7 квітня о 18:00Вебінар: Інтернет-середовище для професійного розвитку вчителів математики

Розвязування задач з параметрами

Про матеріал

Методичні рекомендації для вчителів, що працюють в класах з поглибленим вивченням математики що до вивчення задач з параметрами.Робота містить збірник завдань, наведено приклади розвязків.


Перегляд файлу

1

 

Математична майстерня.
Практикум з розв'язування завдань з параметрами.

Завдання з параметрами - проблема для більшості випускників на ЗНО. Але задачі з параметрам сприяють розвитку логічного мислення, підвищують математичну культуру школярів. І часто зміст математичної  задачі с параметрами не виходить за межі шкільної програми, але учні не готові розв'язувати таке завдання без попередньої підготовки. Досвід показує, що починати знайомство з параметрами треба як раніше, і частіше повертатися до таких задач протягом усіх років навчання у школі. Про параметри написано багато чудових книжок, але мені хочеться запропонувати вам розв’язання проблеми з точки зору учителя

 

Література:

  1. Горнштейн П.І., Полонський В.Б., Якір М.С. Задачі з параметрами, Тернопіль, 2004
  2. Апостолова Г.В., Ясінський В.В. Перші зустрічі з                                  параметрами. 2004
  3. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 8, 9, 10, 11

7 клас

Тема:  Лінійні рівняння

  1. Дано рівняння  . При яких значеннях m:

а) рівняння має додатній корінь?

б) рівняння має корінь, менший за -2, але більший за -3?

  1. Знайти усі цілі a, при яких корінь рівняння  є

    цілим числом.

  1. При яких значення b рівняння

а) має корінь 5;

б) не має коренів?

  1. Розв’язати рівняння:

а)               г)               

б)                      д)

в)                      е)

 

8 клас

Тема:  Рівняння, що зводяться до лінійних.

  1.  Дано рівняння

   а)  При яких значеннях рівняння має корінь ?

   б)  При яких рівняння має безліч коренів?

   в)  При яких  рівняння не має розв’язків?

   г)  При яких рівняння має єдиний розв’язок?

Вкажіть цей розв’язок.

  1.  Розв’яжіть рівняння.
    1.  ;       б)

 

Тема:  Нерівності.

Для кожного значення розв’яжіть нерівність

  1.                                г)

б)                               д)   

в)                              е)

 

Тема: Функція

Скільки розв’язків в залежності  від значення параметра має рівняння:

а)                       д)

б)                               е)

в)                    є)

г)                          ж)

 

9 клас

Тема: Квадратична функція.

  1. При якому значені функція зростає на проміжку спадає на
  2. При яких значеннях область визначення функції є числова пряма?
  3. При яких значеннях область визначення функції

     складається з однієї точки?

  1. При яких значеннях система рівнянь
    1)                       2)

а) має два розв’язки?

б) має три розв’язки?

  1. Розв’язати рівняння

а) 

б)   

в) 

г) 

  1. Скільки розв’язків в залежності від параметра а має система
      ?

Знайдіть ці розв’язки.

7. При яких с нерівність 

    виконується при всіх x?
 

 

У 10-11 класах повторюють усі типи завдань, що містять параметри і були розглянуті у 7-9 класах, але на більш високому рівні.

Зазвичай у рівності або нерівності буквами позначають невідомі. Іноді рівняння (нерівність) крім букв, що позначали невідомі, містять інші букви, які називають параметрами. Тоді ми маємо справу не з одним, а з нескінченною множиною рівнянь (нерівностей).

При цьому буває, що при одних значеннях параметра рівняння не має розв’язків, при інших – має тільки один корінь і т ін.

Розв’язати рівняння (нерівність) з параметром – для кожного значення параметра знайти множину значень змінної, що задовольняє дане рівняння (нерівність).

Розглянемо деякі завдання з параметрами, що були запропоновані на ДПА у 2012 (2011) роках.

