Методика формування та розвитку просторових уявлень у здобувачів освіти при вивченні стереометрії

 

 

Автор:                   Л.М.Костенко – спеціаліст вищої категорії, викладач-методист

                                                            Київського енергетичного фахового коледжу

 

 

 

 

 

 

 

 

Костенко Л.М. Методика формування та розвитку просторових уявлень у здобувачів освіти при вивченні стереометрії, Київ, 2025

 

 

 

Матеріал методичних рекомендацій спрямований на розвиток просторових уявлень у здобувачів освіти при вивченні стереометрії, дозволить розширити та поглибити знання, навчить їх правильно виконувати просторові рисунки на площині до розв’язування задач, доводити теореми, зокрема методом від супротивного. Методичні рекомендації містять достатню кількість базових рисунків.

 

 

 

Розглянуто і схвалено на засіданні циклової комісії природничо-математичних дисциплін (ЦК №2) Київського енергетичного фахового коледжу.

Протокол від «23» січня 2025 р. №5

Голова ЦК №2  ____________      О.Г.Грущинська

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

©Костенко Л.М.

                                                                                                              ©КЕФК

 

Зміст

Анотація…………………………………………………………………………..3

1. Використання знань про властивості паралельного проєктування та властивостей планіметричних фігур при побудові їх зображень у просторі на площині……………………………………………………………………..4
2. Формування просторового уявлення у здобувачів освіти при доведенні теорем…………………………………………………………………………..8
3. Використання аксіом та теорем стереометрії при побудові перерізів многогранників: піраміди та призми………………………………..………12
4. Базові рисунки многогранників, круглих тіл та їх перерізів площинами…17

Літературні джерела………………………………………………….…………23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Анотація

Мета даних методичних рекомендацій така:

•                     Допомогти здобувачам освіти опанувати теоретичний матеріал, поглибити знання, розвинути просторове уявлення;

•                     Навчити здобувачів освіти правильно виконувати рисунки при розв’язуванні стереометричних задач.

Формуванню просторового уявлення у здобувачів освіти треба приділити особливу увагу, так як від цього залежить свідоме засвоєння теоретичних положень стереометрії, вміння доводити теореми, розв’язувати задачі.

В методичних рекомендаціях приділена увага вмінню виконувати рисунки до задач, адже від правильності рисунку залежить правильність розв’язку задачі. З цією метою методичні вказівки містять достатню кількість базових рисунків многогранників, круглих тіл, та їх перерізів площиною.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.      Використання знань про властивості паралельного проєктування та властивостей планіметричних фігур при побудові їх зображень у просторі на площині.
   1.    Паралельне проєктування та його основні властивості.

Об’єктом стереометрії є просторові тіла. І відповідно нас буде цікавити, як зображуються просторові тіла на площині. Для зображення просторових фігур на площині користуються паралельним проєціюванням.

Нехай пряма l задає напрям у просторі і є площина  – площина проєкцій. Точки А і В не належать площині . Проведемо через точки А і В прямі паралельні прямій l, і нехай ці прямі перетинають площину  в точках А₁ і В₁ відповідно.

Тоді говорять, що точка А₁ є зображенням точки А або її проєкцією в заданому напрямі l. Коротко це записують так А₁=пр_ A, відповідно: В₁ = пр_B , (A₁B₁)=пр_(AB) пряма А₁В₁ є проєкцією прямої АВ на площину  в заданому напрямі l.

Таким чином можна спроєціювати на площину будь-яку фігуру, або просторове тіло.

Так на рисунках 32.1 і 32.2 (дивись підручник Мерзляк А.Г. Математика: алгебра і початки аналізу та геометрія рівень стандарту: підручник для 10кл. закладів загальної середньої освіти: Гімназія 2018.) сонячні промені відбивають на землю зображення чайки, яке схоже на чайку (у вигляді тіньового силуету), літака і таке інше.

Означення: Фігуру F₁ називають паралельною проєкцією фігури F

на площину  в напрямі прямої l.

