Методична розробка – Довідник з геометрії, 8 клас НУШ

ЧОТИРИКУТНИК, ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ. СУМА КУТІВ ЧОТИРИКУТНИКА

Чотирикутник - фігура, що складається із чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх сполучають. (див. рис. 1)

                                                                                            Рис. 1

Відрізки, які сполучають протилежні вершини чотирикутника, діагоналі чотирикутника. (див. рис. 2)

                                                              Рис. 2

Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

Якщо всі кути чотирикутника менші від 180°, то він опуклий. (див. рис. 3).

Якщо один з кутів чотирикутника більший за 180°, то він неопуклий. (див.

рис. 4).

   Прикладом опуклого чотирикутника є квадрат або прямокутник, тоді як прикладом неопуклого чотирикутника може бути стрілка або чотирикутник з одним угнутим кутом.

ПАРАЛЕЛОГРАМ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ Й ОЗНАКИ 

Паралелограм - чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

1.  Сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°.

2.  Паралелограм є опуклим чотирикутником.

3.  У паралелограмі протилежні сторони рівні й протилежні кути рівні.

                                                Рис. 5

4.  Периметр паралелограма (див. рис. 5).     P_PABCD = 2(AB+ BC).

5.  Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл (див. рис. 6).

                                            Рис. 6

Висота паралелограма перпендикуляр, проведений з будь-якої точки сторони паралелограма до прямої, що містить протилежну сторону.

Теорема (ознаки паралелограма). 

Якщо в чотирикутнику: 

1)  дві сторони рівні й паралельні, або 

2)  протилежні сторони попарно рівні, або 

3)  діагоналі перетинаються й точкою перетину діляться навпіл, або  4) протилежні кути попарно рівні, то чотирикутник є паралелограмом.

Паралелограм показаний на рис. 5 і рис. 6.

 ПРЯМОКУТНИК І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Прямокутник це паралелограм, у якого всі кути прямі. 

1. У прямокутнику протилежні сторони рівні.  Периметр прямокутника Р 3. Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл.

                                                   Рис. 7

4.  Діагоналі прямокутника рівні. 

5.  Точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддалена від усіх його вершин.

Теорема (ознаки прямокутника). Якщо в паралелограма: 

1)  усі кути рівні, або

2)  один кут прямий, або 

3)  діагоналі рівні, - то паралелограм є прямокутником.

                                                    Рис. 8

РОМБ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

1.  Сума будь-яких двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. 

2.  У ромба протилежні кути рівні.

3.  Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл.

4.  Периметр ромба Р ABCD = 4AB

5.  Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні й ділять його кути навпіл.

                   Рис. 9                                                  Рис. 10

Теорема (ознаки ромба). 

Якщо в паралелограмі: 

1)  дві сусідні сторони рівні, або 

2)  діагоналі перетинаються під прямим кутом, або 

3)  діагональ ділить навпіл кути паралелограма, - то паралелограм є ромбом.

                     КВАДРАТ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Квадрат - це прямокутник, у якого всі сторони рівні. 

1.  Усі кути квадрата прямі.

2.  Периметр квадрата Равсd = 4АВ.

3.  Діагоналі квадрата між собою рівні.

4.  Діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні й точкою перети- ну діляться навпіл.

5.  Діагоналі квадрата ділять його кути навпіл, тобто утворюють кути 45° зі сторонами квадрата.

6.  Точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від усіх його вершин: АО = ВО = СО = DO.

                            Рис.11                                      Рис. 12

Теорема (ознаки квадрата). 

1)  Якщо діагоналі прямокутника взаємно перпендикулярні, то він є квадратом. 

2)  Якщо діагоналі ромба між собою рівні, то він є квадратом.

ТРАПЕЦІЯ

Трапеція - це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші непаралельні.

Паралельні сторони трапеції основи, а непаралельні - бічні сторони. На малюнку AD і ВС - основи трапеції, АВ і CD - її бічні сторони.

                                                         Рис. 13

1.  Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°.

2.  Трапеція є опуклим чотирикутником. Висота трапеції - це перпендикуляр, проведений з будь-якої точки основи трапеції до пря- мої, що містить протилежну основу.

Трапеція прямокутна, якщо один з її кутів прямий

                                                          Рис. 14

Трапеція рівнобічна, якщо її бічні сторони рівні.

1.  У рівнобічній трапеції кути при основі між собою рівні.

2.  Діагоналі рівнобічної трапеції рівні. 

Теорема (ознака рівнобічної трапеції). Якщо в трапеції кути при одній основі рівні, то      трапеція    — рівнобічна.

