–76)¹⁵;                                           4)         4  і          5   .

178.° Порівняйте з нулем значення виразів: 2¹⁰⁰; (–2)¹⁰⁰; –2¹⁰⁰; –(–2)¹⁰⁰. Чи є серед цих виразів такі, що набувають рівних значень?

179.° Порівняйте з нулем значення виразів: 5¹⁰¹; –5¹⁰¹; (–5)¹⁰¹; –(–5)¹⁰¹. Чи є серед цих виразів такі, що набувають рівних значень?

180.° Чи є правильною рівність:

1)   3² + 4² = 7²;

2)   5² + 12² = 13²;

3)   1² + 3² + 5² + 7² + 9² = 13²; 4) (1 + 2 + 3)² = 1³ + 2³ + 3³?

181.° Доведіть, що 1² + 2² + 4² + 6² + 8² = 11².

182.^• Розташуйте в порядку зростання значення виразів:

          1) 0,3; 0,3²; 0,3³;                                         2) –0,4; (–0,4)²; (–0,4)³.

183.^• Порівняйте з нулем значення виразу:

1) (−4)⁷ æ(−12)⁹;   2) (−5)⁶æ(−17)¹¹;   3) (−14)⁴æ(−25)¹⁴;   4) (−7)⁹æ0⁶.

184.^• Порівняйте з нулем значення виразу:

                   1) (−2)¹⁴æ(−3)¹⁵æ(−4)¹⁶;                         2) (−5)¹⁷ æ(−6)¹⁸æ(−7)¹⁹.

185.^• Запишіть:

1)   числа 16; 64; 256 у вигляді степеня з основою 4;

2)   числа 0,09; 0,027; 0,00243 у вигляді степеня з основою 0,3.

186.^• Подайте число: 1) 10 000; 2) –32; 3) 0,125; 4) –0,00001; 5) − у вигляді степеня з показником, більшим за 1, і з найменшою за модулем основою.

187.^• Складіть числовий вираз і знайдіть його значення:

1)   квадрат різниці чисел 7 і 5;

2)   різниця квадратів чисел 7 і 5; 3) куб суми чисел 4 і 3;

4) сума кубів чисел 4 і 3.

188.^• Складіть числовий вираз і знайдіть його значення:

1)   сума куба числа 5 і квадрата числа 8;

2)   куб різниці чисел 9 і 8; 3) сума квадратів чисел 2,5 і 0,25; 4) квадрат суми чисел 7,8 і 8,2.

189.^• Скільки в 1 км міститься:

                    1) метрів;                          2) сантиметрів;                 3) міліметрів?

Відповідь запишіть у вигляді степеня числа 10.

190.^• Яке число треба підставити замість зірочки, щоб утворилася правильна рівність:

1)   1 га = 10^* а;             3) 1 а = 10^* м²;

2)   1 га = 10^* м²;           4) 1 га = 10^* см²?

191.^• Швидкість світла у вакуумі дорівнює 300 000 км/с.

1)    Запишіть цю величину, використовуючи степінь числа 10.

2)    Виразіть швидкість світла в метрах за секунду; запишіть результат, використовуючи степінь числа 10.

192.^• Скільки в 1 м² міститься: 1) квадратних дециметрів;

2) квадратних сантиметрів; 3) квадратних міліметрів?

Відповідь запишіть у вигляді степеня числа 10.

193.^• Які із чисел –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 є коренями рівняння:

1)   x⁴ = 16;     3) x² + x = 2;

2)   x⁵ = –243;                 4) x³ + x² = 6x?

194.^• При якому значенні x дорівнює нулю значення виразу:

         1) (2x – 3)²;                      2) (x + 4)⁴;                          3) (6x – 1)⁵?

195.^• Розв’яжіть рівняння:

         1) x¹⁰ = –1;                                                  2) (x – 5)⁴ = –16.