1. Рівняння.
Для кожного значення параметра a розв’яжіть рівняння.
1)   
Якщо *), то
,                

                         ,    

Враховуючи (*)   ,      ,   

,  

Якщо  x<1   (**),  то  ,
,    ,  
                       ,  

Враховуючи (**)    ,   

Якщо   , то  ,  

                          

                           х=1

Якщо  то   ,   

      ,  

Якщо то  ,  x=-0,5 

 

 

 

 

Відповідь: при ;
                  при   ;
                  при   ;
                  при   

                  при  

                  при  

Інакше:

Відповідь:

,  

2)     2-4|+|х2-9|=а

Нехай (*), тоді   а)
 

б)
в) ),    

 ,   
при при   

          

                       

                        Відповідь:

при

при  
при       
при  

при  

3) має один корінь

Нехай     (*), тоді  
)2    
а) ,     

 ,      один корінь.

б)
           
 

                     Відповідь: 
4) Для кожного значення параметра a розв’яжіть рівняння                    
,

а)
б)
в) ,   оскільки

 
,          

 ,        
Відповідь:  при

      при

 

5) Знайдіть усі значення параметра a, при кожному з яких рівняння  має два корені:
 

Оскільки , то перше рівняння сукупності дає два корені, , тому друге рівняння сукупності  або має такі самі корені:  a=0, або на [ коренів не має 

x є [    , 

           
Відповідь: 

 

2. Нерівності
1) Для кожного значення a розв’яжіть нерівність

         або                        
                                   

 

 

 

 

                          
                               Відповідь: при ; 

;

    

 

2)                 

ОДЗ:         )

     

-9<a<1      
Відповідь: при   

           при   -9≤a≤1      

           при   

 

       

ОДЗ
Оскільки 

               

Врахуємо ОДЗ

а) б)
в)         
г) д)
Відповідь:

                 

                  

 

a)
б) в) ,   

 
Відповідь: при  

                  при

 

II Спосіб

       При

       при 
 

 

 

5) 
 

Відповідь: при

                  при                    при 
                  при 
                  при 

 

3. Графічні розв’язування рівняння (нерівностей) з параметрами.
1) Для кожного значення a вкажіть, скільки точок перетину мають графік функції і пряма у=а

      одна точка
    дві точки

2) Розв’яжіть рівняння

  а) б) в) чотири розв’язки

г)

д) Відповідь:

                      

                                               

                       

3) Для кожного значення a розв’яжіть нерівність 
 

Якщо a>0, то x є  [x0  де   x0 – абсциса точки перетину графіків функції 

                                       

        

,
     
Відповідь: при ,  

при   

при 

              при

Домашнє завдання

1) Знайдіть найбільше значення параметра a, при якому рівняння має рівно три різні корені      

Відповідь: 16
2) Знайдіть найбільше ціле a, при якому рівняння   має додатній корінь.    Відповідь: 9
3) Знайдіть найменше значення параметра a, при якому система має єдиний розв’язок

Відповідь: - 9

4) Розв’язати рівняння:
a)   Відповідь: -4,5
б) Відповідь:
                5) Розв’яжіть нерівність
Відповідь: при    

                при     а=0    

  при   

6) При якому значенні a (a - найменше ) рівняння
  має хоча б один корінь?                   Відповідь:   a=4,5

7) Знайдіть найменше значення a, при якому має розв’язки рівняння
       Відповідь:  a=-4,5
8) Знайдіть значення a, при кому корінь рівняння

  належить проміжку 

Відповідь: -23,3

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
5.0
Відповідність темі
5.0
Загальна:
5.0
Всього відгуків: 1
Оцінки та відгуки
  1. Лінник Ангеліна Вікторівна
    Дякую, дуже корисна розробка.
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
docx
Додано
15 січня 2018
Переглядів
6595
Оцінка розробки
5.0 (1 відгук)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку