Розвязування задач з параметрами

Математична майстерня.
Практикум з розв'язування завдань з параметрами.

Завдання з параметрами - проблема для більшості випускників на ЗНО. Але задачі з параметрам сприяють розвитку логічного мислення, підвищують математичну культуру школярів. І часто зміст математичної  задачі с параметрами не виходить за межі шкільної програми, але учні не готові розв'язувати таке завдання без попередньої підготовки. Досвід показує, що починати знайомство з параметрами треба як раніше, і частіше повертатися до таких задач протягом усіх років навчання у школі. Про параметри написано багато чудових книжок, але мені хочеться запропонувати вам розв’язання проблеми з точки зору учителя

 

Література:

1. Горнштейн П.І., Полонський В.Б., Якір М.С. Задачі з параметрами, Тернопіль, 2004
2. Апостолова Г.В., Ясінський В.В. Перші зустрічі з                                  параметрами. 2004
3. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 8, 9, 10, 11

7 клас

Тема:  Лінійні рівняння

1. Дано рівняння  . При яких значеннях m:

а) рівняння має додатній корінь?

б) рівняння має корінь, менший за -2, але більший за -3?

2. Знайти усі цілі a, при яких корінь рівняння  є

    цілим числом.

3. При яких значення b рівняння

а) має корінь 5;

б) не має коренів?

4. Розв’язати рівняння:

а)               г)               

б)                      д)

в)                      е)

 

8 клас

Тема:  Рівняння, що зводяться до лінійних.

1.  Дано рівняння

   а)  При яких значеннях рівняння має корінь ?

   б)  При яких рівняння має безліч коренів?

   в)  При яких  рівняння не має розв’язків?

   г)  При яких рівняння має єдиний розв’язок?

Вкажіть цей розв’язок.

2.  Розв’яжіть рівняння.
   1.  ;       б)

 

Тема:  Нерівності.

Для кожного значення розв’яжіть нерівність

1.                                г)

б)                               д)   

в)                              е)

 

Тема: Функція

Скільки розв’язків в залежності  від значення параметра має рівняння:

а)                       д)

б)                               е)

в)                    є)

г)                          ж)

 

9 клас

Тема: Квадратична функція.

1. При якому значені функція зростає на проміжку спадає на
2. При яких значеннях область визначення функції є числова пряма?
3. При яких значеннях область визначення функції

     складається з однієї точки?

4. При яких значеннях система рівнянь
   1)                       2)

а) має два розв’язки?

б) має три розв’язки?

5. Розв’язати рівняння

а) 

б)   

в) 

г) 

6. Скільки розв’язків в залежності від параметра а має система
     ?

Знайдіть ці розв’язки.

7. При яких с нерівність 

    виконується при всіх x?
 

 

У 10-11 класах повторюють усі типи завдань, що містять параметри і були розглянуті у 7-9 класах, але на більш високому рівні.

Зазвичай у рівності або нерівності буквами позначають невідомі. Іноді рівняння (нерівність) крім букв, що позначали невідомі, містять інші букви, які називають параметрами. Тоді ми маємо справу не з одним, а з нескінченною множиною рівнянь (нерівностей).

При цьому буває, що при одних значеннях параметра рівняння не має розв’язків, при інших – має тільки один корінь і т ін.

Розв’язати рівняння (нерівність) з параметром – для кожного значення параметра знайти множину значень змінної, що задовольняє дане рівняння (нерівність).

Розглянемо деякі завдання з параметрами, що були запропоновані на ДПА у 2012 (2011) роках.

1. Рівняння.
Для кожного значення параметра a розв’яжіть рівняння.
1)   
Якщо *), то
,                

                         ,    

Враховуючи (*)   ,      ,   

,  

Якщо  x<1   (**),  то  ,
,    ,  
                       ,  

Враховуючи (**)    ,   

Якщо   , то  ,  

                          

                           х=1

Якщо  то   ,   

      ,  

Якщо то  ,  x=-0,5 

 

 

 

 

Відповідь: при ;
                  при   ;
                  при   ;
                  при   

                  при  

                  при  

Інакше:

Відповідь:

,  

2)     |х²-4|+|х²-9|=а

Нехай (*), тоді   а)
 

б)
в) ),    

 ,   
при при   

          

                       

                        Відповідь:

при

при  
при       
при  

при  

3) має один корінь

Нехай     (*), тоді  
)²    
а) ,     

 ,      один корінь.

б)
           
 

                     Відповідь: 
4) Для кожного значення параметра a розв’яжіть рівняння                    
,

а)
б)
в) ,   оскільки

 
,          

 ,        
Відповідь:  при

      при

 

5) Знайдіть усі значення параметра a, при кожному з яких рівняння  має два корені:
 

Оскільки , то перше рівняння сукупності дає два корені, , тому друге рівняння сукупності  або має такі самі корені:  a=0, або на [ коренів не має 

x є [    , 

           
Відповідь: 

 

2. Нерівності
1) Для кожного значення a розв’яжіть нерівність

         або                        
                                   

 

 

 

 

                          
                               Відповідь: при ; 

;

    

 

2)                 

ОДЗ:         )

     

-9<a<1      
Відповідь: при   

           при   -9≤a≤1      

           при   

 

       

ОДЗ
Оскільки 

               

Врахуємо ОДЗ

а) б)
в)         
г) д)
Відповідь:

                 

                  

 

a)
б) в) ,   

 
Відповідь: при  

                  при

 

II Спосіб

       При

       при 
 

 

 

5) 
 

Відповідь: при

                  при                    при 
                  при 
                  при 

 

3. Графічні розв’язування рівняння (нерівностей) з параметрами.
1) Для кожного значення a вкажіть, скільки точок перетину мають графік функції і пряма у=а

      одна точка
    дві точки

2) Розв’яжіть рівняння

  а) б) в) чотири розв’язки

г)

д) Відповідь:

                      

                                               

                       

3) Для кожного значення a розв’яжіть нерівність 
 

Якщо a>0, то x є  [x₀  де   x₀ – абсциса точки перетину графіків функції 

                                       

        

,
     
Відповідь: при ,  

при   

при 

              при

Домашнє завдання

1) Знайдіть найбільше значення параметра a, при якому рівняння має рівно три різні корені      

Відповідь: 16
2) Знайдіть найбільше ціле a, при якому рівняння   має додатній корінь.    Відповідь: 9
3) Знайдіть найменше значення параметра a, при якому система має єдиний розв’язок

Відповідь: - 9

4) Розв’язати рівняння:
a)   Відповідь: -4,5
б) Відповідь:
                5) Розв’яжіть нерівність
Відповідь: при    

                при     а=0    

  при   

6) При якому значенні a (a - найменше ) рівняння
  має хоча б один корінь?                   Відповідь:   a=4,5

7) Знайдіть найменше значення a, при якому має розв’язки рівняння
       Відповідь:  a=-4,5
8) Знайдіть значення a, при кому корінь рівняння

  належить проміжку 

Відповідь: -23,3