196.^• При яких натуральних значеннях n є правильною нерівність 8 < 3ⁿ < 85?

197.^• При яких натуральних значеннях m є правильною нерівність 0,07 < 0,4^m < 0,5?

198.^•• Доведіть, що вираз x² + (x – 1)² набуває лише додатних значень.

199.^•• Доведіть, що вираз (x + 1)² + | x | набуває лише додатних значень.

200.^•• Доведіть, що не має додатних коренів рівняння:

           1) 2x² + 5x + 2 = 0;                                              2) x⁴ + 3x³ + 4x² + 3x + 1 = 0.

201.^•• Доведіть, що не має від’ємних коренів рівняння:

             1) x⁴ – 5x³ + 6x² – 7x + 5 = 0;                   2) x⁸ + x⁴ + 1 = x⁷ + x³ + x.

202.^•• При яких значеннях x і y є правильною рівність:

         1) x² + y² = 0;                                                2) (x – 1)⁴ + (y + 2)⁶ = 0?

203.^•• При яких значеннях x і y є правильною рівність x⁸ + (y – 3)² = 0?

204.^•• При якому значенні змінної набуває найменшого значення вираз:

         1) x² + 7;                                                        2) (x – 1)⁴ + 16?

205.^•• При якому значенні змінної набуває найбільшого значення вираз:

         1) 10 – x²;                                                      2) 24 – (x + 3)⁶?

206.^•• Доведіть, що значення виразу:

1)    101¹⁰¹ + 103¹⁰³ ділиться націло на 2;

2)    16⁷ + 15⁸ – 11⁹ ділиться націло на 10;

3)    10¹⁰ – 7 ділиться націло на 3;

4)    6ⁿ – 1 ділиться націло на 5 при будь-якому натуральному значенні n.

207.^•• Доведіть, що значення виразу:

1)    10¹⁰⁰ + 8 ділиться націло на 9;

2)    111ⁿ – 6 ділиться націло на 5 при будь-якому натуральному значенні n.

208.     Обчисліть значення виразу

                 3æ1,3 7,2æ             9,1: 3,5 : .

209.     Для кафе потрібно придбати 20 нових стільців у одного з трьох постачальників. Ціни стільців та умови доставки покупки наведено в таблиці.

Постачальник	Ціна  одного  стільця, грн	Вартість  доставки, грн	Додаткові умови
А	1200	2250	Відсутні
Б	1100	2500	Доставка безкоштовна, якщо сума замовлення перевищує 30 000 грн
В	1400	2000	Доставка безкоштовна, якщо сума замовлення перевищує 25 000 грн

Скільки гривень треба заплатити за найдешевший варіант покупки з доставкою?

210.     До зливку сплаву масою 400 кг, що містить 15 % міді, додали 25 кг міді. Яким став відсотковий вміст міді в новому зливку?

211.     В одному мішку було 80 кг цукру, а в другому — 60 кг. З першого мішка взяли в 3 рази більше цукру, ніж із другого, після чого в другому мішку залишилося цукру у 2 рази більше, ніж у першому. Скільки кілограмів цукру взяли з кож- ного мішка?

212.     Розв’яжіть рівняння:

1)    9 (2x – 1) – 5 (11 – x) = 3 (x + 4);   2) 5x – 26 = 12x – 7 (x – 4).

213.     Відомо, що одне із чисел a, b і c додатне, друге — від’ємне, а третє дорівнює нулю, причому | a | = b² (b – c). Установіть, яке із чисел є додатним, яке від’ємним і яке дорівнює нулю.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

214.     Порівняйте значення виразів:

                                                                                                      4              ³12

1)    2²æ2³ і 2⁵;   4)                          і           ;

2) 42æ41 і 43;	5) 53æ23 і (5æ2)3;
3) (33)2 і 36;	6) (0,25æ4)2 і 0,25æ42.

