Лекція:Логарифм і його властивості. Логарифмічна функція, її графік та властивості. Методи розв'язування логарифмічних рівнянь та нерівностей

 

План

1.   Цікаві факти.

2.   Логарифм і його властивості.

3.   Логарифмічна функції, її властивості та графік.

4.   Поняття логарифмічного рівняння. Найпростіші логарифмічні рівняння.

5.   Методи розв’язування логарифмічних рівнянь:

a)   за означенням логарифма;

b)  використання властивостей логарифмічної функції;

c)   підстановка (введення нової змінної);

d)  потенціювання;

e)   логарифмування;

f)    зведення до одної основи;

g)  використання основної логарифмічної тотожності;

h)  графічний метод.

6.   Поняття логарифмічної нерівності. Методи розв’язування логарифмічних нерівностей.

Література

1.   Алгебра. 11 клас: підруч. для загальноосвіт. навчальн. закладів: академ.

рівень, проф. рівень / А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський, В.Б. Полонський, М.С.

Якір. – Х.: Гімназія, 2011. – с. 181-224.

2.   Математика. Комплексна підготовка до ЗНО і ДПА / Уклад. А.М.

Капіносов [та ін.]. – Тернопіль: Підручники і посібники 2017. – с. 165-184.  

 

Мотивація навчальної діяльності

Сьогодні на занятті ти розглянеш такі речі (Скористайся презентацією для вивчення нової теми!!!):

-      Воронка, яка утворюється водою;

-      Смерч;

-      Космічні вихори туманностей і галактик;

-      Витки раковини слимака;  Насіння в квітці соняшнику;   Витки павутини.

Я розумію твоє здивування. Виникають запитання:

-      Що об’єднує ці малюнки?

-      Чому вони присутні у нас на занятті?

-      Як їх можна пов’язати з темами, що ми вивчаємо, і з математикою взагалі?

Дати відповідь на ці запитання тобі допоможе вивчення нової теми:

«Логарифмічна функція». 

Я сподіваюся, що це заняття для тебе буде цікавим. Дуже хочу, щоб ті, хто ще байдужий до цариці всіх наук, після вивчення даного заняття був  переконаним:

Математика - цікавий і дуже потрібний предмет.

Алгебру називають теорією розв’язування рівнянь. На сьогоднішньому занятті  буде  введено нове поняття – логарифм числа, яке допоможе розв’язувати задачі, що передбачають використання властивостей логарифмів. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Цікаві факти

Логарифмічна спіраль - крива «з твердим характером». Вона не змінює своєї природи при багатьох перетвореннях (стиснення, розтяг, повернути на певний кут), до яких чутливі інші криві. 

Протягом XVI ст. значно зросла кількість наближених обчислень, що було зумовлено розв’язуванням прикладних задач (особливо в астрономії). Найбільше труднощів виникало під час ділення і множення багатоцифрових чисел. 

Саме в цей час і з’явилися логарифми, адже давали змогу зводити множення і ділення чисел до, відповідно, додавання і віднімання логарифмів. Широкого застосування логарифми набули після того, як, незалежно одним від одного, математиками Джоном Непером (1550-1617) і Йостом Бюргі (1552-1632) було складено логарифмічні таблиці.

Шотландський математик Джон Непер у працях, виданих у 1614 і 1619 р., склав таблиці логарифмів синусів, косинусів і тангенсів кутів від 0° до 90° з кроком в одну мінуту, що було дуже цінним для астрономів. Швейцарський математик Йост Бюргі свої таблиці готував, скоріше за все, ще до 1610 року, але вийшли вони друком лише в 1620 р., а тому не набули популярності.

Перші таблиці десяткових логарифмів у 1617 р. видав англійський математик Генрі Брігс (1561-1630), а натуральних логарифмів у 1619 р. - інший англійський математик Джон Спейдель (1607-1647).

