Застосування визначеного інтеграла

Інтегралдиференціалмежі інтегруваннякриволінійна трапеціяобласть інтегруванняпервісна

Тема: Застосування визначеного інтеграла.(11 клас, рівень стандарт)

№ 202 Знайдіть шлях, пройдений автобусом за час від початку гальмування (t=0) до повної його зупинки, якщо при гальмуванні швидкість автобуса змінювалась за законом v=20 - 4t, де v – швидкість , м/с; t – час, с. Розв’язання: 𝑣=20−4𝑡=0 ⇒𝑡=5, тому  𝑆=0520−4𝑡𝑑𝑡=20𝑡−2𝑡250=100−50==50 км. Відповідь: 50 км. 

Що називають первісною даної функції?12 Як називається рівність ав𝒇(𝒙)dx= F(в) – F(а) ? 33 Яка головна відмінність визначеного інтегралу від невизначеного?

{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}

«Світ, що нас оточує – це світ інтегрального і диференціального числення. Тож давайте його пізнавати».голландський вчений Х. Гюйгенс

І група «Економісти»

Задача 1. Відомо, що попит на деякий товар задається функцією p = 4 - q2, де q - кількість товару (у шт.), p - ціна одиниці товару, а рівновага на ринку даного товару досягається при p* = q* = 1. Визначите споживчого надлишку (𝑺𝑮). Розв’язання. 𝑺𝑮=𝟎𝒒∗𝒇𝒒𝒅𝒒−𝒑∗𝒒∗=𝟎𝟏𝟒−𝒒𝟐𝒅𝒒−𝟏∙𝟏=  =(𝟒𝒒−𝒒𝟑𝟑)𝟏𝟎−𝟏=𝟒−𝟏𝟑−𝟏=𝟐𝟐𝟑 (грн). Відповідь: споживчий надлишок дорівнює 𝟐𝟐𝟑 грн. 

ІІ група «Фінансисти»

Задача 2 На полі пшениці після приземлення космічного корабля залишився слід, який нагадує фігуру, обмежену лініями у = х2 – 2х та  у = 3. Необхідно визначити збитки, завдані агрокомплексом, якщо з 1 м2 отримують в середньому 3,8 кг пшениці, яка коштує 0,8 грн./кг. Розв’язання:𝑺=−𝟏𝟑𝟑−𝒙𝟐−𝟐𝒙𝒅𝒙=−𝟏𝟑𝟑−𝒙𝟐+𝟐𝒙𝒅𝒙==𝟑𝒙−𝒙𝟑𝟑+𝟐∙𝒙𝟐𝟐𝟑−𝟏==𝟑∙𝟑−𝟑𝟑𝟑+𝟐∙𝟑𝟐𝟐−𝟑∙−𝟏−−𝟏𝟑𝟑+𝟐∙−𝟏𝟐𝟐==𝟗−𝟗+𝟗−−𝟑+𝟏𝟑+𝟏=𝟗+𝟏𝟐𝟑=𝟏𝟎𝟐𝟑 (м𝟐)𝑩=𝟏𝟎𝟐𝟑∙𝟑,𝟖∙𝟎,𝟖=𝟑𝟐,𝟒𝟑 (грн.) 

ІІІ група «Фізики»

Задача 3. Квадратна пластина зі стороною а занурена у воду перпендикулярно її поверхні так, що верхня основа пластини знаходиться на поверхні. Знайдіть тиск води на пластину. Розв’язання. На маленьку ділянку площею d. S, розташовану на глибині х від поверхні, тисне струмінь води у вигляді циліндра з основою d. S та висотою х. Тиск dp буде при цьому дорівнювати pxd. S, де р ‒ густина води, pxd. S ‒ маса циліндра. Візьмемо смужку пластини шириною dx, що знаходиться на глибині х. Її площа d. S дорівнює adx. Звідси dp = pgaxdx. Дістанемо:𝑝=0𝑎𝜌𝑔𝑎𝑥𝑑𝑥=𝜌𝑔𝑎∙𝑥22𝑎0=𝜌𝑔𝑎32 Відповідь: 𝑝=𝜌𝑔𝑎32 

ІV група «Біологи та екологи»

Задача 4. Знайти площу пелюстка ромашки, який розміщено  між дугами парабол 𝑦=𝑥2 𝑦=𝑥Розв’язання. Дана фігура обмежена графіками двох функцій: 𝑦=𝑥2 𝑦=𝑥Шукана площа за допомогою інтеграла обчислюється так:𝑆=01𝑥0,5−𝑥2𝑑𝑥=2𝑥1,53−𝑥3310=23−13==13 (кв.од.) Відповідь. 13 кв. од. 

Задача 5. Широко застосовується інтегрування підчас обчислення розмноження популяції. Зокрема, відомо, що розмноження більшості бактерій описується такою експоненційною показниковою залежністю 𝑁=𝑁0𝑒𝑘𝑡, де N ‒ кількість бактерій у момент часу t, N0 ‒ початкова кількість бактерій, k ‒ константа швидкості розмноження бактерій, що визначається експериментальне, е ‒ основа натуральних логарифмів (е -2,71828...). І щоб дізнатись що трапиться з популяцією за певний час використовую інтегрування.𝑁=0𝑡𝑁0𝑒𝑘𝑡𝑑𝑡=𝑁0𝑒𝑘𝑡𝑡0=𝑁0(𝑒𝑘𝑡−1) 

V група «Енергетики»

Задача 6. Навантаження  на Криворізьку теплоелектростанцію задається функцією f(x) = 3x2 + 4x – 2. Визначити витрати електроенергії протягом доби. Розв’язання:0243𝑥2+4𝑥−2𝑑𝑥=𝑥3+2𝑥2−2𝑥240==13824+576−48=14343(к. Вт∙год) Відповідь: 14343 к. Вт·год. 

VI група «Хіміки»

Задача 7. Швидкість зміни концентрації речовини, що вступила в реакцію, виражається функцією v = 3t + 1, де t – час (с), v – швидкість (моль/см3). Як зміниться концентрація речовини за час t1=0 до t2 =5 c? Розв’язання. Задача розв’язується методом безпосереднього інтегрування. Оскільки v(t)=C`(t) ,то C(t) – концентрація речовини і первісна для v(t), тому𝑐5−0=053𝑡+1𝑑𝑡=(3𝑡22+𝑡)50=42,4 (мольм2) Відповідь. 42,5 моль/м3 

VІI група «Техніки»

Задача 8 Експериментально встановлено, що залежність витрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою Q = 18 – 0,3v + 0,003v2, де 30  v  110. Визначити середню витрату бензину при швидкості руху 50-60 км/год. Розв’язання. Середня витрата бензину становить 𝑚=5060(18−0,3𝑣+0,003𝑣2)𝑑𝑣60−50=18𝑣−0,3∙𝑣22−0,003106050==11018∙60−0,3∙1800+0,003∙7200−18∙50+0,3∙1250−0,003∙41667==1101080−540+216−900+375−125=10,6 (л) Отже, автомобіль на 100 км шляху, рухаючись зі швидкістю 50-60 км/год, витрачає в середньому 10,6 л бензину 

Домашнє завдання.{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Орієнтовні теми для написання казок. Як я брав інтеграли. Казка про те, як я стану студентом-математиком. Як інтеграл с похідною сперечалися. Казка про лисицю економіста та ведмедя-програміста. Як Незнайко "брав" інтеграли і що з того вийшло. Орієнтовна тема  для написання твору: Чи є у математиці таке, що може перевернути все життя?