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

215. У деякому місті від будь-якої станції метро можна доїхати до будь-якої іншої станції (можливо, з пересадками). Доведіть, що існує станція, яку можна закрити (без права проїзду через неї), і при цьому від будь-якої станції з тих, що залишилися, можна буде доїхати до будь-якої іншої.

 6.          Властивості степеня з натуральним показником

Розглянемо добуток двох степенів з однаковими основами, наприклад a²a⁵. Цей вираз можна подати у вигляді степеня з основою a: a ²a ⁵ = (aa)æ(aaaaa) = aaaaaaa = a⁷.

        Отже, a ²a ⁵        a ^{2    5}.

Аналогічно легко переконатися в тому, що, наприклад, a³æa² = = a3+2 = a5, aæa 9 a1 9 a10.

Простежується закономірність: a^maⁿ a^{m n}, де m і n — довільні натуральні числа.

Проте жодна кількість конкретних прикладів не може гарантувати, що наведена рівність є правильною для будь-яких натуральних чисел m і n. Істинність її можна встановити тільки шляхом доведення.

У математиці твердження, справедливість якого встановлено за допомогою доведення, називають теоремою.

Теорема 6.1. Для будь-якого числа a та будь-яких натуральних чисел m і n є справедливою рівність aman am n.

Доведення. Для m > 1 і n > 1 маємо:

                       a^maⁿ          (aaæ...æa) (aaæ...æa)        aaæ...æa         a^{m n}.

m   множ ник ів              n множ ник ів (m n) множ ник ів

Оскільки не прийнято розглядати добуток, що складається з одного множника, то для повноти доведення слід окремо розглянути випадки: m = 1 і n > 1; m > 1 і n = 1; m = n = 1. Так, якщо m = 1 і n > 1, то

                                aæaⁿ        aæ(aaæ...æa)       aaæ...æa        a^{n 1}.

n    множ ник ів              (n 1) множ ник ів

Випадки, коли m > 1 і n = 1 або коли m = n = 1, розгляньте самостійно. p

                     Тотожність a^maⁿ                    a^{m n} виражає основну властивість степеня.

Аналогічна властивість має місце й для добутку трьох і більше степенів. Наприклад,

                              32æ33æ37        (32æ33)æ37        32    3æ37        3(2    3)    7        32    3    7        312.

Отже,перемножуючи степені з однаковими основами, показники додають, а основу залишають тією самою.

Розглянемо вираз a⁹ : a⁴, де a ≠ 0. Він є часткою двох степенів з однаковими основами. Оскільки a ⁴æa ⁵ = a ⁹, то за означенням частки можна записати a⁹ : a⁴ = a⁵, тобто a⁹ : a⁴ = a ^{9 – 4}. Цей приклад підказує, що має місце така теорема.

Теорема 6.2. Для будь-якого числа a, відмінного від нуля, і будь-яких натуральних чисел m і n таких, що m > n,є справедливою рівність

am : an =am – n.

Доведення. Розглянемо добуток степенів aⁿ і a^{m – n}. Використовуючи основну властивість степеня, маємо:

                                                    anæam n              an (m n)               an m n            am.

Тоді за означенням частки:

am : an = am – n. p Із цієї теореми випливає таке правило:

при діленні степенів з однаковими основами від показника

степеня діленого віднімають показник степеня дільника, а основу залишають тією самою.

Розглянемо вираз (a³)⁴. Він є степенем з основою a³ і показником 4. Тому

                                              (a 3)4      a 3a 3a 3a 3      a 3    3    3    3       a 3æ4        a12.

Цей приклад підказує, що має місце така теорема.

Теорема 6.3. Для будь-якого числа a та будь-яких натуральних чисел m і n є справедливою рівність

(am)n =amn.

Доведення. Очевидно, що для n = 1 рівність, яку треба довести, є пра вильною. Для n > 1 маємо:

n доданк ів

                                           (am)n          amamæ...æam              am m ... m               amn^.p

n множ ник ів

Із цієї теореми випливає таке правило:

при піднесенні степеня до степеня показники перемножують, а основу залишають тією самою.