При побудові зображень фігур і тіл використовують такі основні властивості паралельного проєціювання, а саме:

1. Проєкцією прямої є завжди пряма.
2. Проєкції паралельних прямих завжди паралельні.

Зокрема, паралельною проєкцією двох паралельних прямих може бути пряма лінія. Це відбувається, коли площина, в якій знаходяться паралельні прямі, що проєктуються, паралельна прямій, що задає  напрям у просторі.

3. При паралельному проєціюванні відношення довжин паралельних проєкцій відрізків, які лежать на одній прямій, дорівнює відношенню довжин відрізків, що проєктуються.

Або коротко: при паралельному проєціюванні зберігається відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих.

Примітка: При паралельному проєціюванні величина кута НЕ ЗБЕРІГАЄТЬСЯ!

 

Знання про властивості паралельного проєціювання та властивості планіметричних фігур дозволяють правильно зобразити планіметричні фігури у просторі на площині. Подамо зображення планіметричних фігур у просторі на площині у вигляді таблиці.

№ з/п	Фігура - оригінал	Фігура - зображення	Примітка
1	2	3	4
1	Прямий кут
2	Прямокутний трикник
3	Рівнобедрений трикутник		медіана B1D1 є зображенням висоти і бісектриси.
4	Рівносторонній (правильний) трикутник		т.О1 – ортоцентр, перетин медіан, бісектрис і висот.
5	Паралелограм		 і  - зображення висот BN і BM відповідно
6	Ромб		Звертаємо увагу на позначення прямого кута рівності сторін та кутів
7	Прямокутник		Прямі M1N1 і  P1K1 є зображеннями осей симетрії прямокутника ABCD: MN і  PK відповідно
8	Квадрат		Звертаємо увагу на позначення кутів та рівності відрізків.
9 9.1	Трапеція Рівнобедрена		(MN1) – зображення осі симетрії трапеції ABCD: MN Тому зображення висоти B1K1  M1N1
9.2	Прямокутна		C1M1 – зображення висоти CM, C1M1  B1A1
10	Правильний шестикутник		Ромб АВСО – центрально симетричний ромбу FODE. Тому зображенням ромбу АВСО буде паралелограм А1В1С1О1, а точки D1, Е1 і F1 будуть центрально симетричні точкам А1, В1 і С1- відповідно. Це дає змогу правильно зобразити правильну шестикутну призму A2B2C2F2A1B1C1D1F1

 

2.   Формування просторового уявлення у здобувачів освіти при доведенні теорем

Доведення теорем має велике значення при формуванні просторового уявлення. Адже на відміну від планіметрії, де доведення теорем супроводжується очевидним рисунком (рівнобедрений трикутник явно рівнобедрений, прямий кут відповідає 90^о і таке інше), в стереометрії те, що треба довести, треба уявити у просторі і довести, що таке можливе. Таке доведення спирається на інші твердження, справедливість яких вже встановлена на аксіоми та вже відомі теореми і є їх логічним наслідком. При оформленні доведення теорем варто використовувати математичну символіку:

«  » - символ існування

« Є » - символ належності одного елемента множині

«  » - символ підмножини

«U», «∩» - символ об'єднання і перетину множин відповідно

«  » - випливає

«  » - символ рівносильності

«  » - порожня множина і т.д.

В стереометрії варто розрізняти такі поняття, як «означення» та ознака.

Наприклад, означення паралельності прямої і площини: 

Пряму та площину називають паралельними, якщо вони не мають спільних точок. ( підручник: Математика 10, під ред. А.Г.Мерзляка, Х.: Гімназія, 2018, 4, пункт 30)

В цьому означенні розглядається зміст нового поняття: паралельність прямої і площини. Перевірити у просторі, що пряма і площина не мають спільних точок, важко. Тому на практиці використовують ознаку паралельності прямої та площини.

Ознака – це теорема, яка формулюється у вигляді умовного речення: «Якщо…, то…», де від якщо до то формулюється умова теореми, а після то – її заключний висновок. Сформулюємо цю ознаку:

Теорема 30.1 Якщо пряма, яка не належить даній площині,  паралельна якій – небудь прямій, що лежить у цій площині, то дана пряма паралельна самій площині.