Сучасне означення логарифма сформулював видатний математик, фізик, механік і астроном Леопард Ейлер (1707-1783). Він також увів поняття основи логарифма, позначення log і числа е.

У 1623 р. англійський математик Ентоні Гантер (1581-1626) винайшов логарифмічну лінійку, яка потім неодноразово удосконалювалася і до 70-х років XX ст. була чи не єдиним обчислювальним засобом для інженерів і старшокласників. Тільки після поширення мікрокалькуляторів та інших сучасних засобів обчислення логарифмічні лінійки та таблиці перестали бути засобами обчислення та посіли своє законне місце в музеях математики.

Властивості логарифмічної спіралі так глибоко вразили швейцарського математика Якоба Бернуллі, що він наказав висікти її на своїй могильній плиті, супроводжуючи зображення латинської фразою «Eadem mutata resurgo» -

«Измененная, я вновь воскрешаюсь». 

 

2. Логарифм і його властивості

Логарифмом додатного числа b з основою a (де  a0, a1) називають показник степеня, до якого потрібно піднести число a, щоб отримати число b. 

Слово «логарифм» у математичних записах замінюють символом log .

Логарифм числа b за основою  a  позначається:  log_a b.

Наприклад:   log₃ 9 - це показник степеня, до якого потрібно піднести число 3, щоб отримати число 9. Маємо: log₃ 9  2 оскільки 3²  9^. 

 

У математиці широко використовують десяткові логарифми, це логарифми за основою 10. Для запису таких логарифмів застосовують символ lg ,замість log₁₀ b пишуть lgb . Тобто: log₁₀ b lg^b_.

           Наприклад:  lg100  2 ; lg1000  3; lg0,01 2.

 В математичних дослідженнях використовують логарифми за основою, вираженою ірраціональним числом, наближене значення якого дорівнює  2,718. Леонард Ейлер запропонував позначити це число літерою е. Його називають неперовим числом на честь шотландського математика Джона Непера (1550-1617).  Логарифми з основою е називають натуральними, або неперовими, і позначають lnb . Тут основу е не пишуть, а лише мають на увазі. Отже, log_e b lnb.

           Наприклад: lne1^; ln1  0^; ln 2  0,693.

          Натуральний логарифм приблизно в 2,3 рази більший за десятковий логарифм того самого числа.

Основна логарифмічна тотожність:

Розглянемо показникову рівність a^х b. За означенням логарифма, х log_a b.  Підставимо цей вираз у показникову рівність. Дістанемо: 

alog_a b b.

Ця рівність називається основна логарифмічна тотожність.Вона є коротким записом означення логарифма.

Наприклад: 

 

Операцію знаходження логарифмів чисел називають логарифмуванням. Операція логарифмування обернена операції піднесення до степеня при фіксованій основі. 

        Широкі застосування логарифмів ґрунтуються на їхніх властивостях. Властивості логарифмів До основних властивостей логарифмів належать:

1.    log_a1 0 .

2.    log_a a1.

3.    Логарифм добутку двох додатних чисел дорівнює сумі  логарифмів цих чисел, тобто:

log_aх у log_a х log_a у,х  0, y  0,a  0,a 1.

4.    Логарифм частки двох додатних чисел дорівнює різниці  логарифмів цих чисел, тобто:

x

log_a  log_a xlog_a y y       

5.    Логарифм   степеня       додатного   числа          дорівнює    показнику   степеня, помноженому на логарифм основи цього степеня, тобто:

loga xloga x .

1

6.    loga x loga x .



1

7.    log_a b^      .

log_b a

8.    Перехід від однієї основи логарифма до іншої: log^c b log_a b .

log_c a

Основні властивості логарифмів широко використовуються під час перетворення виразів, що містять логарифми.

Наприклад:

Є приклад, ти аналізуєш, яку формулу потрібно використати.

1)      log₇ 1 0.

2)      log₁₁111 3) lg10 1.

4)      log₆ 3 log₆ 2  log₆ 32  log₆ 6 1.