Наприклад, (3⁷ )² = 3^7æ2 =3¹⁴, (x ^k)³ = x ^kæ3 = x ^3k.

Покажемо, як можна перетворити степінь добутку, наприклад вираз (ab)³:

(ab)³ = (ab)æ(ab)æ(ab) = (aaa)æ(bbb) = a ³b³.

У загальному випадку має місце така теорема.

Теорема 6.4. Для будь-яких чисел a і b та будь-якого натурального числа n є справедливою рівність

(ab)ⁿ =aⁿbⁿ.

Доведення. Очевидно, що для n = 1 рівність, яку треба довести, є правильною. Для n > 1 маємо:

(ab)ⁿ = (ab)æ(ab)æ...æ(ab) = (aaæ...æa) ( bbæ...æb) = aⁿbⁿ. p

                                       n множ ник ів                         n множ ник ів         n множ ник ів

Аналогічна властивість має місце й для добутку трьох або більше множників. Наприклад, (abc)ⁿ = ((ab)æc)ⁿ = (ab)ⁿæcⁿ = aⁿbⁿcⁿ.

Отже, при піднесенні добутку до степеня кожний множник підносять до степеня й отримані результати перемножують.

ПРИКЛАД  1  Спростіть вираз: 1) (a ⁵)²æ(a ⁶)⁷;   2) (–a⁴)⁹;   3) (–a⁴)⁸.

Розв’язання. 1) Застосувавши послідовно правило піднесення степеня до степеня та правило множення степенів з однаковою основою, отримаємо:

(a 5)2æ(a 6)7 = a10æa 42 = a 52.

2)    Оскільки a ⁴ 1æa ⁴, то, застосувавши правило піднесення добутку до степеня, отримаємо:

(–a⁴)⁹ = (–1æa⁴)⁹ = (–1)⁹æ(a⁴)⁹ = –1æa³⁶ = –a³⁶.

3)    Маємо: ( a ⁴)⁸           ( 1æa ⁴)⁸ ( 1)⁸æ(a ⁴)⁸                   1æa ³²       a ³². ¤

ПРИКЛАД  2  Подайте у вигляді степеня вираз 216a³b⁶. Розв’язання. Маємо: 216a³b⁶ = 6³æa ³æ(b²)³ = (6ab²)³. ¤

                                                                                                     7               9

ПРИКЛАД  3  Знайдіть значення виразу 1¹ æ ³                            .

                                                                                                 3         4

                                              7              9                7              7                          27                          2                2

            Розв’язання. 1¹ æ ^{3                           4} æ ³ æ ³æ³ æ ^{3                    3          9} . _¤

                                          3        4          3         4                44                4          4        16

ПРИКЛАД  4  Порівняйте значення виразів:

1)   (–11)¹⁴æ(–11)³  і  (–11)¹⁶;      3) 5³⁰  і  9²⁰;

2)   (–12)¹⁹  і  (–12)¹⁵;    4) 16³  і  65².

                          Розв’язання. 1) Маємо: ( 11)¹⁴æ( 11)³                         ( 11)¹⁷ . Зазначимо, що

(–11)¹⁷ < 0. Разом з тим (–11)¹⁶ > 0.

                      Отже, ( 11)¹⁴æ( 11)³              ( 11)¹⁶.

2)                       Оскільки | (–12)¹⁹ | > | (–12)¹⁵ |, а числа, які треба порівняти, від’ємні, то (–12)¹⁹ < (–12)¹⁵.

3)                       Оскільки 5³⁰ = (5³)¹⁰ = 125¹⁰ і 9²⁰ = (9²)¹⁰ = 81¹⁰, то 5³⁰ > 9²⁰.

4)                       Маємо: 16³ = (4²)³ = (4³)² = 64². Отже, 16³ < 65². ¤

ПРИКЛАД  5  Якою цифрою закінчується значення виразу 2¹⁰⁰?