При доведенні цієї ознаки можна скористатися методом міркувань від супротивного. Цей метод легко сприймається здобувачами освіти і саме цей метод допомагає розвинути просторові уявлення.

 

 

 

 

Доведення ознаки паралельності прямої і площини

1. Доведемо, що існує випадок у просторі, коли пряма і площина не мають спільних точок. (Методом від супротивного)

∩=

2.  і  точка M, нехай b єдина площина, яка задається прямою b і точкою M (теорема 27.1).
3. В цій уявній площині завжди можна провести через точку М пряму aǁb і до того ж тільки одну (А.1) М є a, aǁb (за побудовою).
4. Припустимо від супротивного, що пряма a з площиною  буде мати спільну точку, а саме: а∩=N і m.Nb, так як aǁb (за побудовою).
5. Тоді a мимобіжна  b (Т29.2, ознака мимобіжних прямих).
6. Отже виходить, що aǁb (за побудовою) і a мимобіжна b (за припущенням). А такого одночасно бути не може! Отже ми довели випадок, коли a∩=. Цей метод міркувань дозволяє тепер сформулювати ознаку паралельності прямої і площини:

ab, b,  a    (a)

Важливе значення має теорема, обернена до ознаки паралельності прямої і площини:

Якщо площина проходить через пряму паралельну до другої площини і перетинає цю площину, то лінія перетину площин паралельна даній прямій.

Цю теорему, як правило, доводять самі здобувачі освіти, міркуванням від супротивного.

 

Доведення теореми,

оберненої до ознаки паралельності прямої і площини

                            Запишемо теорему за допомогою математичних символів:

  a a

                          ba

  ∩=b

 

1. Припустимо, що b не паралельно a тоді одне з двох:

Або b перетинається з a,

Або b мимобіжна до a.

2. Нехай b перетинається з a, тоді а перетне , так як b, а це суперечить умові теореми: aǁ
3. Нехай b мимобіжна до  a  , але b, a, а це неможливо, мимобіжні прямі не можуть належати одній площині.

В обох випадках прийшли до протиріччя з нашим припущенням. Отже наше припущення відносно того, що b не паралельна a, невірне.

Розглянемо приклад прямого доведення теореми 30.3 (4 пункт 30 Математика 10, А.Мерзляк)

Теорема 30.3 Якщо через кожну з двох паралельних прямих проведено площину, причому ці площини перетинаються по прямій відмінній від даних прямих, то пряма перетину площин паралельна кожній із двох даних прямих.

(aǁb,  a , b,  ∩=c)  (cǁ і cǁb)

                     Доведення

1. bǁa,  a  bǁ (за ознакою паралельності прямої і площини).
2. b,  bǁ,  ∩=c  cǁb (за теоремою оберненою ознаці паралельності прямої і площини)

Аналогічно доводиться паралельність прямої c до прямої a cǁa. Це доведення можна запропонувати здобувачам освіти довести самостійно.

Отже доведення теореми розвиває у здобувачів освіти, як логічне, так і просторове уявлення.

3. Використання аксіом та теорем стереометрії при побудові перерізів многогранників, зокрема, піраміди та призми.

Просторові уявлення розвиваються також в процесі розв’язування великої кількості задач, зокрема, задач на побудову перерізів многогранників площиною, заданою трьома точками. При побудові перерізів многогранників площиною виникають такі дві задачі: побудувати точку перетину січної площини з ребром многогранника і лінію перетину двох площин ( січної і площини грані).

Велике значення в процесі розв’язування таких задач мають означення аксіоми і теореми стереометрії.

Згідно аксіоми А2: Через будь-які три точки простору, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і до того ж тільки одна.

Тому домовимось позначати січну площину  трьома М, N і P, тобто:

=( МNP) – січна площина.

Розглянемо такі задачі на побудову перерізів піраміди і призми січною площиною .

