Використання похідної при виведенні рівняння електромагнітних коливань.

Запишемо рівняння закону збереження енергії для коливального контуру

Wел +Wм = const

Знайдемо похідні обох частин рівності.

(Wел +Wм)′ = const′

Похідна суми дорівнює сумі похідних, а похідна сталої дорівнює нулю.

(Wел) ′ +(Wм)′ = 0

Wел = q²/2C

Wм = LI²/2

(q²/2C)′ + (LI²/2) ′ = 0

Сталу можна виносити за знак похідної

2, С, L, ½

1/2C(q²)′ = L/2(I²)′

(q²)′ = 2q

(I²)′ =2I, але під час електромагнітних коливань в коливальному контурі заряд на конденсаторі та сила струму в котушці змінюються з часом, тому в даному випадку q  та I є не просто величинами, а функціями від часу, іншими словами є складеними функціями з точки зору обчислення похідної, тому правильно не (q²)′ = 2q, а

(q²)′ = 2qq′ (похідна складеної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції (q²)′ = 2q  та похідної внутрішньої функції q′),

не (I²)′ =2I, а (I²)′ =2I І′

1/2C · 2qq′ = L/2 · 2I I′

1/C · qq′ = L· I I′

Використаємо  І = q´ та  І′ = q´′

1/C · qq′ = L· q´q´′

Поділимо праву та ліву частини рівняння на q´ та L

1/CL· q = q´′

q′′ =  1/CL· q

Ми отримали не тільки рівняння електромагнітних коливань, а і установили математичну залежність, за якою за зовнішнім виглядом рівняння можна установити чи є дане рівняння рівнянням коливань

Якщо друга похідна величини прямо пропорційна самій величині, то це рівняння коливань.