                                                        Рис. 15

ВПИСАНІ ТА ОПИСАНІ ЧОТИРИКУТНИКИ

Чотирикутник вписаний у коло, якщо всі його вершини лежать на колі. Коло при цьому - описане навколо чотирикутника.

Теорема 1 (властивість кутів вписаного чотирикутника). Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°.

Наслідок 1. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то вона рівнобічна.

                                                         Рис. 16

Наслідок 2. Якщо чотирикутник ABCD вписаний у коло, то  A + C = B + D.

Теорема 2 (ознака вписаного чотирикутника). Якщо в чотири- кутнику сума двох протилежних кутів дорівнює 180°, то навколо нього можна описати коло.

Наслідок 1. Якщо у чотирикутника ABCD A + C = B + D, то навколо нього можна описати коло.

Наслідок 2. Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло.

Наслідок 3. Навколо рівнобічної трапеції можна описати коло.

Чотирикутник описаний навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до кола. Коло при цьому вписане в чотирикутник. 

Теорема 3 (властивість сторін описаного чотирикутника). В описаному чотирикутнику суми протилежних сторін між собою рівні.

Теорема 4 (ознака описаного чотирикутника). Якщо в чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то в цей чотирикутник можна вписати коло.

Наслідок. У будь-який ромб можна вписати коло.

                                                        Рис. 17

 ТЕОРЕМА ФАЛЁСА

Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні між собою відрізки, то вони відтинають рівні між собою відрізки й на другій його стороні.

Наслідок. Паралельні прямі, які перетинають - Аз, дві дані прямі та відтинають на одній з них рівні відрізки, відтинають рівні відрізки й на другій прямій.

                                                Рис. 18

СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРИКУТНИКА, ЇЇ ВЛАСТИВІСТЬ

Середня лінія трикутника - це відрізок, який сполучає середини двох його сторін.

Теорема 1 (властивість середньої лінії три- кутника). Середня лінія трикутника, що сполучає середини двох сторін, паралельна третій стороні та дорівнює її половині.

                                                       Рис. 19

СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРАПЕЦІЇ, ЇЇ ВЛАСТИВІСТЬ

Середня лінія трапеції - це відрізок, що сполучає середини її бічних сторін.

Теорема (властивість середньої лінії трапеції). Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їхній півсумі.

                                                   Рис. 20

УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ФАЛЕСА (теорема про пропорційні відрізки)

Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на його сторонах пропорційні відрізки

                                                                                                  Рис. 21  

ПОДІБНІ ТРИКУТНИКИ                                                               

Два трикутники називають подібними, якщо їхні кути відповідно рівні й сторони одного трикутника пропорційні відповідним сторонам іншого.

Якщо трикутники ABC і А₁В₁С₁ подібні між собою, то

                                                 Рис. 22                                 Рис. 23

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює відношенню відповідних сторін цих трикутників.

ОЗНАКИ ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВ

Теорема 1 (за двома сторонами та кутом між ними). Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого і кути, утворені цими сторонами, між собою рівні, то трикутники подібні.

Наслідок 1. Прямокутні трикутники подібні, якщо катети од- ного з них пропорційні катетам другого.

Наслідок 2. Якщо кут при вершині одного рівнобедреного трикутника дорівнює куту при вершині другого рівнобедреного трикутника, то ці трикутники подібні.

Теорема 2 (за двома кутами). Якщо два кути одного трикутни- ка відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то ці трикутники подібні.

Наслідок 1. Рівносторонні трикутники подібні.

Наслідок 2. Якщо кут при основі одного рівнобедреного три- кутника дорівнює куту при основі другого рівнобедреного трикут- ника, то ці трикутники подібні.

Наслідок 3. Якщо гострий кут одного прямокутного трикут- ника дорівнює гострому куту другого прямокутного трикутника, то ці трикутники подібні.

Теорема 3 (за трьома сторонами). Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого, то ці трикутники подібні.

СЕРЕДНІ ПРОПОРЦІЙНІ ВІДРІЗКИ У ПРЯМОКУТНОМУ ТРИКУТНИКУ

Теорема (про середні пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику). 

1)           Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним проекцій катетів на гіпотенузу.

2)           Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи та проекції цього катета на гіпотенузу.

CD² = AD • BD,

AC² = AB • AD,

                                                                          Рис. 24

ВЛАСТИВІСТЬ БІСЕКТРИСИ ТРИКУТНИКА

Теорема (властивість бісектриси трикутника). Бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, пропорційні прилеглим до неї сторонам.