 

Задача 1. Дано піраміду ABCD. Побудуйте переріз піраміди площиною =(MNP), де MAD, точка NCD,   точка P(ABC).

 

 

 

 

  

       

    

                        Рис.1                                                

 На рисунку 1 показано шуканий  переріз – чотирикутник QMNF.

Покажемо, як він утворився. Для цього розіб'ємо задачу на окремі етапи.

1. Побудова лінії перетину січної площини  з площиною грані піраміди (ACD).

MAD, NDC(MN)(ACD)

Згідно А1: В площині через дві різні точки проходить одна і тільки одна пряма.

Згідно А3: Пряма, що проходить через дві різні точки площини, належить площині.

               Рис.2

А згідно А4: Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій.

Отже: M;N   (ACD)

                                             ∩(ACD)=(MN)

          M;N  

 

Пряма MN називається «слідом» січної площини  в площині грані (ACD).

2. Побудова лінії перетину січної площини  з площиною грані (ABC).

Очевидно, що січна площина  перетне площину основи піраміди (АВС), так як у них є спільна точка Р. Але для того, щоб провести «слід» січної площини в площині (АВС) треба мати ще одну точку. І такою точкою буде точка К!

      

                

                     Рис.3                                                Прямі MN і AC  лежать в одній грані і не паралельні, отже перетнуться (MN)∩(AC)=K. Тепер K(AC)K(ACD), але (AC)(ABC)K(ABC)

K(MN)K

Отже маємо: K, K(ABC)

                                                                          ∩(ABC)=(KP),

                                P, P(ABC)                            (за А4.)

Пряма КР – «слід» січної площини  в площині грані (АВС).

3. Побудова точок перетину січної площини  з ребрами основи піраміди ВС і АВ.

Пряма (КР)(АВС) (А3)(КР)∩(ВС)=F, (КР)∩(АВ)=Q (див. рис.3)

Отже точки F і Q – точки перетину січної площини  з ребрами ВС і АВ - відповідно.

4. Побудова ліній перетину січної площини  з площинами граней (АВD) і (BDC).

Точки M і Q лежать в одній грані (АВD) і також належать січній площині . Аналогічно N;F,  N;F  (BDC), тому ∩(АВD)=(MQ), ∩(BDC)=NF (див.рис.1) за аксіомами А1, А3, А4.

Отже ∩АBDC= чотирикутник QMNF – шуканий переріз.

З цієї задачі можна утворити декілька інших задач, а саме:

• MAD,  NDC, P(ABC), але (MN)ǁ(AC)

 

При такій умові допомагають теореми: ознака паралельності прямої і площини, та обернена до неї теореми, про які йшла мова в пункті 2 даних методичних рекомендацій.

1.     Отже: (MN)ǁ(AC), (АС)(АВС)(MN)ǁ(ABC) (за ознакою паралельності прямої і площини).

 

 

2.                  (MN)

          (MN)ǁ(ABC)                                  (QF)ǁ (MN)

           ∩(ABC)=(QF), т.P(QF)           (за теоремою оберненою ознаці       

                                                                    паралельності прямої і площини)

 

Тому шуканий переріз – трапеція  QMNF.

• Точки M, N і P можна по різному розташувати, наприклад, так:

 

 

 

 

 

а) б)

 

 

 

Задача 2  Дано призму ABCDA₁B₁C₁D₁ і січну площину =(MNP), де точка MBB₁, т.N AA₁, т.PDC.  Побудуйте переріз призми січною площиною.

       

  Опис побудови перерізу.

1.    M;N  (ABB₁) 

          (ABB₁)=(MN)(A4)

2.    (MN) не паралельна (AB)(MN)∩(AB)=X(A1)      
3.    X(AB)X(ABC)

         X(MN)X                  

         PCDP(ABC)               

                                  P        

                                                                       

       ∩(ABC)=(XP)(A3,А4)

 

4.    (XP)∩(AD)=F(A3), (XP) не паралельна (BC)(XP)∩(BC)=Y.

Отже, ∩(АВС)=(XY) – слід січної площини  в площині основи призми (АВС).