Розв’язання. Маємо: 2¹⁰⁰ = (2⁴)²⁵ = 16²⁵. Оскільки 6æ6 = 36, то добуток будь-яких чисел, що закінчуються на 6, є числом, остання цифра якого 6.

Тому коли число закінчується цифрою 6, то будь-який його степінь закінчується цифрою 6.

216.° Подайте у вигляді степеня добуток:
1) m5m4;                        5) y3y5y9;	9) x4xx11x2;
2) xx7;                            6) c8c9c;	10) (ab)5æ(ab)15;
3) a3a3;                             7) (b – c)10 (b – c)6;	11) (2x +3y)6æ(2x +3y)14;
4) 6 8æ63;                      8) 112æ114æ116; 217.° Подайте у вигляді степеня вираз:	12) (−xy)2æ(−xy)7 æ(−xy)9.
1) a5a8;                           3) a9a;	5) (m +n)13æ(m +n);
2) a2a2;                           4) aa2a3;	6) (cd)8æ(cd)18æ(cd).

218.° Замініть зірочку таким степенем з основою a, щоб виконувалася рівність:

                  1) a ⁶æ* = a¹⁴;             2) *æa ⁶ = a⁷;                     3) a¹⁰æ*æa ² = a¹⁸.

219.° Подайте вираз a¹² у вигляді добутку двох степенів з основами a, один з яких дорівнює:

        1) a⁶;               2) a⁴;                     3) a³;                     4) a⁵;                   5) a.

220.° Подайте у вигляді степеня частку:

1) a¹² : a³;       3) c⁷ : c⁶; 2) b⁶ : b;               4) (a + b)⁸ : (a + b)⁴.

221.° Знайдіть значення виразу:

1)   7⁷ : 7⁵;        3) 0,6⁹ : 0,6⁶;

53

2)   10¹⁸ : 10¹⁴;                 4)            1           :               1           .

222.° Виконайте ділення:

         1) m¹⁰ : m²;                        2) x⁵ : x⁴;                             3) y¹⁸ : y⁶.

223.° Подайте у вигляді степеня з основою m вираз:

        1) (m⁵)³;                2) (m³)⁴;                   3) ((m²)⁴)⁶;              4) (m ⁷ )²æ(m ⁴)⁹.

224.° Подайте у вигляді степеня з основою n вираз:

        1) (n²)⁸;                 2) (n⁹)⁵;                    3) ((n³)²)¹⁰;              4) (n ¹²)⁴æ(n ²¹)².

225.° Подайте степінь у вигляді добутку степенів:

1)   (ab)⁶;          3) (3c)⁷; 5) (–0,2cd)⁴;

9

2)   (mnp)⁵;      4) (–8xy)³;             6) kt     .

226.° Подайте степінь у вигляді добутку степенів:

        1) (ax)²;                2) (xyz)¹²;                3) (7m)⁸;                  4) (–0,3bc)¹¹.

227.° Спростіть вираз:

1) −xæx ²; 3) −xæ(−x)²; 2) (−x)²æx ; 4) (−x)æ(−x)²æ(−x).

228.° Спростіть вираз:

1)     (−a)²æa ³;                3) a ²æ(−a)³;

2)     −a ²æa ³; 4) −a ²æ(−a)³.

229.° Спростіть вираз:

        1) (–a⁵)²;                           2) (–a³)³;                            3) (−a ⁴)⁷ æ(−a ²)⁶.

230.° Спростіть вираз:

        1) ((–a⁶)⁵)⁹;                       2) ((–a¹¹)²)³.

231.° Подайте у вигляді степеня вираз:

1)   a³b³;           3) 9m²n²;                5) − ²⁷ c³d ³;

343

2)   –m⁷;            4) 64x³y³;               6) 0,0001k⁴p⁴.