5)      log₅100log₅ 4  log₅^¹⁰⁰4 ^_  log₅ 25  log₅ 5²  21 2.

                                                                                          1                 2         2

6)      log 8 2  log 12 2  log 23 2   log2 2  3 1 3.

                                              8                        2

7)        log₂ 32  log₂ 2⁵  51 5^.

8)      loglog55644  log4 64  log4 43  31 3.

 

 

3. Логарифмічна функції, її властивості та графік

Означення. Логарифмічною функцією називається функція виду у =                      де а    0, а    1.

1. Графік логарифмічної функції

Функції  у = ах  та  у =   (а  0, а  1)  – взаємно обернені функції, тому їх графіки симетричні відносно прямої   у = х.

2. Властивості логарифмічної функції

1.     Область визначення: х          0. 2.     Область значень: у     3.     Парність: функція ні парна, ні непарна. 4.     Нулі фунуції: х=1. 5.     Проміжки монотонності: якщо a1, то функція є зростаючою; якщо 0a1, то функція є спадною. 6.     Проміжки знакосталості:                                       а  1                                       0 а  1 у =                  0 при х           1,  у =             0 при 0     х      1             у =    0 при 0 х  1,                    у =    0 при х  1 7.     Найбільшого і найменшого значень  функція не має. 8.     Неперервна. 9.     Асимптоти: пряма х=0 – вертикальна асимптота, коли х прямує до нуля справа.

 

4. Поняття логарифмічного рівняння. Найпростіші логарифмічні рівняння

Логарифмічними  рівняннями називаються рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. 

Наприклад: Які їх даних рівнянь є логарифмічним?

 

Найпростіші логарифмічні рівняння мають вигляд:

1.         log_axb ,де , а  0,а1,х 0. За означенням  х а^в .

2.         log_ax log_ab,де а 0,а 1, x  0, b  0xb.

1

3.         log_xa  b,де а  0,x 1, x  0, x^b  a,звідси x  a^b.

Розв’язати логарифмічне рівняння – це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має. 

Наприклад: Розв’язати рівняння.

1)        log₃(2x1)  2  

Розв’язання:

2х+1=3²; 2х+1=9; 2х=8; х=4.

Оскільки графіки функцій у=log₃(2x1) і у=2 перетинаються в одній точці, то рівняння має єдиний корінь.

Відповідь. 4.

2)        log₅(6x²)  log₅ x 

Розв’язання:

6-х²=х; х²+х-6=0; х=2; х=-3 – сторонній корінь.

Відповідь. 2.

3)        log_x1(2x² 1)  2

Розв’язання:

 (х+1)²=2х²+1; х²+2х+1-2х²-1=0; -х²+2х=0; х(-х+2)=0; х=0 – сторонній корінь; -х+2=0; х=2.

Відповідь. 2.

4)        log_x5 1 

Розв’язання:

х^-1=5; 1/х=5; х=1/5; х=0,2.

Відповідь. 0,2.

 

5.  Методи розв’язування логарифмічних рівнянь  

Ще раз згадаємо, що логарифмічними називаються рівняння, що містять невідому величину під знаком логарифма або його основі (або в обох місцях одночасно). Їх легко звести до квадратних чи степеневих рівнянь  відносно змінної, якщо знати властивості логарифма. 

Необхідно відзначити, що під час розв'язку логарифмічних рівнянь необхідно враховувати область допустимих значень (ОДЗ), оскільки під знаком логарифма можуть знаходитись тільки додатні величини, в основі логарифмів – додатні, відмінні від одиниці. Проте знаходження ОДЗ деколи може бути дуже громіздким і на практиці маємо можливість вибрати: шукати ОДЗ або зробити перевірку коренів у рівняння.

Отже, перейдемо до сприймання і усвідомлення різних методів розв'язування логарифмічних рівнянь.

a)за означенням логарифма

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння log₃ (2x + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо: 2х + 1 = 3²;  2х = 8;  х = 4. 