Аналогічно пряма (MN) – слід січної площини  в площині грані (ABB₁), а пряма (NF) – слід січної площини  в площині грані (AA₁D).

5.Y(BC)Y(BCB₁), до того ж (MY), отже ∩(BCB₁) = (MY) (A3;A4), і (MY) ∩ (CC₁) = Q

6. ∩(DD₁C)=(PQ)

Утворився в перерізі п’ятикутник MNFPQ – шуканий переріз.

З цієї задачі можна також утворити декілька задач, розташувати, наприклад, точку M на ребрі A₁B₁ чи на ребрі В₁С₁, тоді перерізом буде шестикутник, або розглянути переріз п’ятикутної призми, рисунки а) і б) відповідно.

а)     б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варто звернути увагу здобувачів освіти на те, що у випадку а) виконується теорема про дві паралельні площини, що перетинаються третьою площиною =(MNP), яка є січною. Тому, якщо переріз паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ січною площиною  побудований правильно, то лінії перетину січної площини  з паралельними гранями паралелепіпеда будуть паралельні. А саме: (МЕ)ǁ(QP), (EF)ǁ(NQ) і (FP)ǁ(MN).

 

4.Базові рисунки многогранників, круглих тіл та їх перерізів площинами.

Просторові уявлення формуються і розвиваються в процесі розв’язування великої кількості задач, які вимагають розпізнання різних видів многогранників і круглих тіл, їх перерізів, побудови відповідних рисунків. Зокрема, правильності вибору і побудови кутів у просторі, а саме: кутів нахилу прямих і кутів нахилу граней многогранників; правильності побудови двогранних кутів та відповідних їм лінійних кутів. Розглянемо деякі з основних базових рисунків у стереометрії.

 

1.   Побудова перпендикуляру до площини

рис. а)                                         рис. б)                                     рис.в)

На рисунках а) і б) з різних ракурсів, показано зображення перпендикуляра CD до площини прямокутного трикутника АВС, проведеного з вершини C і відстань від кінців перпендикуляра CD до гіпотенузи АВ, які треба знайти. На рисунку в) показано зображення перпендикуляра ВМ до площини прямокутника ABCD, проведеного з вершини В і відстані від кінців перпендикуляра до сторони AD. В таких задачах, при обґрунтуванні розв’язків, треба підкреслити використання означення та ознаки перпендикулярності прямої і площини та теореми про три перпендикуляри.

4.2 Зображення кутів нахилу бічних ребер та граней в піраміді

Покажемо зображення цих кутів на зображеннях правильних трикутної та чотирикутної пірамід.

Побудови на рисунках а) і б) варто починати з зображень правильного трикутника АВС на рисунку а) і квадрата ABCD на рисунку В в основах пірамід. Потім побудувати центри основ точку О. Далі з точки О треба провести до площини основи вертикальну пряму і, вибравши на ній точку D (рис.а) і точку S (рис.б), сполучити ці точки з вершинами многокутника в основах пірамід.

Наступним кроком побудови є проведення апофем в бічних гранях пірамід.

Проведемо обґрунтування вибраних кутів нахилу ребер і граней для рисунку а).

 

 

1. ΔAOD=ΔCOD=ΔBOD ( за двома катетами: катет DO – спільний, АО=ОС=ОВ=   від медіан)

З рівності трикутників випливає рівність гострих кутів, а саме:

 ∠DAO=∠DCO=∠DBO= - кути нахилу бічних ребер піраміди ABCD до площини основи, згідно означення кута між прямою та площиною.

2. Δ DOM=Δ DON=Δ DOP ( за двома катетами: катет DO – спільний OM = ON = OP= від медіан)

До того ж, так як пряма СМ⊥АВ, і СМ є проєкцією похилої DM на площину (АВС), то і DM⊥AB, за теоремою про три перпендикуляри. Тому з рівності трикутників: DOM, DON і  DOP випливає рівність кутів: ∠DMO=∠DNO=∠DPO=,  як лінійні кути відповідних двогранних кутів при ребрах основи: ∠АВ, ∠ВС і ∠АС.

