Логарифми в дії: Практичні завдання та приклади.

Про матеріал

Методична розробка яка містить теоретичний матеріал з теми логарифм та його властивості, та завдання практичного застосування.

Перегляд файлу

𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒃−

показник степеня до якого необхідно піднести 𝐚, щоб отримати 𝐛

𝒍𝒐𝒈_𝒂b=c 𝒂^𝒄=b

𝒂>𝟎 ОДЗ:ቐ𝒂 ≠ 𝟏 𝒃 > 𝟎

ВЛАСТИВОСТІ ЛОГАРИФМІВ

1. Основна логарифмічна тотожність 𝒂^{𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃}=b.

2. 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒂 =1 3. 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝟏 = 𝟎

4. 𝒍𝒐𝒈_𝒂xy = 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒙 + 𝒍𝒐𝒈_𝒂y (х>0, у>0 )

5. 𝒍𝒐𝒈_{𝒂 𝒚}^𝒙 = 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒙 − 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒚 (х>0, у>0 )

6. 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒙^𝒑 = p𝒍𝒐𝒈_𝒂𝐱 (х>0) 7. 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒑^{x =} _𝒑^𝟏 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝐱 (х>0 )

8. 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒃 = _𝒍^𝒍_𝒐^𝒐_𝒈^𝒈_𝒄^𝒄_𝒂^𝒃 - перехід до іншої основи!!!

ГРАФІК ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ y=𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒙

0<a<1		a>1

ОСНОВНІ ТИПИ ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ

ТИП РІВНЯННЯ	СПОСІБ РОЗВ»ЯЗАННЯ
1. log_ax=c	за означенням 𝒂^𝒄=x.
2. log_ax=log_ay	x=y
3. m𝒍𝒐𝒈^𝟐_𝒂𝐱 + 𝐛𝒍𝒐𝒈_𝒂𝐱 + 𝐜 = 𝟎	заміна 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝐱 = 𝐭 → квадратне рівняння
4. 𝒙𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒙+𝒎 =c	логарифмування лівої і правої частини рівняння 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒙^𝒍𝒐𝒈^𝒂^𝒙+𝒎 =𝒍𝒐𝒈_𝒂c → (𝒍𝒐𝒈_𝒂x+m)𝒍𝒐𝒈_𝒂x =𝒍𝒐𝒈_𝒂c →р-ння 3.

Обов»язкова перевірка отриманих коренів!!!

УВАГА! При використанні властивості 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒙^𝒑= p𝒍𝒐𝒈_𝒂x (р- _{парне натуральне число}) можна втратити корені!

СХЕМА РОЗВ»ЯЗУВАННЯ ЛОГАРИФМІЧНОЇ НЕРІВНОСТІ

1. ОДЗ

2. Розв»язування нерівності

(див. основні типи логарифмічних нерівностей )

3. Спільне п.1 і п.2

ОСНОВНІ ТИПИ ЛОГАРИФМІЧНИХ НЕРІВНОСТЕЙ

ТИП НЕРІВНОСТЕЙ	СПОСІБ РОЗВ»ЯЗАННЯ
1. log_ax > log_ay	x>y (якщо а>1), x<y (якщо 0<а<1)
2. logax>c	𝒍𝒐𝒈_𝒂x>c·1 → 𝒍𝒐𝒈_𝒂x>c·𝒍𝒐𝒈_𝒂𝐚 → 𝒍𝒐𝒈_𝒂x>𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒂^𝒄→ перехід до нерівності 1.
3.m𝒍𝒐𝒈^𝟐_𝒂𝐱 + 𝐛𝒍𝒐𝒈_𝒂𝐱 + 𝐜 < (>)𝟎	заміна 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝐱 = 𝐭, перехід до квадратичної нерівності
𝟒. 𝒙𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒙+𝒎 >c	логарифмуваня: 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒙^𝒍𝒐𝒈^𝒂^𝒙+𝒎 > 𝒍𝒐𝒈_𝒂c → (𝒍𝒐𝒈_𝒂x+m)𝒍𝒐𝒈_𝒂x >𝒍𝒐𝒈_𝒂c (*якщо а>1) 𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒙^𝒍𝒐𝒈^𝒂^𝒙+𝒎 < 𝒍𝒐𝒈_𝒂c → (𝒍𝒐𝒈_𝒂x+m)𝒍𝒐𝒈_𝒂x <𝒍𝒐𝒈_𝒂c (якщо 0<а<1*) перехід до нерівності 3.

Розв`язання.

𝒍𝒐𝒈 _𝟏 𝟓 = 𝒍𝒐𝒈

𝟐𝟓

Відповідь. А

= 𝟏𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟏 𝟐5 = 𝟏𝟐 ∙ 𝟏𝟐 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟓 = 𝟐𝟏 ∙ 𝟏𝟐 ∙ −𝟏 = -𝟏𝟒

𝟓 𝟓

1. ОДЗ х>0

2. Оскільки 𝟎 < 𝟎, 𝟏 < 𝟏, то 𝟏𝟎 > х.

3. Спільне п.1 і п.2.

0 10

Відповідь. Б

Розв`язання.

Використаємо властивість логарифмів (перехід до іншої основи). Основу вибираємо довільну.

𝒍𝒐𝒈𝟑𝟒 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝟒𝟓 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝟓𝟕 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝟕𝟖𝟏 =

𝒍𝒐𝒈𝒍𝒐𝒈𝟐𝟐𝟒𝟑 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝒍𝒐𝒈𝟐𝟐𝟒𝟓 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝒍𝒐𝒈𝟐𝟐𝟕𝟓 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝒍𝒐𝒈𝟐𝟐𝟖𝟏𝟕 =

𝒍𝒐𝒈𝒍𝒐𝒈𝟐𝟐𝟖𝟏𝟑 = 𝒍𝒐𝒈𝟑𝟖𝟏 = 4

Відповідь. 4

Розв`язання.

x+2 = 2x – a -x = -a-2 x = a+2. Корінь x = a+2 повинен задовольняти умови: x+2 >0 і 2x – a >0. Оскільки x+2 = 2x – a, то достатньо забезпечити виконання однієї з умов.

Наприклад x + 2 > 0, x > −2, а + 2 >−2, а > − 4.