Перевірка: log₃(2 · 4 + 1) = log₃9 = 2. 

Відповідь: 4.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння log_х+1 (2х² + 1) = 2.

Розв'язання За означенням логарифма маємо: 

2х² + 1 = (х + 1)²;  2х² + 1 = х² + 2х + 1;  х² – 2х = 0;  х₁ = 0,  х₂ = 2.

Перевірка: 

1)   Значення х₁ = 0 не є коренем даного рівняння, оскільки основа логарифма х

+ 1 не повинна дорівнювати 1.

2)   log_х+1(2·2² + l) = log₃9 = 2.

Відповідь: 2.

Відзначимо, що в описаних прикладах використовуються тільки такі перетворення, які не приводять до втрати коренів, але можуть привести до одержання сторонніх коренів. Тому перевірка кожного із одержаних коренів обов'язкова, якщо немає впевненості в рівносильності рівнянь. 

b) використання властивостей логарифмічної функції Приклад 3. Розв'яжіть рівняння log₃x = log₃(6 – х²).

Розв'язання

Оскільки логарифми мають однакові основи, то значення під знаком

логарифма теж рівні. На основі цього дістанемо: х = 6 – х²;  х² + х – 6 = 0;  х₁ = -3, х₂ = 2.

Перевірка: 

1) Число -3 не є коренем даного рівняння, бо вираз log₃(-3) – не визначений;  2) log₃x = log₃2; log₃(6 – х²) = log₃(6 – 2²) = log₃2.

Відповідь: 2. 

с) підстановка (введення нової змінної)

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння log²₂ х – 3log₂ x = 4.

Розв'язання

Позначимо log₂ x  через у, тобто введемо заміну. Отримаємо:

у² – 3y = 4;           у² – 3у – 4 = 0;      у₁= 4;   у₂ = -1.

Звідси log₂ x = 4,  log₂ x =-1; 

      x = 2⁴;          x = 2^-1; 

      x = 16,           x =  .

Перевірка: 

1)  log²₂ 16 – 3 log₂ 16 = 16 – 12 = 4;

2)  log²₂ ¹ – 3 log₂ ¹ =  (-1)² + 3 = 4. 

                                2                   2

Відповідь: 16;  .

d) потенціювання

Потенціювання — це операція знаходження чисел чи виразів за заданим логарифмом числа (виразу).

Приклад 5. Розв'яжіть рівняння log₅(x – 1) + log₅(x – 2) = log₅(x + 2).

Розв'язання

Пропотенціюємо дану рівність і одержимо:

log₅((x – 1)(х – 2)) = log₅(x + 2);   (х – 1)(х – 2) = х + 2;   x² – 2х – х + 2 = х + 2;  x² – 4х = 0;   х(х – 4) = 0;           х ₁= 0 або х ₂= 4.

Перевірка: 

1)                     Значення х = 0 не є коренем рівняння, тому що вирази log₅(x – 1) і         log₅(x – 2) не мають сенсу при х = 0. 

2)                     log₅(x–1) + log₅(x–2) = log₅(4–1) + log₅(4–2) = log₅3 + log₅2 = log₅(2·3) = =log₅6.

log₅(x + 2) = log₅(4 + 2) = log₅6. 

Отже, х = 4 — корінь. 

Відповідь: 4.

е) логарифмування

Логарифмування — це операція знаходження логарифмів заданих чисел чи виразів.

Приклад 6. Розв'яжіть рівняння х ^{2-0,5 lg х}=100.

Розв'язання

Перепишемо праву частину у вигляді квадрату та прологарифмуємо за основою 10 обидві частини рівняння: lgх ^{2-0,5 lg х}=lg10²; (2-0,5 lgх) lgх=2.

Робимо заміну lgх=у, домножимо на 2 обидві частини та зводимо рівняння до квадратного, отримаємо: (4-у)у=4; 4у-у²=4; у²-4у+4=0.