Тому кути DMO, DNO і DPO – кути нахилу бічних граней піраміди до площини основи.

Роздуми до побудови на рисунку б) аналогічні. Зауважимо, що на рисунку б) достатньо провести доведення для двох суміжних граней.

І ще один чудовий висновок до розглянутих рисунків.

Так як точка О – центр основ пірамід рівновіддалена від вершин основи і сторін основи то вона є відповідно центром описаного та вписаного кіл многокутників основ.

4.3 Приклади зображень двогранних кутів.

 В залежності від умов задач можна навести такі базові рисунки двогранних кутів.

 

 

                                                                    грань

                                                                                                                                            

  лінійний кут

 

ребро                             грань        

 

 

∠сβ=∠АВ – двогранний кут.

Площина ɣ⊥с  ɣ∩=(ON), ɣ∩β=(ОМ),  с⊥  с⊥(ON) і с⊥(OM) згідно означення перпендикулярності прямої і площини.

Висновок:

1.      ɣ∩∠сβ=∠МОN
2.      ∠MON – лінійний кут двогранного кута ∠сβ.
3.      Величина ∠сβ= величині кута ∠MON
4.      Величина двогранного кута не залежить від вибору розташування точки О на прямій с.

Ще окремі базові рисунки на двогранний кут.

 

 

На рисунку 1 зображено двогранний кут Сβ, відповідний до нього лінійний кут МОМ₁ , т. М₁- проєкція точки Мβ на площину . ОМ і ОМ₁ – відстані від точок М і М₁ до ребра С, ММ₁ – відстань від точки Мβ до площини .

 

 

 

 

На рисунку 2 показано інший ракурс рисунку 1.

 

 

 

 

 

 

                                  

    

       На рисунку 3 показано зображення точки М, яка рівновіддалена від граней заданого двогранного кута ∠Сβ, ОМ – відстань від точки М до ребра двогранного кута, NM і MM₂ – відповідно відстані до граней  і β.

 

 

             

4.   Базові рисунки круглих тіл та їх перерізів площинами

 

 

 

 

 

 

 

 

               

На рисунку 1 зображено переріз циліндра площиною (АВС) паралельною осі циліндра, яка відтинає в основах хорди AD і BC, ОК – відстань від осі циліндра до січної площини.

На рисунку 2 показаний переріз конуса площиною (ASB), яка відтинає в основі конуса хорду АВ. ∠SKO – лінійний кут двогранного кута з ребром АВ, або кут нахилу січної площини (ASB) до площини основи конуса. Ок – відстань від центру основи до хорди АВ.

Рисунок до задачі №23.42 підручника Математика 11, рівень стандарту під редакцією А.Г.Мерзляка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В цій задачі варто звернути увагу, що кут β між діагоналлю перерізу і віссю циліндра, це кут між мимобіжними прямими BD і OO_1. Тобто, кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються та відповідно паралельні даним прямим. На рисунку кут між прямими (BD) і (OO₁) дорівнює куту між прямими (BD) і (KK₁),  де (КК₁)ǁ(ОО₁).

 

 

 

Літературні джерела

1. Мерзляк А.Г. Математика: алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту: підруч. для 10 кл. закладів загальної середньої освіти/А.Г.Мерзляк, Д.А. Наміровський, В.Б. Полонський, М.С. Якір – Х.: Гімназія, 2018-256с.:іл.
2. Мерзляк А.Г. Математика: алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандрату: підруч. для 11 кл. закладів загальної середньої освіти/А.Г.Мерзляк, Д.А.Номіровський, В.Б. Полонський та ін. – Х.: Гімназія, 2019-208с.:іл
3. Робоча навчальна програма дисципліни:  Математика (Алгебра і початки аналізу та геометрія) (навчальна програма для учнів 10-11 класів загальноосвітніх навчальних закладів. Рівень стандарту. Затверджена Наказом Міністерства освіти і науки України від 23.10.2017 № 1407) Костенко Л.М., Кушнірук Т.В.