AB/AC = BL/LC

                                                     Рис. 25

ТЕОРЕМА ПІФАГОРА

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи А дорівнює сумі квадратів катетів:

АВ²=АС² + ВС²

                                                               Рис. 26

Теорема (обернена до теореми Піфагора). Якщо в трикутнику АВС має місце рівність АВ²=АС² + ВС², то кут С цього трикутника - прямий.

Трикутник є прямокутним тоді й тільки тоді, коли квадрат найбільшої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін. ПЕРПЕНДИКУЛЯР І ПОХИЛА, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ 

АН - перпендикуляр, проведений з точки А до прямої а. Точка Н основа перпендикуляра АН. К - довільна точка прямої а, відмінна від Н. Відрізок АК похила, проведена з точки А до прямої а, а точка К основа похилої. Відрізок НК проекція похилої АК на пряму а.

                                                Рис. 27

1.           Перпендикуляр, проведений з точки до прямої, менший від будь-якої похилої, проведеної із цієї точки до цієї прямої.

2.           Якщо дві похилі, проведені з точки до прямої, між собою рівні, то рівні між собою і їхні проекції.

3.           Якщо проекції двох похилих, проведених з точки до прямої, між собою рівні, то рівні між собою і самі похилі.

4.           З двох похилих, проведених з точки до прямої, більшою є та, у якої більша проекція.

5.           З двох похилих, проведених з точки до прямої, більша похила має більшу проекцію.

СИНУС, КОСИНУС І ТАНГЕНС ГОСТРОГО КУТА ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА.   СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ СТОРОНАМИ ТА КУТАМИ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА  

Синус гострого кута прямокутного трикутника - відношення протилежного катета до гіпотенузи:    sin A = BC / AB = a / c sin B = AC / AB  = b / c

                                                   Рис. 28

Косинус гострого кута прямокутного трикутника - відношення прилеглого катета до гіпотенузи: cos A = AC / AB = b / с  cos B = BС / BA = а / с

Тангенс гострого кута прямокутного трикутника відношення протилежного катета до прилеглого: tg A= BC / AC = а / b tg B= AC / BC = b |  a

                        Значення синусів, косинусів, тангенсів деяких кутів: 

МНОГОКУТНИК          І         ЙОГО         ЕЛЕМЕНТИ.       СУМА        КУТІВ ОПУКЛОГО МНОГОКУТНИКА. МНОГОКУТНИК, ВПИСАНИЙ У КОЛО, І МНОГОКУТНИК, ОПИСАНИЙ НАВКОЛО КОЛА

Теорема (про суму кутів опуклого п-кутника). Сума кутів опуклого  п-кутника дорівнює 180°(п - 2).

                                           Рис. 29                         Рис. 30 

Многокутник вписаний у коло якщо всі його вершини лежать на колі. Коло у такому разі - описане навколо многокутника. Многокутник описаний навколо кола якщо всі його сторони дотикаються до кола. Коло у такому разі — вписане в многокутник.

  ПОНЯТТЯ ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКА. ПЛОЩА ПРЯМОКУТНИКА

Сформулюємо основні властивості площі:

1)  площа кожного многокутника є додатним числом;

2)  рівні між собою многокутники мають рівні площі;

3)  якщо многокутник розбито на кілька многокутників, то його площа дорівнює сумі площ цих многокутників;

4)  одиницею вимірювання площі є площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання довжини (такий квадрат - одиничний квадрат).

Теорема (про площу прямокутника). 

Площа S прямокутника зі сторонами а і b обчислюється за формулою

S = a • b.

Наслідок. Площа S квадрата зі стороною а обчислюється за формулою 

S = a².

ПЛОЩА ПАРАЛЕЛОГРАМА

Теорема (про площу паралелограма). Площа паралелограма до- рівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони. У загальному вигляді формулу площі S паралелограма записують так: S = a•ha де а - сторона паралелограма, h_а - висота, проведена до неї.

ПЛОЩА ТРИКУТНИКА

Теорема (про площу трикутника). Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

У загальному вигляді формулу площі трикутника S записують  так: S = 1/2 • a • h_a де а - сторона трикутника, h_а - висота, проведена до неї.

ЛОЩА ТРАПЕЦІЇ

Теорема (про площу трапеції). Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту.

У загальному вигляді формулу площі трапеції 5 записують так: S = (a+b) • h /2; де а і b - основи трапеції, h - її висота.

Наслідок. Площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту.

Література:

1. Автор: Істер О. С., ГЕОМЕТРІЯ, 8 клас, вид. «ГЕНЕЗА», 2024 рік.

Автор: Бабин Дмитро Святославович