Дискримінант такого рівняння приймає нульове значення, таке рівняння має два однакові корені у₁=у₂=2.  

Повертаємося до заміни, яку виконували вище: lgх=2; х=10²=100.

Перевірка: 100 2-0,5 lg 100=100 2- lg 10=100 2-1=100.

Відповідь: 100.

f) зведення до одної основи

Приклад 7. Розв'яжіть рівняння log₄₉ x²+ log₇(x–1)= log₇(3).

Розв'язання

Виконаємо деякі перетворення з доданками рівняння:

  

 

Логарифмічне рівняння спроститься до наступного:  

 

Оскільки логарифми мають однакові основи, то значення під знаком логарифма теж рівні. На основі цього дістанемо: .

Розписуємо та розв'язуємо за допомогою дискримінанту:

 

 

Перевірка: Другий корінь не може бути розв'язком, оскільки ніяке додатне число при піднесені до степені не дасть в результаті -1. Отже, x=2 – єдиний розв'язок рівняння.

Відповідь: 2.

g) використання основної логарифмічної тотожності

Приклад 8. Розв'яжіть рівняння  

Розв'язання

Використавши основну логарифмічну тотожність отримаємо: х²+5х-6=4х, х²+х-6=0. За теоремою Вієта: х₁=-3, х₂=2.

Перевірка: 1)  

2)  

Відповідь: -3; 2.

h) графічний метод

Приклад 9. Розв'яжіть рівняння lg x = 1 – х. Розв'язання

В одній і тій самій системі координат будуємо графіки функції у₁ = lg x  і    у₂ = 1 – х. Абсциса точки перетину побудованих графіків дорівнює 1. 

Отже, х = 1 — корінь даного рівняння.  

Відповідь: 1.

 

6. Поняття логарифмічної нерівності. Методи розв’язування логарифмічних нерівностей

Аналогічно до рівнянь нерівність називають логарифмічною, якщо змінна міститься під знаком логарифма.

Наприклад, логарифмічними є нерівності: log₅ x1; log₃(x1)  log₃ x 2 тощо.

Методи розв’язування логарифмічних рівнянь можна застосовувати до розв’язування логарифмічних нерівностей. 

Як правило, логарифмічна нерівність зводиться до нерівностей виду:         log_a f(x) > log_a g(x), де а > 0, а ≠ 1.

Якщо а > 1, то нерівність log_a f(x) > log_a g(x) рівносильна системі нерівностей: 

 f (x)  0,

^ g(x)  0,  ^f (x)  g(x).

Якщо 0 < а < 1, то нерівність log_a f(x) > log_a g(x) рівносильна системі

 f (x)  0,

нерівностей:  ^_ g(x)  0, ^f (x)  g(x).

Розглянемо приклади. 

Приклад 1. Розв'яжіть нерівність log₂ x < 3.

Розв'язання

Оскільки 3 = log₂2³ = log₂8, то запишемо дану нерівність у вигляді        

log₂ x < log₂8. Оскільки функція у = log₂x зростаюча при х > 0, то маємо: ^_^x8, _x 0; отже, 0 < х < 8.    

Відповідь: х _(0; 8). 

Приклад 2. Розв'яжіть нерівність logx2.

Розв'язання Запишемо дану нерівність у вигляді:

logx log9. Оскільки функція  у = logх спадна при х > 0, маємо: ^_^{x 9,}   _x 0;

отже, х _ 9.                                                                               

Відповідь: х _[9; + ).

Приклад 3. Розв'яжіть нерівність log₃ x < 4 – х графічно.

Розв'язання

Побудуємо графіки функцій у₁ = log₃ x і у₂= 4 – х в одній системі координат. Графіки перетинаються в точці А з абсцисою х = 3. 

Із рисунка видно, що множина розв'язків нерівності  log₃ x < 4 – х  є проміжок (0; 3]. 

Відповідь: (0; 3].

 

Домашнє завдання

Написати короткий конспект та вивчити теоретичний матеріал.