232.° Подайте у вигляді степеня вираз:

1)   x¹²y¹²;         3) 32p⁵q⁵;

2)   –125m³n³; 4) 1 000 000 000a⁹b⁹c⁹.

233.° Подайте вираз у вигляді степеня та обчисліть його значення (у разі потреби скористайтеся таблицею степенів чисел 2 і 3, розміщеною на форзаці підручника):

9

1)    2³æ2⁴;       3) 0,2æ0,2²æ0,2³; 5) 2¹² : 2⁸;            7)  æ9⁹;

2)    (3²)³;          4) 0,5¹²æ2¹²;         6) (3⁴)⁵ : 3¹⁹;          8) 2,5⁵æ40⁵.

234.° Подайте вираз у вигляді степеня та обчисліть його значення (у разі потреби скористайтеся таблицею степенів чисел 2 і 3, розміщеною на форзаці підручника):

9

1)    2²æ2³;       3) 3²æ3æ3³;          5) 7 ⁹æ              ;

2)    (2²)³;          4) 0,3⁸ : 0,3⁵;         6) 12,5³æ8³.

235.° Знайдіть помилки у наведених прикладах:

1)    a⁴a³ = a¹²;                4) 3²æ5² =15⁴;      7) 3æ4³ =12³;

2)    aæa =2a; 5) 2²æ7 ³ =14⁵;     8) a⁷b⁷ = (ab)¹⁴;

3)    (a³)² = a⁹;                 6) (2a)⁴ = 8a⁴;      9) a³b² = (ab)⁶.

236.° Замість зірочки запишіть такий вираз, щоб виконувалася рівність:

1) (*)⁴ = c²⁰;   2) (*)² = c¹⁴;         3) (*)ⁿ = c⁸ⁿ;         4) (*)⁷ = c⁷ⁿ, де n — натуральне число.

237.^• Подайте степінь a⁷ у вигляді добутку двох степенів з основою a всіма можливими способами.

238.^• Подайте у вигляді степеня вираз:

1) aⁿa⁵; 2) aaⁿ; 3) a³aⁿ; 4) (a³)ⁿ; 5) (aⁿ)²æ(a⁵)ⁿ, де n — натуральне число.

239.^• Подайте у вигляді степеня вираз:

1) 2⁴æ2⁴;         2) 2⁴ + 2⁴;              3) 2ⁿæ2ⁿ;               4) 2ⁿ + 2ⁿ, де n — натуральне число.

240.^• Подайте у вигляді степеня вираз:

                     1) 3⁵ + 3⁵ + 3⁵;                    2) 4^k + 4^k + 4^k + 4^k, де k — натуральне число.

241.^• Доведіть, що коли сторону квадрата збільшити в n разів, то його площа збільшиться в n² разів.

242.^• У скільки разів збільшиться об’єм куба, якщо його ребро збільшити в m разів?

243.^• Запишіть у вигляді степеня з показником 2 вираз:

1) a2b6;            2) x8y14; 3) x4y10z18;             4) 4m12n16;             5) 81c10d32p44. 244.^• Запишіть у вигляді степеня з показником 3 вираз:

                   1) a³b⁶;                       2) x⁹y¹⁵;                      3) 8x¹²y¹⁸z²⁴;             4) 0,001m³⁰n⁴⁵.

245.^• Подайте у вигляді степеня з основою 5 вираз:

                   1) 125⁶;                              2) (25⁴)².

246.^• Подайте у вигляді степеня з основою –5 вираз:

        1) 625⁵;                              2) ((–25)²)³.

247.^• Подайте у вигляді степеня з основою 2 вираз:

1)    8 ⁹æ4⁵;         2) 32æ16⁶æ64³.

248.^• Знайдіть значення виразу:

⁴)⁴ : (6⁵)³; 3) 7(714₃æ₎6(7_æ2₇)23 ; 5) 328 æ17₇ 8 ; 1) (6